Representação de números com sinal

Em computação, representações de número com sinal são modos de representar números com sinal, i.e. números positivos e negativos, em sistemas de números binários.

Em matemática, os números negativos em qualquer base são representados por prefixando-os com um sinal de −. No entanto, em um hardware computacional, os números são representados em binário apenas, sem símbolos extras, requerendo um método de codificação para números negativos. Quatro métodos existem para estender o sistema binário para representar números com sinal: sinal-e-magnitude, complemento para um, complemento de dois, e excesso-N.

Método sinal-e-magnitude

Sinal-e-magnitude de 8 bits
Binário	com Sinal	sem Sinal
00000000	+0	0
00000001	1	1
...	...	...
01111111	127	127
10000000	−0	128
10000001	−1	129
...	...	...
11111111	−127	255

A representação de sinal-e-magnitude (ou sinal-magnitude) é a mais familiar a nós que utilizamos o sistema numérico de base 10, usando um sinal positivo ou negativo à esquerda do número para indicar se este é positivo ou negativo.^[1] Pode-se primeiramente abordar o problema de representar um sinal de número através da atribuição de um bit de sinal para representar o sinal: define-se esse bit (frequêntemente o bit mais significativo) para 0 para representar um número positivo, e define-se como um para representar um número negativo. Os bits restantes do número representam a magnitude (ou o valor absoluto). Assim, em um byte com 8 bits, são utilizados 7 bits para representar o valor e um bit para representar o sinal. Neste caso, o valor pode variar de 0000000 (0) a 1111111 (127). Assim, pode-se representar números de −127₁₀ a +127₁₀ (-(2^N−1−1) a +(2^N−1−1)),^[2] onde n é a quantidade de bits do número), uma vez que você adicione o bit de sinal (o oitavo bit). Uma conseqüência desta representação é que existem duas maneiras de representar o zero, 00000000 (0) e 10000000 (-0).^[3]

Esta abordagem é directamente comparável com a maneira comum de se mostrar um sinal (colocando um "+" ou "-" junto à magnitude do número). Alguns dos primeiros computadores binários (por exemplo, o IBM 7090) usaram esta representação, talvez por causa de sua relação natural com o uso comum.^[^{carece de fontes?]} Sinal de magnitude é a forma mais comum de representar os significandos em valores de ponto flutuante.

Complemento para um

Complemento para um com 8 bits
Binário	Interpretação de complemento para um	Interpretação sem sinal
00000000	+0	0
00000001	1	1
...	...	...
01111101	125	125
01111110	126	126
01111111	127	127
10000000	−127	128
10000001	−126	129
10000010	−125	130
...	...	...
11111110	−1	254
11111111	−0	255

Como alternativa, um sistema conhecido como complemento para um ou complemento de um pode ser usado para representar números negativos. A forma de representar números negativos em "complemento para um" é aplicar a operação bitwise NOT para os números negativos (com -), ou seja, o complemento da sua contraparte positiva. Como na representação sinal de magnitude, o "complemento para um" tem duas representações para o 0: 00000000 (+0) e 11111111 (-0). Na prática, este zero negativo, quando detectado é transformado em zero normal.^[4]^:p.17,18

Como exemplo, a forma em complemento para um de 00101011 (43) torna-se 11010100 (-43). O intervalo de números com sinal usando complemento para um é representado por: −(2^N−1−1) para (2^N−1−1) e +/-0. Um byte de oito bits convencional é −127₁₀ para +127₁₀ com zero sendo ou 00000000 (+0) ou 11111111 (-0).

Nesse caso citado, para transformar o número binário em decimal, segue-se o padrão normal, porém sem contar o primeiro número. Vamos usar o número 00101011 como exemplo, o primeiro 0 da esquerda é apenas para indicar o sinal e não faz parte da conta, portanto (0 + 2^5 + 0 + 2^3 + 0 + 2^1 + 2^0) = (0 + 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1) = 43.

Para adicionar dois números representados neste sistema, se faz uma adição binária convencional, mas é então necessário adicionar qualquer "vai-um" resultante de volta para a soma resultante. Para ver por que isso é necessário, considere o seguinte exemplo que mostra o caso da adição de −1 (11111110) a +2 (00000010).^[3]^:p.19

         binário    decimal
        11111110     -1
     +  00000010     +2
    ............    ...
      1 00000000      0   <-- não é a resposta correta
               1     +1   <-- adiciono "vai-um"
    ............    ...
        00000001      1   <-- resposta correta

No exemplo anterior, a adição binária somente dá 00000000, o que é um resultado incorreto. Somente quando o "vai-um" é adicionado de volta o resultado correto (00000001) aparece.

Este sistema de representação numérica era comum em computadores mais antigos; o PDP-1, CDC 160A e a série UNIVAC 1100/2200, entre muitos outros, utilizavam aritmética de "complemento para um".^[^{carece de fontes?]}

Uma observação sobre a terminologia: O sistema é conhecido como "complemento para um", porque a negação de um valor positivo x(representado como a operação bitwise NOT de x) pode também ser formado pela subtração de x da representação em "complemento para um" do número zero que é uma longa seqüência de uns (-0). A aritmética de "Complemento de dois", por outro lado, constitui a negação de x subtraindo x a partir de uma única grande potência de dois que é congruente a 0.^[5] Por isso, a representação de "complemento para um" e a representação de "complemento para dois" irão diferir de um.

Os protocolos Internet IPv4, ICMP, UDP e TCP usam todos o mesmo algoritmo checksum de 16 bits de complemento para um. Embora a maioria dos computadores careça de um hardware para método de complementos, a complexidade extra é aceita porque "é igualmente sensível a erros em todas as posições dos bits".^[6] No UDP, a representação de zero com todos os bits setados para 0s indica que o recurso de verificação opcional foi omitido. A outra representação, FFFF, indica um valor de checksum 0.^[7] (Checksums são obrigatórios em IPv4, ICMP e TCP; eles foram omitidos do IPv6).

Note que a representação de complemento para um de um número negativo pode ser obtida de uma representação sinal-e-magnitude simplesmente fazendo-se uma operação de complemento bitwise da magnitude.^{[necessário esclarecer]}

Complemento para dois

Complemento para dois de 8 bits
Binário	Interpretação de complemento para dois	Interpretação sem sinal
00000000	0	0
00000001	1	1
...	...	...
01111110	126	126
01111111	127	127
10000000	−128	128
10000001	−127	129
10000010	−126	130
...	...	...
11111110	−2	254
11111111	−1	255

Os problemas de múltiplas representações de 0 e a necessidade de tratamento com "vai-um" são contornadas por um sistema chamado complemento para dois.^[3]^:p.21 Neste modelo, os números negativos são representados pelo padrão de bits que é maior em uma unidade (no sentido sem-sinal) que o "complemento para um" do valor positivo.

Em complemento para dois, há apenas um zero (00000000). Se nega um número (negativo ou positivo) invertendo-se todos os bits e, em seguida, adicionando 1 ao resultado. A adição de um par números em complemento para dois é o mesmo a adição de um par de números sem-sinal . Por exemplo, um complemento para dois da adição de 127 e -128 dá o mesmo padrão de bits binário de uma adição sem sinal de 127 com 128, como pode ser visto na tabela ao lado.^[3]^:p.21

Um método mais fácil de obter a negação de um número em complemento de dois é o que se segue:

	Exemplo 1	Exemplo 2
1. A partir da direita, encontre o primeiro '1'	0101001	0101100
2. Inverte todos os bits à esquerda deste um	1010111	1010100

Excesso-N

Excesso-127 em 8 bits
Valor binário	Interpretação de Excesso-127	Interpretação sem-sinal
00000000	-127	0
00000001	-126	1
...	...	...
01111111	0	127
10000000	1	128
...	...	...
11111111	+128	255

A representação de Excesso-N usa um número pré-especificado N como um valor de polarização. Um valor é representado pelo número sem sinal que é N unidades maior do que o valor pretendido. Assim, 0 é representado por N, e -N é representado pelo padrão de bits zeros (tudo zerado).

Esta é uma representação que é agora utilizada principalmente em números de ponto flutuante. O padrão IEEE de ponto flutuante, define o campo de expoente de um número de 32 bits de precisão simples como um campo de 8 bits na representação de Excesso-127. O expoente de um número de 64 bits de precisão dupla é um de campo de 11 bits com representação de Excesso-1023.

Base −2

Em sistemas convencionais de número binário, a base, ou raiz, é de 2; assim, o bit mais à direita representa 2⁰, o próximo bit representa 2¹, o próximo bit 2², e assim por diante. No entanto, um sistema numérico binário com base -2 também é possível. O bit mais à direita representa (−2)⁰=+1, o próximo bit representa (−2)¹=−2, o próximo bit (−2)²=+4, e assim por diante, com o sinal alternado. Os números que podem ser representados com quatro bits são mostrados na tabela de comparação abaixo.

O intervalo de números que pode ser representado é assimétrico. Se a palavra tem um número par de bits, a magnitude do maior número negativo que pode ser representado é duas vezes maior que o maior número positivo que pode ser representado, e vice-versa, se a palavra tem um número ímpar de bits.

Tabela de comparação

A tabela abaixo mostra os números inteiros positivos e negativos que podem ser representados utilizando 4 bits.

representações inteiras de 4 bits
Decimal	Sem sinal	Sinal-e-magnitude	Complemento para um	Complemento de dois	Excesso-7	Base −2
+16	—	—	—	—	—	—
+15	1111	—	—	—	—	—
+14	1110	—	—	—	—	—
+13	1101	—	—	—	—	—
+12	1100	—	—	—	—	—
+11	1011	—	—	—	—	—
+10	1010	—	—	—	—	—
+9	1001	—	—	—	—	—
+8	1000	—	—	—	1111	—
+7	0111	0111	0111	0111	1110	—
+6	0110	0110	0110	0110	1101	—
+5	0101	0101	0101	0101	1100	0101
+4	0100	0100	0100	0100	1011	0100
+3	0011	0011	0011	0011	1010	0111
+2	0010	0010	0010	0010	1001	0110
+1	0001	0001	0001	0001	1000	0001
+0	—	0000	0000	—	—	—
0	0000	—	—	0000	0111	0000
−0	—	1000	1111	—	—	—
−1	—	1001	1110	1111	0110	0011
−2	—	1010	1101	1110	0101	0010
−3	—	1011	1100	1101	0100	1101
−4	—	1100	1011	1100	0011	1100
−5	—	1101	1010	1011	0010	1111
−6	—	1110	1001	1010	0001	1110
−7	—	1111	1000	1001	0000	1001
−8	—	—	—	1000	—	1000
−9	—	—	—	—	—	1011
−10	—	—	—	—	—	1010
−11	—	—	—	—	—	—

Ver também

Referências

↑ MURDOCCA, Miles J.; HEURING, Vincent P. (2001). Introdução à Arquitetura de Computadores. Rio de Janeiro: Campus, Elsevier. pp. 28–32. ISBN 85-352-0684-1
↑ Boeres, Cristina (2016). Representações de Números Inteiros: Sinal e Magnitude e Representação em Excesso de k Cristina Boeres Instituto de Computação (UFF) Fundamentos de Arquiteturas de Computadores (PDF). Fundamentos de Arquiteturas de Computadores. Niterói, RJ: Instituto de Computação (UFF). p. 14
↑ ^a ^b ^c ^d Anido, Ricardo (fevereiro de 2011). «Introdução à Organização de Computadores e Linguagens de Montagem» (PDF). Universidade Estadual de Campinas. Consultado em 4 de março de 2012 ^{[ligação inativa]}
↑ BIANCHI, Paulo; BEZERRA, Milton (1983). Microcomputadores. Arquitetura - Projeto - Programação. [S.l.]: LTC. 16 páginas. ISBN 85-216-0321-5
↑ Donald Knuth:The Art of Computer Programming, Volume 2: Algoritmos Seminumerical, capítulo 4.1
↑ Braden, R. (setembro de 1988). «Computing the Internet Checksum (RFC 1071)» (em inglês). The Internet Engineering Task Force. Consultado em 11 de junho de 2009
↑ Postel, J. (agosto de 1980). «User Datagram Protocol (RFC 768)». The Internet Engineering Task Force. Consultado em 11 de junho de 2009

Andrew S.Tanenbaum, Organização Estrutura de Computadores, pág 399, Anexo 3

[1] MURDOCCA, Miles J.; HEURING, Vincent P. (2001). Introdução à Arquitetura de Computadores. Rio de Janeiro: Campus, Elsevier. pp. 28–32. ISBN 85-352-0684-1

[2] Boeres, Cristina (2016). Representações de Números Inteiros: Sinal e Magnitude e Representação em Excesso de k Cristina Boeres Instituto de Computação (UFF) Fundamentos de Arquiteturas de Computadores (PDF). Fundamentos de Arquiteturas de Computadores. Niterói, RJ: Instituto de Computação (UFF). p. 14

[intro-ranido-3] Anido, Ricardo (fevereiro de 2011). «Introdução à Organização de Computadores e Linguagens de Montagem» (PDF). Universidade Estadual de Campinas. Consultado em 4 de março de 2012 ^{[ligação inativa]}

[bianchi-4] BIANCHI, Paulo; BEZERRA, Milton (1983). Microcomputadores. Arquitetura - Projeto - Programação. [S.l.]: LTC. 16 páginas. ISBN 85-216-0321-5

[5] Donald Knuth:The Art of Computer Programming, Volume 2: Algoritmos Seminumerical, capítulo 4.1

[rfc1071-6] Braden, R. (setembro de 1988). «Computing the Internet Checksum (RFC 1071)» (em inglês). The Internet Engineering Task Force. Consultado em 11 de junho de 2009

[7] Postel, J. (agosto de 1980). «User Datagram Protocol (RFC 768)». The Internet Engineering Task Force. Consultado em 11 de junho de 2009

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