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  70年以上未解決であった「ミルズの定数の無理数性」が解決か！？ - INTEGERS

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  旧知の仲である数学者 齋藤 耕太 氏（筑波大学、学振PD）が、昨日数学の未解決問題を解決したとするプレプリントをプリプリントサーバーarXivに投稿されました： arxiv.org 論文自体は「現状分かるところまで研究しつくす」という素晴らしい態度で執筆されているので主定理の記述は十行ありますが、その特別な場合をとり出した ミルズの定数は無理数である という定理（これは論文のタイトルにもなっています）が、ある程度長い期間未解決であったと思われる数学上の問題の解決を意味しています。 無理数性の証明はかっこいい 実数という数学的対象は有理数と無理数に分けられます。有理数は などのように という表示を持つ実数であり（ここでは自然数は正の整数を意味するものとします）、有理数ではない実数のことを無理数といいます。 高校数学でも証明込みで学ぶことと思いますが、無理数の典型例としては があげられます。こ

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  • 2024/05/02 16:14

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  宮城清行すげえ - INTEGERS

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  関孝和すげえという話をします。 【算聖】関 孝和【新助、自由亭】 先月、上野健爾、小川束、小林龍彦、佐藤賢一 による『関孝和全集』が岩波書店から出版されました：岩波書店のページ。 最近はこの本を勉強しているのですが、すこぶる面白いです。 私は元々「関・ベルヌーイ数」という数学的対象がものすごく好きです。これは「ベルヌーイ数」と呼ばれることの方が多いですが、ヤコブ・ベルヌーイとは独立に関孝和も発見しているという話だけをとっても、私が関孝和のことを好きになることに不思議はありません*1。なお、関・ベルヌーイ数が書かれているのは、遺著『括要算法』*2です*3。 実際は関・ベルヌーイ数の発見だけではなく、関孝和には他にも多数の業績があります。「天元術」を超えた「傍書法」を考案した上で、『解伏題之法』でまとめられている終結式の理論を作ったことが関孝和の一番の業績と目されているそうです*4。 この記事

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  • 2023/11/23 17:16

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  フェルマーの大定理の短証明を査読してみた - INTEGERS

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  アマチュアの方などが、第一級の数学者が長年取り組んでも解決できない問題（フェルマーの大定理*1の初等証明、コラッツ予想、リーマン予想、ふたご素数予想、P=NP問題、etc.）を解いたと主張して論文や本として発表されることは、ありふれたことのように思います。 あなたがプロの数学研究者だとしましょう。 あなたはそれらの原稿を読みますか？ 普通は読まないと思います。なぜなら、 「読まない段階では、その原稿が正しい可能性がある」 ということは、それはそうなのですが、 「その原稿が間違っている可能性の方が圧倒的に大きい」 ということの方が、読むかどうかを検討する側には重大だからです。 定理証明支援系などが更に発展して、近い将来には数学の正しさを効率よく客観的に判定できるようになるかもしれません。 ですが、今のところは、数学の原稿を査読するにはそれなりの時間がかかります。 時間をかけて読んでも間違って

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  • 2023/11/10 05:36

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  書籍『せいすうたん１』（小林銅蟲氏との共著）が出版されます！ - INTEGERS

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  私にとっては二冊目の書籍となる『せいすうたん１』がもうすぐ発売予定です。こちらは漫画家の小林銅蟲氏との共著です*1。176ページ、税込みで1980円です。内容：整数たちが冒険する漫画本。 www.amazon.co.jp これは販促記事です。日本評論社が刊行している雑誌『数学セミナー』の2020年4月号〜2021年3月号において、小林銅蟲先生の漫画『せいすうたん』が連載されていました。『数学セミナー』で漫画が連載されたのは初めてのことであり、私はその漫画で扱う数学的内容の監修者でした。さて、『数学セミナー』における数学に関する連載はその後、数学書としてしばしば単行本化されます。また、漫画雑誌で連載された漫画についても、後に単行本化されることは多いと思います。『せいすうたん１』は2020年度連載分の待望の単行本化となります！お待たせしました！！連載時は毎月2ページの漫画が掲載されていたのです

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  • 2023/04/17 22:32

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  有理数近似、 Duffin–Schaeffer予想、そして、Koukoulopoulos−Maynard - INTEGERS

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  私達は実数を有理数で近似したい。 誤差未満の範囲で実数が有理数で近似されている状況は、不等式を用いて と表すことができます。 さて、そもそも実数は有理数列の極限なので、いくらでも小さい誤差で近似できます。 例えば、円周率は と有理数で近似できます。誤差はとても小さく感じます。 一方で、 が成り立ちます。 とを比較すると、とではの方が小さいので、はよりも良い近似であると考えてよいでしょうか？ 実際は有理数とでは円周率の近似として後者の方が優れている点があります。それは「近似分数の分母の大きさに対して誤差がどれぐらい小さいか」を考えたときにわかってきます。 については が成り立つ（！）のに対し、については ぐらいしか言えません。 つまり、は近似の誤差と「1/分母」の大きさが大体同じぐらいの大きさなのに対し、は近似の誤差が「1/(分母の3乗)」で押さえられており、この観点で円周率近似としてはの方

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  • 2022/07/05 16:35

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  研究報告: 二重大野関係式のコネクター - INTEGERS

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  2020年6月17日にarXivにプレプリントをあげました(九州大学の広瀬さん, 佐藤さんとの共同研究): arxiv.org どのような研究成果であるかをここに簡単に解説しようと思います。 研究対象は多重ゼータ値と呼ばれる数です。それがどのようなものであるかについては、最近の金子昌信先生による 『多重ゼータ値 - 日本数学会』PDFリンク を紹介しておきます。とにかく面白い研究対象です。 前提となる話１：大野関係式 多重ゼータ値の近代的研究のパイオニアの1人であるホフマンさんが1992年の論文[H]で提示した複数の多重ゼータ値の間に成り立つ3つの関係式があります。 双対関係式、和公式、ホフマンの関係式 の3つです。 前者2つは予想として提示され、3つ目のホフマンの関係式には証明が与えられていました。 その後、未解決であった双対関係式と和公式はともに1996年までに解決されますが、1999

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  • 2020/06/18 02:58
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  eが超越数であることの証明 - INTEGERS

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  定数でない有理数係数多項式の根とならないような複素数のことを超越数といいます。 私が初めてこの概念を知ったのは中学二年生のときで、学校の図書館で読んだ本に載っていました。その中二病的な響きに憧れを抱いたのを覚えています。 Hermiteは1873年にが超越数であることを証明しました。文献はいくらでもありますが、この記事ではの超越性証明を紹介したいと思います。 C. Hermite, Sur la fonction exponentielle, Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris, 77, (1873), 18–24. が超越数であることの証明 補題 , とする。また、とを定める。このとき、任意のに対してとの間の数が存在してが成り立つ。 証明. 微分公式 が成り立つので、平均値の定理によりとの間の数が存在して が成り立つ。 Q

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  • 2019/11/08 00:37

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  私の好きな証明たち - INTEGERS

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  これは鯵坂もっちょ氏が企画されたアドベントカレンダー 好きな証明 Advent Calendar 2018 - Adventar の４日目の記事です。今回は今までに執筆したブログ記事の中から私の好きな証明を幾つか選んで紹介したいと思います。 全ての頂点のx座標, y座標が整数であるような正五角形が存在しないことの証明 ネイピア数が無理数であることの好きな証明 素数が無数に存在することの好きな証明 バーゼル問題の好きな証明 代数学の基本定理の好きな証明 1000009が素数でないことの証明 特定の数の無限性に関するグラフを使った証明 ラマヌジャンのτが23の倍数になるための十分条件の証明 三木の恒等式の証明 アックス-グロタンディークの定理の証明 ファン・デル・ヴェルデンの定理の証明 高次元最密球充填の最近の進展における証明のアイデア おまけ 全ての頂点のx座標, y座標が整数であるような正

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  • 2018/12/04 14:57

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  最密球充填 - INTEGERS

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  次元Euclid空間に合同な次元球をオーバーラップがないように充填した際の密度の最大値をとします。現在までにが決定されているものは以下の通りです。 だけは簡単にわかりますが*1、でが決定されていることは著しく感じます。上記の値よりも密な球充填は絶対に存在しないということが数学的に証明されているというのです。想像するだけでその凄さに震えます。我々はどれだけ頑張って八次元空間に%以上八次元球を詰めようと思っても、もはやそれは無駄な努力なのです。 以下、非常に簡単にではありますが、最密球充填にまつわるお話をしようと思います。 球充填密度 ハニカム球充填 Kepler予想 格子 Fourier変換とPoisson和公式 Cohn−Elkiesの定理と魔法関数の存在予想 Viazovskaと魔法関数 参考文献 球充填密度 1.1 を次元Euclid空間とする。Euclid距離をで表し、内積を と定め

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  • 2018/09/11 09:14

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  とある517桁の素数 - INTEGERS

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  この記事は非公開化されました。 integers.hatenablog.com 非公開前の内容要約: ある517桁の素数の紹介。 この記事の内容は部分的に書籍『せいすうたん１』の第１２話に収録されています。 integers.hatenablog.com

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  • 2018/07/18 21:06

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  仮面ライダーの話数の数式とインテジャーズ - INTEGERS

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  仮面ライダービルドのオープニングの話数が全て数式で表されているそうで、物理学アドバイザーである白石直人博士がこちらも担当しているそうです。 黒板に専門的な数式も現れるらしく、そちらも含めてご本人のホームページに解説等があります。 仮面ライダー：数式関連特設ページ - Naoto Shiraishi's webpage 話数の数式について、当ブログで関連する数学的内容を既に解説しているものが幾つかあるようなので、こちらにまとめておこうと思いました。 第３話　マスターデーモン integers.hatenablog.com 第６話　バーゼル問題 integers.hatenablog.com 第９話　カタラン予想 (部分的解説のみあり。いつか完全証明を解説したいです。) integers.hatenablog.com 第１１話　ミルズの定数 integers.hatenablog.com 第１

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  • 2018/02/19 08:02
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  アドベントカレンダーのまとめ - INTEGERS

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  思いつきでインテジャーズのアドベントカレンダーを実施しました*1。寄稿していただいた皆様、どうもありがとうございました。 無事25記事全て埋まりました！！ 簡単に記事達を分類して振り返りましょう！ 猫系 アドベントカレンダーと猫の写真 - INTEGERS INTEGERS POINT: 猫はかわいい！ 整数系 9973_prmさん ハバロフスク数 - 素数交響曲第2番 素数大富豪の新王者もりしーさんによる整数記事(インテジャーズの基本形態)です。ハバロフスク数を定義され、それがの倍数であることを証明されています。 INTEGERS POINT: 「との間に、やを任意の自然数個挿入した時、」そういうことやってしまいがちですよね。 tyamada1093さん 343とFermatの「約数の和」問題 の正の約数の総和はになります(立方数の約数の総和が平方数)！それに関連する不定方程式のお話を書

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  • 2018/01/02 01:36

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  ABC予想 - INTEGERS

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  この記事ではABC予想とは何なのかを解説します。 根基 でない整数の根基をの素因数の積として定義します。すなわち、 です(は素数を表す)。ただし、とします。定義から根基は必ず無平方(square-free)です。 トリプル 自然数の三つ組(ただし、)がABCトリプルであるとは、が互いに素であって が成り立つときに言います(上記関係式からはどの二つをとっても互いに素であることがわかります)。ここで、次の問題を考えます： ABCトリプルに対して ―（＊）が成り立つか？ テキトーにABCトリプルを選ぶと結構成り立ちます。例えば、に対しては です。しかしながら、反例も見つかります。に対しては です。しかも、無数に反例があることが分かります： 例 を自然数とする。このとき、ABCトリプルは不等式（＊）を満たさない。 証明. が容易に確かめられるので(cf. 指数持ち上げ補題 - INTEGERS)、

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  • 2017/12/17 13:07

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  孙智伟による素数表現関数 - INTEGERS

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  この記事は日曜数学 Advent Calendar 2017 - Adventarの10日目の記事です。9日目はru_sackさんによる http://stagnationpoint-y.tumblr.com/post/168336222377/prime-knot-912-150mm-150mm-%E9%89%9B%E7%AD%86-%E3%82%A2%E3%82%AF%E3%83%AA%E3%83%AB%E7%B5%B5%E5%85%B7-%E3%82%B1%E3%83%B3%E3%83%88%E7%B4%99-%E4%BA%A4%E7%82%B9%E6%95%B09stagnationpoint-y.tumblr.com でした。 今日は中国人数学者孙智伟(Zhi Wei Sun)による素数を表現する関数に関する定理および予想を紹介します。 みなさんの数学への思いや日曜数学の成果・興

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  • 2017/12/11 10:34

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  2が現れる素数再び - INTEGERS

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  この記事は非公開化されました。 integers.hatenablog.com 非公開前の内容要約: ある216桁の素数の紹介。 この記事の内容は部分的に書籍『せいすうたん１２』の第１話に収録されています。 integers.hatenablog.com

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  • 2017/11/29 16:41

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  2が現れる素数 - INTEGERS

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  この記事は非公開化されました。 integers.hatenablog.com 非公開前の内容要約: ある216桁の素数の紹介。 この記事の内容は部分的に書籍『せいすうたん１２』の第１話に収録されています。 integers.hatenablog.com

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  • 2017/11/29 09:47

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  もし1分以内に8を見つけられたら、あなたは天才! - INTEGERS

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  Aさん　「を見つけた」 Bさん　「を見つけた」 Cさん　「これは素数だ」 Dさん　「これは各桁の総和が丁度万となるような最小の素数だ」

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  • 2017/11/04 10:56
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  リーマンの再配列定理 - INTEGERS

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  の証明 級数 を考える。これはに収束する： mathtrain.jp となるので、両辺をで割ることによってが得られる。 ちなみに、他にもたくさんのの証明が知られています： 絶対収束と条件収束 冒頭の証明のどこが間違っているかというと、(⭐︎)の行を等号で結んでいる箇所で、無限級数においては有限和のときに成立した「項の順序を入れ替えても和は変わらない」という法則が一般には破れます。 高木貞治著『解析概論』の言葉を引用すれば 収束性を度外において, 無限級数を有限級数のように放漫に取扱って, しばしば不可解の矛盾に逢着したことは, 18世紀数学の苦い経験であったのである. この記事では、実数の級数のみ扱うことにします。単に(無限)級数といえば、収束・発散のどちらのケースも考えます。 定義１ 収束級数が絶対収束するとは、が収束するときにいい、その級数を絶対収束級数という。絶対収束しない収束級数は

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  • 2017/10/16 22:18

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  素数の織り成す構造〜ガウスからグリーン・タオへ〜 MATH POWER 2017 - INTEGERS

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  講演スライドを公開します。スライド番号や間違い等は再構成・修正してあります。 スライドはKeynoteで作成し、数式はLaTeXiTを利用して作成しました。 1枚目 2枚目 3枚目 4枚目 5枚目 6枚目*1 7枚目 8枚目*2 9枚目 10枚目 11枚目*3 12枚目*4 13枚目*5 14枚目*6 15枚目*7 16枚目*8 17枚目*9 18枚目*10 19枚目 20枚目 21枚目*11 22枚目 23枚目*12 24枚目 25枚目 26枚目 27枚目*13 28枚目 29枚目 30枚目 31枚目*14 32枚目 33枚目*15 34枚目*16 35枚目*17 36枚目 37枚目 38枚目 39枚目*18 40枚目 41枚目*19 42枚目*20 43枚目*21 44枚目*22 45枚目 46枚目*23 47枚目 48枚目*24 49枚目 50枚目 51枚目*25 52枚目*26 5

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  • 2017/10/12 10:13

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  等間隔に並ぶ素数を追い求めて〜グリーン・タオの定理〜 - INTEGERS

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  素数のもつ秩序。それは人類に幾度となく驚きと喜びを与えてくれました。そして、これからも与え続けてくれることでしょう。 素数の秩序に関する人類の最初の大きな勝利は素数定理 を発見し、証明したことだと思います。 素数の分布は高度に非自明で、一見すると何の法則性も見出せないように思えます。にも関わらず、このようにシンプルな漸近挙動を示すのは驚きです。 素数定理についての文献は日本語を含めて相当数存在しますし、このブログでもまとめています*1。 素数定理が証明されてから100年のときを経て、人類は次の大勝利を収めました。 Green-Taoの定理です*2。 素数は疎らに分布しているように見えますが、 は等間隔に並んでいます。等間隔に並んでいる素数は他にもあるでしょうか？ 等間隔に並ぶ素数に興味があるので、等差数列の初項および公差は指定しない代わりにその項数(長さと呼ぶ)に着目します。上記例は長さで

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  • 2017/09/13 00:04

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  素数大富豪公式ルール - INTEGERS

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  公式ルールのダウンロード 公式ルールは以下でダウンロードできます。(最終更新日: 2017/12/17 公開日: 2017/2/10) https://dl.dropboxusercontent.com/s/n5pj0540muso2fn/prime_daifugo_rule.pdf?dl=0 ちなみに、公開後いろいろと変更したい点も出てきていますが、こちらは細かい編集をしにくい形で執筆してしまったため、時間ができればもう一度随時修正しやすい形で書き直したい気持ちです(やはりTeXが良さそう)。 追記: (2018/5/30) 結局修正ではなく「抽象的素数大富豪」という文を書きました。 https://dl.dropboxusercontent.com/s/ezd2tk2lniakco7/APDD.pdf?dl=0 初心者向け なお、上記公式ルールは分かりやすくは書かれていません*1。初め

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  • 2017/06/28 02:04

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  40144044691：極端に弱い素数 - INTEGERS

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  この記事は非公開化されました。 integers.hatenablog.com 非公開前の内容要約: 極端に弱い素数の定義および数値例。 この記事の内容は部分的に書籍『せいすうたん１』の第６話に収録されています。 integers.hatenablog.com

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  • 2017/06/15 12:31
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  突然57個の素数を要求されたときの対処法 - INTEGERS

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  街中で突然怖い人に 「今すぐ57個素数を教えないと殺す。一桁や二桁の小さいものは駄目だ。」 と言われたとしましょう。 要求される個数が24個であればを覚えていれば十分でした*1。 しかし、今回の怖い人はグロタンディーク素数*2が好きなのか、要求してくる素数の数が57個と多めです。しかも、一桁や二桁の小さい素数では満足してくれそうにありません。 そんなときにオススメしたいのが Shyam Sunder Gupta多項式です！！ この多項式さえ覚えておけば、あとはにからを代入していくだけの簡単なお仕事。出てくる値の絶対値を答えれば殺される心配はありません！ *1:integers.hatenablog.com *2:integers.hatenablog.com

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  • 2017/06/02 09:58

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  エマープ - INTEGERS

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  は最小のエマープです。 (十進法表記で)ひっくり返して出来る数が素数であり、なおかつ、元の数と異なっているとき、その数のことをエマープという。 をひっくり返したも素数であるため、はエマープというわけです。 エマープの名前の由来は「素数の英語"PRIME"をひっくり返したら"EMIRP"(エマープ)になる」からです。 以降に現れるエマープを小さい順に幾つか並べると、 のようになっています。 10000番目のエマープは, 知られている最大のエマープは (Jens Kruse Andersen, October 2007)です。 エマープが無数に存在するかは未解決問題だと思われます。

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  • 2017/06/02 07:26

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  やたらすごい素数 - INTEGERS

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  この記事は非公開化されました。 integers.hatenablog.com 非公開前の内容要約: ある1089桁の素数の紹介。 この記事の内容は部分的に書籍『せいすうたん１』の第１２話に収録されています。 integers.hatenablog.com

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  • 2017/06/01 10:23

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  「√2+√3+√5+√7は無理数である」など - INTEGERS

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  この記事は日曜数学アドベントカレンダーの17番目の記事です。 http://www.adventar.org/calendars/1777www.adventar.org 昨日の記事はToshiki Takahashiさんのリープグラフと複素確率 | Advent Calendar 2016 | DIY Mathematics |でした。 今日は、キグロさんの20日の動画の予習的記事を書こうと思いました。 次の問題を解いてみてください： 問１ が無理数であることを示せ*1。 問２ が無理数であることを示せ。 問３ が無理数であることを示せ。 特に困難なく解けることと思います。このように、例えばが無理数であることは簡単に証明できますが、一般には(無理数)(無理数)(無理数)は言えないので注意が必要です。は足しても無理数であることを示せる数少ない例の一つなのです。とが無理数であることは eが無

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  • 2016/12/17 02:41

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  sin(π/2+θ)=cosθ等の三角関数の公式の覚え方 - インテジャーズ

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  この記事は非公開化されました。 integers.hatenablog.com 非公開前の内容要約: タイトルの通り。

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  • 2016/12/13 08:50

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  素数大富豪との出会い - INTEGERS

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  12月7日、といえば非常に美しいMersenne素数ですが*1、素数大富豪でQ７と二枚出し出来る頻出素数です！ この記事は素数大富豪アドベントカレンダー2016の７日目の記事です。 www.adventar.org 昨日はmattyuu123さんによる記事でした： mattyuu.hatenadiary.com まず、素数大富豪のアドベントカレンダーを立てて下さった二世さんに感謝致します。こちらから依頼したわけではなく、こんなマニアックなアドベントカレンダーを立ててくださり、驚くのと同時に、本当に嬉しく思います。25個の記事がどのように揃うのかワクワクしていますが、これからの素数大富豪の発展に間違いなく大きな役割を果たすこととなるでしょう。実際、昨日のmattyuu123さんの記事内容は素数大富豪が出来た当初から気になってたことです(mattyuu123さんありがとうございます)。また、こ

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  • 2016/12/07 17:48

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