Pwynt sefydlog

Ffwythiant gyda thri pwynt sefydlog

Mewn mathemateg, pwynt sefydlog yw'r rhan honno o barth y ffwythiant sy'n cael ei fapio iddo'i hun gan y ffwythiant. Hynny yw, c yw pwynt sefydlog y ffwythiant f(x) os yw f(c) = c. Golyga hyn fod f(f(...f(c)...)) = fⁿ(c) = c yn ystyriaeth bwysig wrth gyfrifo'n ailadroddus f. Gelwir, weithiau, set o bwyntiau sefydlog yn "set sefydlog".

Er enghraifft, os diffinnir f ar y rhif real gan

$f(x)=x^{2}-3x+4,$

yna, 2 yw'r pwynt sefydlog 'f', oherwydd f(2) = 2.

Nid oes gan bob ffwythiant bwynt sefydlog; er enghraifft, os diffinnir y ffwythiant f ar y rhif real yn f(x) = x + 1, yna nid oes iddo unrhyw bwynt sefydlog, gan na all x fyth fod yn hafal i x + 1, am unrhyw rif real.

Yn weledol, golyga'r pwynt sefydlog x fod y pwynt (x, f(x)) ar y linell y = x. Hynny yw, mae gan y graff o f bwynt sy'n gyffredin i'r linell honno.

Gelwir pwyntiau sy'n dychwelyd i'w gwerth gwreiddiol wedi hyn-a-hyn o iteriadau o'r ffwythiant yn "bwyntiau cyfnodol". O fewn theorem Galois, ceir set o bwyntiau sefydlog o fewn set o feysydd otomorphig yn faes a elwir yn "faes sefydlog".

Pwynt sefydlog atyniadol

Iteriad y pwynt sefydlog x_n+1 = cos x_n gyda gwerth cychwynnol x₁ = −1.

Mae pwynt sefydlog atyniadol y ffwythiant f yn bwynt sefydlog x₀ o f fel bod unrhyw werth sydd i x yn y parth sy'n ddigon agos at x₀, mae'r dilyniant iteriad y ffwythiant

$x,\ f(x),\ f(f(x)),\ f(f(f(x))),\dots$

yn cydgyfeirio i x₀. Rhoddir prawf o hyn yn theorem pwynt sefydlog Banach.

Gweler hefyd

• Theorem pwynt sefydlog