Content-Length: 276024 | pFad | https://dlmf.nist.gov/././././././././25.5#E15
DLMF: §25.5 Integral Representations ‣ Riemann Zeta Function ‣ Chapter 25 Zeta and Related Functions
§25.5 Integral Representations
Contents
§25.5(i) In Terms of Elementary Functions
§25.5(ii) In Terms of Other Functions
§25.5(iii) Contour Integrals
§25.5(i) In Terms of Elementary Functions
Throughout this subsection s ≠ 1 .
25.5.1
ζ ( s )
= 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x − 1 d x ,
ℜ s > 1 .
25.5.2
ζ ( s )
= 1 Γ ( s + 1 ) ∫ 0 ∞ e x x s ( e x − 1 ) 2 d x ,
ℜ s > 1 .
25.5.3
ζ ( s )
= 1 ( 1 − 2 1 − s ) Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 e x + 1 d x ,
ℜ s > 0 .
25.5.4
ζ ( s )
= 1 ( 1 − 2 1 − s ) Γ ( s + 1 ) ∫ 0 ∞ e x x s ( e x + 1 ) 2 d x ,
ℜ s > 0 .
25.5.5
ζ ( s ) = − s ∫ 0 ∞ x − ⌊ x ⌋ − 1 2 x s + 1 d x ,
− 1 < ℜ s < 0 .
25.5.6
ζ ( s ) = 1 2 + 1 s − 1 + 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ ( 1 e x − 1 − 1 x + 1 2 ) x s − 1 e x d x ,
ℜ s > − 1 .
25.5.7
ζ ( s ) = 1 2 + 1 s − 1 + ∑ m = 1 n B 2 m ( 2 m ) ! ( s ) 2 m − 1 + 1 Γ ( s ) ∫ 0 ∞ ( 1 e x − 1 − 1 x + 1 2 − ∑ m = 1 n B 2 m ( 2 m ) ! x 2 m − 1 ) x s − 1 e x d x ,
ℜ s > − ( 2 n + 1 ) , n = 1 , 2 , 3 , … .
25.5.8
ζ ( s )
= 1 2 ( 1 − 2 − s ) Γ ( s ) ∫ 0 ∞ x s − 1 sinh x d x ,
ℜ s > 1 .
25.5.9
ζ ( s )
= 2 s − 1 Γ ( s + 1 ) ∫ 0 ∞ x s ( sinh x ) 2 d x ,
ℜ s > 1 .
25.5.10
ζ ( s ) = 2 s − 1 1 − 2 1 − s ∫ 0 ∞ cos ( s arctan x ) ( 1 + x 2 ) s / 2 cosh ( 1 2 π x ) d x .
25.5.11
ζ ( s ) = 1 2 + 1 s − 1 + 2 ∫ 0 ∞ sin ( s arctan x ) ( 1 + x 2 ) s / 2 ( e 2 π x − 1 ) d x .
25.5.12
ζ ( s ) = 2 s − 1 s − 1 − 2 s ∫ 0 ∞ sin ( s arctan x ) ( 1 + x 2 ) s / 2 ( e π x + 1 ) d x .
§25.5(ii) In Terms of Other Functions
25.5.13
ζ ( s ) = π s / 2 s ( s − 1 ) Γ ( 1 2 s ) + π s / 2 Γ ( 1 2 s ) ∫ 1 ∞ ( x s / 2 + x ( 1 − s ) / 2 ) ω ( x ) x d x ,
s ≠ 1 ,
where
25.5.14
ω ( x ) ≡ ∑ n = 1 ∞ e − n 2 π x = 1 2 ( θ 3 ( 0 | i x ) − 1 ) .
For θ 3 see §20.2(i) . For similar representations
involving other theta functions see Erdélyi et al. (1954a , p. 339) .
In (25.5.15 )–(25.5.19 ), 0 < ℜ s < 1 ,
ψ ( x ) is the digamma function, and γ is Euler’s
constant (§5.2 ). (25.5.16 ) is also
valid for 0 < ℜ s < 2 , s ≠ 1 .
25.5.15
ζ ( s ) = 1 s − 1 + sin ( π s ) π ∫ 0 ∞ ( ln ( 1 + x ) − ψ ( 1 + x ) ) x − s d x ,
25.5.16
ζ ( s )
= 1 s − 1 + sin ( π s ) π ( s − 1 ) ∫ 0 ∞ ( 1 1 + x − ψ ′ ( 1 + x ) ) x 1 − s d x ,
25.5.17
ζ ( 1 + s )
= sin ( π s ) π ∫ 0 ∞ ( γ + ψ ( 1 + x ) ) x − s − 1 d x ,
25.5.18
ζ ( 1 + s )
= sin ( π s ) π s ∫ 0 ∞ ψ ′ ( 1 + x ) x − s d x ,
25.5.19
ζ ( m + s )
= ( − 1 ) m − 1 Γ ( s ) sin ( π s ) π Γ ( m + s ) ∫ 0 ∞ ψ ( m ) ( 1 + x ) x − s d x ,
m = 1 , 2 , 3 , … .
§25.5(iii) Contour Integrals
25.5.20
ζ ( s ) = Γ ( 1 − s ) 2 π i ∫ − ∞ ( 0 + ) z s − 1 e − z − 1 d z ,
s ≠ 1 , 2 , … ,
where the integration contour is a loop around the negative real axis; it starts
at − ∞ , encircles the origen once in the positive direction without
enclosing any of the points z = ± 2 π i , ± 4 π i , …, and
returns to − ∞ . Equivalently,
25.5.21
ζ ( s ) = Γ ( 1 − s ) 2 π i ( 1 − 2 1 − s ) ∫ − ∞ ( 0 + ) z s − 1 e − z + 1 d z ,
s ≠ 1 , 2 , … .
The contour here is any loop that encircles the origen in the positive direction
not enclosing any of the points ± π i , ± 3 π i , ….
For the contour of integration in (25.5.20 ) and (25.5.21 ) see Figure 5.9.1 .