O
coeficiente binomial aparece como a entrada
k-ésima na
n-ésima fila do
triángulo de Pascal (onde a fila superior é a fila 0,
). Cada entrada é a suma das dúas superiores.
En álxebra elemental, o teorema do binomio (ou expansión binomial) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio (x + y)n nunha suma que implique termos da forma axbyc, onde os expoñentes b e c son enteiros non negativos con b + c = n e o coeficiente a de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de n e b . Por exemplo, para n = 4,O coeficiente a no termo de axbyc coñécese como coeficiente binomial ou (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar n e b pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal. Estes números tamén aparecen en combinatoria, onde dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de b elementos que se poden escoller entre un conxunto de n elementos, e de aí podemos ler "n sobre b" ou "n en b".
Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa n do binomio x + y é unha suma da formaonde cada un é un número enteiro positivo coñecido como coeficiente binomial, definido comoUsando o sumatorio, pódese escribir de forma máis concisa comoPara o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo:
Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo 1 por y, de xeito que só implica unha única variábel:
Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial:
- os expoñentes de x nos termos son n, n − 1, ..., 2, 1, 0 n, n − 1, ..., 2, 1, 0 (o último termo contén implicitamente x0 = 1 );
- os expoñentes de y nos termos son 0, 1, 2, ..., n − 1, n 0, 1, 2, ..., n − 1, n (o primeiro termo contén implicitamente y0 = 1 );
- os coeficientes forman a n ésima fila do triángulo de Pascal;
- hai n + 1 termos, e os seus coeficientes suman 2n .
Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse coeficientes binomiais . Estes adoitan escribirse e pódese ler como "n sobre k", combinacións de n elementos tomados en grupos de k elementos.
O coeficiente de xn−kyk vén dado pola fórmula O coeficiente binomial pódese interpretar como o número de formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos.
Isaac Newton xeneralizou a fórmula para exponentes reais, considerando unha serie infinita:
onde pode ser calquera número real e os coeficientes están dados polo produto:
Expresado co símbolo de Pochhammer:
.
Estas fórmulas converxen e a igualdade é certa sempre que os números reais ou complexos e sexan suficientemente próximos, no sentido de que e o valor absoluto de sexa menor que 1.
A expansión para a potencia recíproca é a seguinte:
Exemplos (lembrando que ):
O teorema do binomio pode ser xeneralizado para incluír potencias de sumas de máis de dous termos. En xeral:
Nesta fórmula, a suma faise sobre tódolos valores enteiros naturais desde ata de tal modo que a suma de todos estes valores sexa igual a . Os coeficientes do sumatorio, calcúlanse segundo a fórmula:
Desde o punto de vista da combinatoria, o coeficiente multinomial conta o número de diferentes maneiras de dividir un conxunto de elementos en subconxuntos disxuntos de tamaños
A miúdo é útil, cando se traballa en máis dunha dimensión, usar produtos de expresións binomiais:
A fórmula anterior pode ser escrita usando a notación multi-índice como segue:
A regra xeral de Leibniz dá a derivada n-ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio: [1] Aquí, o superíndice (n) indica a derivada n-ésima dunha función, .[2]
Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno. Segundo a fórmula de De Moivre,e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemploMais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con , asíque son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa queA fórmula de De Moivre resultaEn xeral,eTamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev.
O número e adoita definirse pola fórmulaAplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para e:O k-ésimo termo desta suma éCando n → ∞, a expresión racional da dereita achégase a 1, e polo tantoIsto indica que e pódese escribir como unha serie:
O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes con probabilidade de éxito nos que non aconteza ningún sería
Un límite superior para esta cantidade é [3]
O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos x e y nun anel, ou mesmo nun semianel, sempre que xy = yx. Por exemplo, vale para dúas matrices n × n, sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz. [4]
- ↑ Olver, Peter J. (2000). Applications of Lie Groups to Differential Equations. Springer. pp. 318–319. ISBN 9780387950006.
- ↑ Spivey, Michael Z. (2019). The Art of Proving Binomial Identities. CRC Press. p. 71. ISBN 978-1351215800.
- ↑ Cover, Thomas M.; Thomas, Joy A. (2001-01-01). Data Compression. John Wiley & Sons, Inc. p. 320. ISBN 9780471200611. doi:10.1002/0471200611.ch5.
- ↑ Artin, Algebra, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).
- Bag, Amulya Kumar (1966). Binomial theorem in ancient India. Indian J. History Sci 1. pp. 68–74.
- Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994). "(5) Binomial Coefficients". Concrete Mathematics (2nd ed.). Addison Wesley. pp. 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9. OCLC 17649857.