Annuïteit

Een annuïteit is een vast bedrag dat periodiek gedurende een bepaalde periode wordt betaald. Annuïteit betekent letterlijk vertaald een jaarlijks te betalen bedrag, maar wordt in Nederland algemeen gebruikt voor een periodiek te betalen bedrag, ook bij een andere periode dan een jaar, vaak een maand. De naam is van het Latijnse woord annus voor jaar afgeleid. De periode moet er dus wel bij worden vermeld, ook als de periode een jaar betreft. Een 'maandelijkse annuïteit' wordt vooral in Vlaanderen mensualiteit genoemd. Het kan ook dat de annuïteit per kwartaal of semester moet worden betaald.

Annuïteiten wordt voornamelijk gebruikt bij periodieke betalingen als tegenprestatie na een eenmalige betaling in omgekeerde richting, maar omgekeerd is het bijvoorbeeld ook mogelijk periodiek een vast bedrag sparen en zo een kapitaal opbouwen. Het gaat in beide gevallen, dus bij het aflossen van een lening, van een annuïteitenlening, en bij het inleggen bij sparen om iedere keer hetzelfde bedrag.

Het eerstgenoemde komt onder meer voor bij kredieten die via vaste periodieke bedragen worden terugbetaald. De annuïteiten bestaan voor een deel uit aflossing en voor een deel uit rente. Het aflossingsbestanddeel is in het begin laag, maar neemt exponentieel, dus in een meetkundige rij, toe. De schuld die over is dus neemt steeds sneller af, terwijl de annuïteiten per definitie hetzelfde blijven. Het rentebestanddeel is eerst hoog, maar neemt steeds sneller af.

De betaling zal normaal gezien op het einde van elke periode plaatsvinden, men spreekt dan van een betaling postnumerando, anderzijds kan men ook aan het begin van elke periode betalen en dan spreekt men van een betaling prenumerando. De formules voor het vermogensverloop bij periodiek een vast bedrag sparen zijn hetzelfde.

Rentevoet

De rentevoet en de rente zijn hetzelfde, maar de rentevoet wordt als decimaal getal gegeven en de rente als percentage. Bijvoorbeeld $0,03=3\%$. Als een jaar $p$ perioden omvat, is de rentevoet $i_{0}$ voor een jaar gelijk aan

$i_{0}=(1+i)^{p}-1$

Omgekeerd wordt de rentevoet voor een periode berekend uit de jaarlijkse rentevoet met:

$i=(1+i_{0})^{1/p}-1$

Vermogensverloop bij een lening

Van belang zijn de volgende grootheden:

• $T$: het geleende bedrag, het bedrag van de aanvankelijke schuld
• $n$: het aantal perioden
• $J$: de annuïteit
• $i$: de rentevoet, als fractie, dus het percentage gedeeld door 100, voor de betrokken periode

De $n$ annuïteiten die moeten worden betaald zijn alle $n$ even groot en bestaan uit een deel voor de aflossing en een deel voor de rente. De verdeling tussen het deel voor de aflossing en voor de rente is iedere periode anders. Er geldt bij een annuïteitenlening de volgende vergelijking.

$J={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}\ T$

Berekening 

Voor de $k$-de periode bestaat het periodiek te betalen bedrag $J$ uit:

• de $k$-de aflossing $a_{k}$ en
• de dan betaalde rente $r_{k}$.

$T_{k}$ is de schuld na betaling in periode $k$. Er gelden de volgende vergelijkingen:

$J=a_{k}+r_{k}$

$r_{k}=iT_{k-1}$

$T_{k-1}-a_{k}=T_{k}$

Daaruit volgt:

$a_{k}=J-r_{k}=J-iT_{k-1}=J-i(T_{k-2}-a_{k-1})=(J-iT_{k-2})+ia_{k-1}=(J-r_{k-1})+ia_{k-1}=(1+i)a_{k-1}$

De aflossingen vormen een meetkundige rij met reden $1+i$, dus

$a_{k}=(1+i)a_{k-1}=\ldots =(1+i)^{k-1}a_{1}$

Alle aflossingen $a_{k}$ samen zijn gelijk aan het geleende bedrag $T$, dus:

$T=a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{n}=a_{1}\left(1+(1+i)+(1+i)^{2}+\ldots +(1+i)^{n-1}\right)={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}\ a_{1}$

Voor de eerste periode is:

$a_{1}=J-i\times T$

Dan volgt voor $T$ dat

$T={\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}\ J$

dus voor $J$ dat

$J={\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}\ T={\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}\ T$

De schuld $T_{k}$ kan nog worden geschreven als:

$T_{k}=T-(a_{1}+a_{2}+\ldots +a_{k})=T-{\frac {(1+i)^{k}-1}{i}}(J-iT)=\left(1-{\frac {(1+i)^{k}-1}{(1+i)^{n}-1}}\right)T$

De looptijd $n$ kan nog worden bepaald :

$n=^{1+i}log(J/(J-iT))$

Dit is meestal geen geheel getal, zodat $n$ naar boven wordt afgerond, en de laatste betaling minder is dan $J$.

Men gaat vaak niet van een vaste looptijd uit, maar kiest voor een bepaalde annuïteit $J$. De laatste betaling is dan meestal niet gelijk aan $J$, maar zo, dat de laatste schuld wordt afgelost.

Voorbeeld

Aflossing van een annuïteitenlening, 10 jaar, €100.000 tegen 4%

Een bedrag van 100.000 euro wordt geleend tegen een jaarrente van 4%. Het bedrag moet in 10 jaar worden terugbetaald. De rentevoet is dus $i=0,04$. De annuïteit is:

$J={\frac {0{,}04}{1-1{,}04^{-10}}}\times 100000=12329{,}09$ €.

De volgende tabel toont, in euro's, de ontwikkeling van de jaarlijks te betalen rente, de jaarlijkse aflossing en de schuld aan het einde van elk jaar.

jaar	rente	aflossing	restschuld
0	-	-	100 000
1	4000	8329	91671
2	3667	8662	83009
3	3320	9009	74000
4	2960	9369	64631
5	2585	9744	54887
6	2195	10134	44753
7	1790	10539	34214
8	1369	10961	23254
9	930	11399	11855
10	474	11855	0

Bijvoorbeeld is:

$a_{3}=9008{,}75$

$T_{2}=83008{,}65$

$r_{3}=3320{,}35=0{,}04\times 83008{,}65=i\,T_{2}$

$a_{3}+r_{3}=9008{,}75+3320{,}35=12329{,}10=J$

De contante waarde van de $k$-de annuïteit is gelijk aan het 11-$k$-de aflossingsbedrag. Die van het 1e is dus € 11.855, die van het 2e € 11.399, enzovoort.

Notatie in tabellenboeken

De verhouding $J:T=\ {\frac {i}{1-(1+i)^{-n}}}$ tussen het geleende bedrag $J$ en de daarbij overeengekomen annuïteit $T$ komt dus veel voor om een annuïteit te kunnen berekenen. Deze verhouding uitrekenen kan tegenwoordig met een rekenmachine, maar er waren vroeger tabellenboeken met veel van deze waarden $a_{{\overline {n|}}i}$ voor verschillende $n$ en $i$. Dus:

$a_{{\overline {n|}}i}={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}$

Dit wordt uitgesproken als $a$ hoek $n$ bij $i$. Dat kon wanneer de rentevoet $i$ vaststond worden afgekort tot $a_{\overline {n|}}$ of $a$ hoek $n$.

$J=T\ :\ a_{{\overline {n|}}i}$ en

$T_{k}={\frac {\ a_{{\overline {n-k|}}i}}{\ a_{{\overline {n|}}i}}}T$

Vermogensverloop bij sparen

Van belang zijn de volgende grootheden:

• $J$: het periodiek in te leggen bedrag
• $i$: de rentevoet, als fractie (perunage), dus het percentage gedeeld door 100, voor de betrokken periode

Aan het eind van de $n$-de periode, dus juist voor de volgende inleg wordt gedaan, wordt rente $r_{n}$ ontvangen en is het opgebouwde kapitaal $T_{n}$. Er gelden de volgende betrekkingen:

$r_{n}=i\left(T_{n-1}+J\right)$

$T_{n}=\left(T_{n-1}+J\right)+r_{n}$

Bovendien vindt de inleg steeds aan het begin van een periode plaats, dus

$T_{0}=0$

Daaruit volgt:

$T_{n}=(1+i)\left(T_{n-1}+J\right)=(1+i)\left((1+i)\left(T_{n-2}+J\right)+J\right)=\ldots =$

$=\left((1+i)+(1+i)^{2}+\ldots +(1+i)^{n}\right)J={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}(1+i)J$

Vaak wordt ook het opgebouwde kapitaal $S_{n}$beschouwd direct na de n-de keer inleggen. De ontvangen rente $r_{n}$ is over het opgebouwde kapitaal $S_{n-1}$. Er gelden de volgende betrekkingen:

$r_{n}=iS_{n-1}$

$S_{n}=S_{n-1}+r_{n}+J$

In dit geval is

$S_{1}=J$

en volgt er

$S_{n}=(1+i)S_{n-1}+J=(1+i){\big (}\left((1+i)S_{n-2}+J\right)+J{\big )}=\ldots =$

$=\left(1+(1+i)+(1+i)^{2}+\ldots +(1+i)^{n-1}\right)J={\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}J$

Postnumerando en prenumerando annuïteit

De bovenstaande formules gelden voor de zogeheten postnumerando annuïteit, dus bij betaling aan het eind van een periode.

De prenumerando annuïteit, dus bij betaling vooraf, kan berekend worden door de postnumerando annuïteit te vermenigvuldigen met (1+i).

Voorbeeld 1

Iemand die drie jaar lang ieder jaar 1000 euro kan betalen bij een rentevoet van 4%, kan 2.775 euro lenen. $J=1000$, $i=0,04$ en $n=3$. Het te lenen bedrag $T$ volgt uit:

$T={\frac {1-(1+i)^{-n}}{i}}\ J={\frac {1-(1+0{,}04)^{-3}}{0{,}04}}1000=2775$ euro.

Dit is hetzelfde bedrag als dat iemand moet inleggen om met een rente van 4% drie jaar lang telkens 1000 euro te kunnen opnemen, maar na die drie jaar 0 euro over te houden. Het antwoord is weer 2775 euro.

Voorbeeld 2

De verhouding $a_{{\overline {n|}}i}$ stijgt in $n$ van ${\frac {1}{1+i}}$ naar ${\frac {1}{i}}$, daalt in $i$ van $n$ naar 0 en is:

• Voor kleine $ni$: iets minder dan $n$.
• Voor grote $n$ en kleine $i$: iets minder dan ${\frac {1-e^{-ni}}{i}}$.

Bij een zeer hoge rentevoet per periode, bijvoorbeeld wegens zeer hoge inflatie of een zeer lange periode, kan ook voor $n>1$ gelden dat $a_{{\overline {n|}}i}<1$, dus $|T|<|J|$. In termen van het periodiek betalen van $J$ in plaats van ineens betalen van $T$: de periode uitstel voordat men begint te betalen weegt dan zwaarder dan het feit dat de betaling is gespreid over meerdere termijnen. Bij $n=2$ geldt dit ongeveer vanaf $i=0,62$.

Voetnoten