Kryterium stabilności Hurwitza

Kryterium stabilności Hurwitza – metoda pozwalająca określić stabilność układu regulacji na podstawie równania charakterystycznego układu

$a_{n}\lambda ^{n}+a_{n-1}\lambda ^{n-1}+\ldots +a_{1}\lambda +a_{0}=0$

o współczynnikach $a_{i}$ rzeczywistych.

Z punktu widzenia algebry kryterium Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej $s,$ co pociąga za sobą stabilność układu. Na potrzeby kryterium wykorzystuje się ciąg wyznaczników, utworzonych ze współczynników równania charakterystycznego:

$\Delta _{1}={\begin{vmatrix}a_{n-1}\end{vmatrix}}$

$\Delta _{2}={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n}\\a_{n-3}&a_{n-2}\end{vmatrix}}$

$\Delta _{3}={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n}&0\\a_{n-3}&a_{n-2}&a_{n-1}\\a_{n-5}&a_{n-4}&a_{n-3}\end{vmatrix}}$

$\dots$

$\Delta _{n}={\begin{vmatrix}a_{n-1}&a_{n}&0&\dots &0\\a_{n-3}&a_{n-2}&a_{n-1}&\dots &0\\a_{n-5}&a_{n-4}&a_{n-3}&\dots &0\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\0&0&0&0&a_{0}\end{vmatrix}}.$

Aby układ regulacji był asymptotycznie stabilny muszą zostać spełnione następujące warunki:

1. Wszystkie współczynniki równania charakterystycznego $a_{i}>0$ dla $i=0,1,\dots ,n.$
2. Wszystkie podwyznaczniki (minory) $\Delta _{1},\Delta _{2},\dots ,\Delta _{(}n-1)$ są większe od zera.

W przeciwnym razie układ jest niestabilny. Jeśli jednak któryś z podwyznaczników jest równy zeru, a pozostałe warunki są spełnione, to układ znajduje się na granicy stabilności.

Zbliżonym kryterium jest kryterium stabilności Routha, które dodatkowo pozwala na określenie liczby pierwiastków badanego równania odpowiednio o ujemnych, dodatnich i zerowych częściach rzeczywistych.

Zobacz też

• macierz Hurwitza
• twierdzenie Charitonowa
• wielomian stabilny

Bibliografia

• Krystyna Szacka: Teoria układów dynamicznych. Warszawa: Oficyna wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 1995, s. 123–133. ISBN 83-86569-15-8.
• Arczewski Krzysztof, Pietrucha Józef, Szuster Jan Tomasz: Drgania układów fizycznych. Warszawa: Oficyna Wydawnicza Politechniki Warszawskiej, 2008. ISBN 978-83-7207-748-6. Brak numerów stron w książce