Função sinc
Em matemática, a função sinc, o termo "sinc" é uma contração do nome da função em latim sinus cardinalis (seno cardinal), denotada por e às vezes como , tem duas definições praticamente equivalentes. Na teoria de processamento digital de sinais e informações, a função sinc normalizada é comumente definida por:[1]
Ela é dita normalizada porque a sua integral sobre todos os é . A transformada de Fourier da função sinc normalizada é a função retangular sem escala. Esta função é fundamental no conceito de reconstrução de sinais origenais contínuos limitados em banda, a partir de amostras uniformemente espaçadas desse sinal.[2]
Em matemática, a função sinc não-normalizada historicamente é definida por[3]
A única diferença entre as duas definições está na escala da variável independente (o eixo x) por um fator de π. Em ambos os casos, o valor da função na singularidade removível em zero é entendido como o valor limite . A função sinc é analítica em toda parte.
Propriedades
[editar | editar código-fonte]Os zeros do sinc não normalizado são múltiplos não nulos de ; já os zeros do sinc normalizado são inteiros não nulos.
Os máximos e mínimos locais do sinc não-normalizado correspondem à sua intersecção com a função cosseno. Ou seja, para todos os onde a derivada de é nula (e, portanto, um extremo local é atingido).
A função sinc normalizada tem uma representação simples como o produtório infinito
e está relacionada à função gama pela fórmula de reflexão de Euler:
A transformada de Fourier contínua do sinc normalizado (à frequência comum) é rect(),
onde a função retangular é para argumentos entre , e zero no caso contrário. Isto corresponde ao fato de que o filtro sinc é o filtro passa-baixa ideal ("parede de tijolos", ou seja, resposta em freqüência retangular). Esta integral de Fourier, incluindo o caso especial
é uma integral imprópria e não uma integral de Lebesgue convergente como
A função sinc normalizada tem propriedades que a tornam ideal em relação à interpolação de amostras de funções limitadas em banda:
- É uma função de interpolação, ou seja, , e para inteiros e não-nulos.
- As funções formam uma base ortonormal para as funções limitadas em banda no espaço de funções , cuja maior frequência angular é (isto é, o ciclo de frequência mais alto é ).
Outras propriedades das duas funções sinc são:
- O sinc não normalizado é a zerogésima ordem da função de Bessel esférica de primeiro tipo, . O sinc normalizado é .
- onde é o seno integral.
- (não normalizado) é uma das duas soluções linearmente independentes da EDO linear
- A outra solução é , que diverge em , ao contrário da função sinc.
onde o sinc normalizado é significativo.
Ver também
[editar | editar código-fonte]- Integral de Borwein
- Integral de Dirichlet
- Função de Dirichlet
- Aliasing
- Filtro sinc
- Reamostragem de Lanczos
- Interpolação de Whittaker–Shannon
- Função suave
- Processamento de sinal
- Constante de normalização
- Integral
- Função retangular
- Variáveis dependentes e independentes
- Sistema de coordenadas cartesiano
- Singularidade removível
- Função analítica
- Função gama
- Filtro passa-baixo
- Integral imprópria
- Integral de Lebesgue
- Interpolação
- Amostragem de sinal
- Base ortonormal
- Espaço Lp
- Função de Bessel
- Equação diferencial ordinária
- Delta de Dirac
- Função indicadora
Referências
- ↑ Olver, Frank W. J.; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., eds. (2010), Numerical methods, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255, MR 2723248 (em inglês)
- ↑ M. J. Roberts, Fundamentos de Sinais e Sistemas, McGraw Hill Brasil ISBN 8-563-30857-2
- ↑ Alfredo Julio Fernandes Neto, Flávio Domingues das Neves, Paulo Cézar Simamoto Junior, Fundamentos de Circuitos Elétricos - 5ed , AMGH Editora, 2013 ISBN 8-580-55173-0
- ↑ Euler, Leonhard, On the sums of series of reciprocals (em inglês)
- Este artigo foi inicialmente traduzido, total ou parcialmente, do artigo da Wikipédia em inglês cujo título é «Sinc function», especificamente desta versão.
Ligações externas
[editar | editar código-fonte]- Weisstein, Eric W. «Sinc Function». MathWorld (em inglês)