Função polinomial

 Nota: "Polinômio e Polinómio" redirecionam para este artigo. Para outros significados, veja Polinomial.

Gráfico de uma função polinomial

Em matemática, função polinomial é uma função $P$ que pode ser expressa da forma:

$P\left(x\right)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{1}x^{1}+a_{0}x^{0}=$ $\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i},$

em que $n$ é um número inteiro não negativo e os números $a_{0},a_{1},...a_{n-1},a_{n}$ são constantes, chamadas de coeficientes do polinômio.

Grau de uma função polinomial

Ver artigo principal: Função homogênea

As funções polinomiais podem ser classificadas quanto a seu grau. O grau de uma função polinomial corresponde ao valor do maior expoente da variável do polinômio, ou seja, é o valor de $n$ da função $P\left(x\right)=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}.$

Sejam $f(x)$ e $g(x)$ polinômios de graus quaisquer. Sempre valem as seguintes leis:

• O grau de $f(x).g(x)$ é a soma do grau de $f(x)$ e o grau de $g(x);$
• Se $f(x)$ e $g(x)$ têm grau diferente, então o grau de $f(x)+g(x)$ é igual ao maior dos dois; e
• Se $f(x)$ e $g(x)$ têm o mesmo grau, então o grau de $f(x)+g(x)$ é menor ou igual ao grau de $f(x).$

Funções polinomiais de grau um

Ver artigo principal: Função polinomial de primeiro grau

Gráfico de uma função do 1º grau

Aqui, $n=1.$ Por isso, os polinômios de grau 1 têm a forma $P\left(x\right)=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}=a_{0}+a_{1}x.$

As funções deste tipo são chamadas de função afim. Se $a_{0}=0,$ chamamos esta função afim de linear.

Por exemplo, $f(x)=2x+1$ é uma função polinomial de grau um composta de dois monômios.

Funções polinomiais de grau dois

Ver artigo principal: Função quadrática

Gráfico de uma função do 2º grau

Uma função quadrática é definida como uma função que apresenta o expoente 2 como maior expoente das variáveis. O seu gráfico é constituído por uma parábola. É expressa por:

$f(x)=ax^{2}+bx+c.$

Por exemplo,

$y=4x^{2}+2x+1\rightarrow$ o grau é 2 e é composto de três monômios.

Funções polinomiais de outros graus

• $f(x)=2\rightarrow$ não há variável, mas pode-se considerar que o grau é zero. Esta é uma função constante.
• $f(x)=0\rightarrow$ neste caso, é conveniente dizer que não há grau, ou que o grau é negativo (menos infinito).
• $f(x)=(1/2)x^{4}-7x^{3}+(4/5)\rightarrow$ é uma função polinomial de grau 4. Neste caso: $a_{0}=4/5,a_{1}=0,a_{2}=0,a_{3}=-7,a_{4}=1/2.$

Função constante

Gráfico de uma função constante

Define-se função constante por :

Dado um número $k,$

$f(x)=k,\forall x\in Dom(f)$

$Im(f)=\{k\}$

Ou seja, o valor da imagem será sempre o mesmo, independente do valor do $x.$

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo $x.$;

Polinômios especiais

• Polinómios de Bernstein
• Polinômio característico
• Polinômios de Laguerre
• Polinômios de Tchebychev
• Polinômios de Legendre
• Polinômios de Hermite
• Polinómio de Newton
• Polinômio de Hurwitz
• Polinômio de Lagrange
• Polinômio irredutível
• Polinômio homogêneo

Ver também

• Monômio
• Cálculo com polinômios
• Série de potências
• Coeficiente
• Divisão polinomial
• Fatoração polinomial
• Função racional
• Frações parciais
• Fórmulas de Viète
• Equação algébrica
• Teorema do resto
• Anel de polinômios
• Lema de Gauss
• Critério de Eisenstein
• Interpolação polinomial

Bibliografia

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10. Eugene H. Studier, Richard W. Dapson, Roger E. Bigelow, Analysis of polynomial functions for determining maximum or minimum conditions in biological systems , Pergamon, 1975 OCLC 755240069
11. David R. Finston, The algebra of polynomial functions on a non-associative algebra , University of California, San Diego, 1983 doi:10.2307/2000356

Ligações externas

• Funções Polinomiais PUC minas