Polinom omogen

În matematică un polinom omogen este un polinom ai cărui termeni nenuli au toți același grad.^[1] De exemplu $x^{5}+2x^{3}y^{2}+9xy^{4}$ este un polinom omogen de gradul 5, de două variabile; suma exponenților din fiecare termen este întotdeauna 5. Polinomul $x^{3}+3x^{2}y+z^{7}$ nu este omogen, deoarece suma exponenților nu este aceeași la toți termenii. Funcția definită de un polinom omogen este întotdeauna o funcție omogenă^⁠(d).

O formă algebrică, sau pur și simplu formă, este o funcție definită printr-un polinom omogen. (Totuși, deoarece unii autori nu fac o deosebire clară între un polinom și funcția asociată acestuia, termenii de polinom omogen și formă sunt uneori considerați sinonimi.) O formă binară este o formă de două variabile. O „formă” este, de asemenea, o funcție definită pe un spațiu vectorial, care poate fi exprimată ca o funcție omogenă a coordonatelor peste orice bază.

Un polinom de gradul 0 este întotdeauna omogen; este pur și simplu un element al corpului sau al inelului coeficienților, numit de obicei „constantă”. O formă de gradul 1 este o formă liniară. (Formele liniare sunt definite numai pentru spațiile vectoriale finit dimensionale, prin urmare trebuie să fie distinse de funcționalele liniare, care sunt definite pentru fiecare spațiu vectorial. O „funcțională liniară” este rar folosită pentru spații vectoriale de dimensiuni finite.) O formă de gradul 2 este o formă pătratică. În geometrie, distanța euclidiană este rădăcina pătrată a unei forme pătratice.

Polinoamele omogene sunt omniprezente în matematică și fizică. (Polinoamele omogene în fizică apar adesea ca o consecință a analizei dimensionale, în care mărimile măsurate trebuie să corespundă fenomenelor din lumea reală.) Ele joacă un rol fundamental în geometria algebrică, ca varietate algebrică proiectivă^⁠(d) este definită ca mulțimea zerourilor comune ale unei mulțimi de polinoame omogene.

Proprietăți

Un polinom omogen definește o funcție omogenă. Aceasta înseamnă că, dacă un polinom $P$ de mai multe variabile este omogen de gradul $d$ , atunci

P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=\lambda ^{d}\,P(x_{1},\ldots ,x_{n})

pentru orice $\lambda$ din orice corp care conține coeficienții lui $P$ . Invers, dacă relația de mai sus este adevărată pentru un număr infinit de $\lambda ,$ atunci polinomul este omogen de gradul $d$ .

În particular, dacă $P$ este omogen, atunci

P(x_{1},\ldots ,x_{n})=0\quad \Rightarrow \quad P(\lambda x_{1},\ldots ,\lambda x_{n})=0

pentru orice $\lambda .$ Această proprietate este fundamentală în definirea unei varietăți proiective.

Orice polinom diferit de zero poate fi descompus într-un mod unic ca o sumă de polinoame omogene de diferite grade, care sunt numite componentele omogene ale polinomului.

Fiind dat un inel de polinoame^⁠(d) $R=K[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ peste un corp (sau, mai general, un inel $K$ , forma polinoamelor omogene de gradul $d$ formează un spațiu vectorial (sau un modul^⁠(d)), denumit în mod obișnuit $R_{d}.$ Descompunerea unică de mai sus înseamnă că $R$ este suma directă^⁠(d) a $R_{d}$ (suma tuturor numerele întregi nenegative).

Dimensiunea spațiului vectorial $R_{d}$ este numărul de monoame diferite de gradul $d$ în $n$ variabile (adică numărul maxim de termeni nenuli într-un polinom omogen de grad $d$ în $n$ variabile). Este egală cu coeficientul binomial

{\binom {d+n-1}{n-1}}={\binom {d+n-1}{d}}={\frac {(d+n-1)!}{d!(n-1)!}}.

Un polinom omogen satisface identitatea lui Euler pentru funcțiile omogene. Adică, dacă $P$ este un polinom omogen de grad $d$ în variabilele $x_{1},\ldots ,x_{n},$ el are, oricare ar fi inelul comutativ al coeficienților,

dP=\sum _{i=1}^{n}x_{i}{\frac {\partial P}{\partial x_{i}}},

unde ${\frac {\partial P}{\partial x_{i}}}$ este derivata parțială a lui $P$ în funcție de $x_{i}.$

Omogenizare

Un polinom neomogen $P$ ( $x$ ₁, ... , $x$ _n) poate fi omogenizat prin introducerea variabilei adiționale $x$ ₀ și definind polinomul omogen, uneori notat ^h $P$ :^[2]