MATEMATİKSEL İSTATİSTİK UYGULAMALI Yazarlar: Çiğdem ÖZARI Veysel ULUSOY Düzenleyen: Esra DEMİR EROL Yrd. Doç. Dr. Çiğdem ÖZARI Prof. Dr. Veysel ULUSOY Düzenleyen: Esra DEMİR EROL Uygulamalı Matematiksel İstatistik ISBN 978-605-318-431-7 Kitap içeriğinin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir. © 2016, Pegem Akademi Bu kitabın basım, yayın ve satış hakları Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. Ltd. Şti.ne aittir. Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri, kapak tasarımı; mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıt ya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz. Bu kitap T.C. Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır. Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınları satın almamasını diliyoruz. 1. Baskı: Nisan 2016, Ankara Yayın-Proje: Didem Kestek Dizgi-Grafik Tasarım: İsa Çam Kapak Tasarımı: Mehmet Gruşçu Baskı: Ay-bay Kırtasiye İnşaat Gıda Pazarlama ve Ticaret Limited Şirketi Çetinemeç bulvarı 1314.Cadde No:37A-B Yayıncı Sertifika No: 14749 Matbaa Sertifika No: 33365 İletişim Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay / ANKARA Yayınevi 0312 430 67 50 - 430 67 51 Yayınevi Belgeç: 0312 435 44 60 Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08 Dağıtım Belgeç: 0312 431 37 38 Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60 İnternet: www.pegem.net E-ileti: pegem@pegem.net ÖN SÖZ Akademik eğitim sürecinde ve hatta günlük yaşantımızın her aşamasında karşımıza çıkan ve çoğu zaman da sıkıcı ve zor kabul edilen istatistik ve onun ana dalları, bu kitabımızda daha anlaşılır ve az korkutucu bir düzlemeyle ele alınmıştır. İstatistik disiplininde “rastgele” kavramı aslında günlük yaşamın her anında karşımıza çıkan olguların sayısal halde sunumunu ifade eder. Düşünce ve hareket halindeki her an ve yaklaşım bu kapsam dâhilinde incelenir ve gerekirse modellenir. Bu kitap özellikle bu basit olgu ve format üzerine kurulmuştur. İçeriğinde bol örneklere yer verilmiş ve elden geldiğince de gerçek hayattaki uygulamalarla desteklenmiş bir yapısal görünüm sağlanan kitabımızda doğal olarak istatistik disiplininin temel öğeleri de ayrıntılı olarak ele alınmıştır. Birinci Bölüm’de olasılık kavramı ve yaklaşımlar ile giriş niteliğinde bilgiler ve örneklemeler mevcuttur. Ağır teorik yaklaşımların en aza indirilerek daha çok uygulama ve örneklere yer verilmiştir. Aslında bu doğası ile de kitap bir “ilk” niteliğindedir. Rastgele değişkenler (ki bunlar günlük yaşamdaki ögelerin diğer adıdır) “dağılım” kapsamında İkinci Bölüm’de irdelenmiş ve bol örneklerle desteklenmiştir. “Dağılım” ise önümüze gelir dağılımı, boy dağılımı, not dağılımı, kaynakların dağılımı gibi gerçekten de her anımızı şekillendiren yapısal bir kavramdır. Bu kavram değişik modellemelerle anlatılmış ve örneklendirilmiştir. Rastgele değişkenlerin sürekliliği ile ilgili genel bilgiler ikinci bölümün üçüncü kısmında yer almaktadır. Süreklilik ise zaman içinde sıklık ile eş anlı giden bir birliktelik halindedir. Bir ülkede üretimin sürekliliği, nüfusun yapısal değişimi (yaşa, cinsiyete, işgücüne katılımına göre, hükümet politikalarının uygulanmasına göre, vb.) ve insan sermayesi birikimi gibi faktörler veya verilerle ölçülür. Daha da önemlisi bu ölçümlerin sınılandırılması ve analize tabi bir yapıya dönüştürülmesi bu bölümüm amacını oluşturur. İkinci bölümün Dördüncü Kısmında ise bir önceki bölümde ele alınan süreklilik kavramında rastgele değişkenlerin sıklıkla kullanılanlarının detayını ve örneklemesini içermektedir. Bunlarda bazıları t, Z dağılımı olarak adlandırılan ve hemen hemen her yerde metotları kapsamaktadır. İkinci Bölümün Beşinci Kısmında beklenen değer, varyans ve kovaryans gibi hesaplamalar daha yüksek seviye gerektiren ve faklı bir metodoloji ile ele alınmıştır. İkinci bölümün Altıncı kısmında ise koşullu olasılık ve koşullu beklenen değer kavramları incelenmiştir. Bu bölümde temel amaç özellikle birbirine bağlı olaylarda o bağın nedenselliği ile ilintili diğer olayın meydana gelme olasılığını incelemektir. Özetle, klasik istatistik ve rastgele değişkenleri kapsayan bir kitap formatından çok, akademisyenlerin ve özellikle öğrencilerimizin beklentilerini daha çok örnek ve açıklamalara dayalı bir açıdan karşılamayı amaçlayan bu kitabımızın istatistik disiplinine yeni bir bakış açısı yaratacağı düşüncesine sahibiz. Hayırlı Olsun! NOT: Bu çalışmanın ortaya çıkmış olmasında emeği çok olan öğrencilerimize, özellikle Cihat Topal ve Şükriye Küçükhüseyin’e buradan teşekkür ederiz. Eksiğimiz çok olmakla birlikte kitapta yer alan hatalar tamamen bize aittir. Kitabın basımında emeği geçen PEGEM mensuplarına ve PEGEM ailesiyle tanışmamıza vesile olan Sayın Doç. Dr. Bayram Baş’a ayrıca teşekkürlerimizi sunarız. YAZARLAR Yrd. Doç. Dr. Çiğdem ÖZARI Ekonomi ve Finans, İktisadi ve İdari Bilimler Fakültesi, İstanbul Aydın Üniversitesi Prof. Dr. Veysel ULUSOY Sosyal Bilimler Enstitüsü, Yeditepe Üniversitesi DÜZENLEYEN Esra DEMİR EROL Uluslararası İktisat Yüksek Lisans, Sosyal Bilimler Enstitüsü, İstanbul Aydın Üniversitesi İÇİNDEKİLER 1. BÖLÜM OLASILIĞA GİRİŞ 1.1 Permütasyon, Kombinasyon ......................................................................................... 1 1.1.1 Permütasyon (Permutation) ................................................................................ 1 1.1.2 Kombinasyon (Combination) ............................................................................. 1 1.2 Örnek Uzaylar, Olaylar ve Olasılık (Sample Space, Events And Probabılıty) ........ 5 1.2.1 Örneklem Uzaylar, Olaylar (Sample Space, Events) ........................................ 5 1.2.2 Olasılık-Tanım (Probability-Definition) ........................................................... 9 1.3 Koşullu Olasılık (Condıtıonal Probabılıty) ............................................................... 17 1.4 Bağımsız Olaylar ve Bayes’ Formülü (Independent Varıables & Bayes’ Formula) ............................................................. 25 1.4.1 Bağımsız Olaylar ................................................................................................. 25 1.4.2 Bayes’ Formülü (Bayes’ Formula) ..................................................................... 29 2. BÖLÜM RASTGELE DEĞİŞKENLER (RANDOM VARIABLES) 2.1 Kesikli Rastgele Değişkenler (Discrete Random Variables) ....................................35 2.1.1 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Beklenen Değeri (Expected Value Of Discrete Random Variables) ..........................................38 2.1.2 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Varyansı (Variance Of Discrete Random Variables) ......................................................45 2.1.3 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Standart Sapması (Standart Deviation Of Discrete Random Variables) ....................................51 2.1.4 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Kovaryansı (Covariance Of Discrete Random Variables) .................................................55 2.1.5 Kesikli Rastgele Değişkenlerin Korelasyon Katsayısı (Correlation Coeficient Of Discrete Random Variables) ............................62 vi Uygulamalı Matematiksel İstatistik 2.2 Kesikli Rastgele Değişkenler ........................................................................................71 2.2.1 Bernoulli Dağılım (Bernoulli Distribution) ....................................................71 2.2.2 Rademacher Dağılım (Rademacher Distribution) .........................................72 2.2.3 Binom Dağılım (Binomial Distribution) .........................................................73 2.2.4 Geometrik Dağılım (Geometric Distribution) ...............................................81 2.2.5 Negatif Binom Dağılım (Negative Binomial Distribution) ...........................88 2.2.6 Hipergeometrik Dağılım (Hypergeometric Distribution) ............................90 2.2.7 Poisson Dağılım (Poisson Distribution) ..........................................................96 2.2.8 Poisson Binom Dağılım (Poisson Binomial Distribution) ......................... 101 2. 3 Sürekli Rastgele Değişken (Contınuous Random Varıable) ................................ 102 2.3.1 Sürekli Rastgele Değişkenler İçin Beklenen Değer ...................................... 107 2.3.2 Sürekli Rastgele Değişkenler İçin Varyans.................................................... 109 2.3.3 Sürekli Rastgele Değişkenler İçin Standart Sapma ...................................... 117 2.4 Sürekli Rastgele Değişken (Contınuous Random Varıable) ................................. 120 2.4.1 Uniform (Düzgün) Dağılım (Uniform Distribution) ................................. 120 2.4.2 Üstel Dağılım (Exponential Distribution) .................................................... 126 2.4.3 Normal Ve Standart Normal Dağılım (Normal And Standart Normal Distribution) ............................................. 130 2.5 Birleşik Dağılımlar ..................................................................................................... 139 2.6 Koşullu Olasılık Ve Koşullu Beklenen Değer (Conditional Probability & Conditional Expectation) ......................................... 145 2.7 Momentler................................................................................................................... 148 2.7.1 Moment Türeten Fonksiyon (Moment Generating Function) .................. 148 2.7.2 Olasılık Türeten Fonksiyon (Probability Generating Function) ................ 162 Sorular................................................................................................................................ 168 Çözümler ........................................................................................................................... 173 Kaynaklar........................................................................................................................... 185 1. BÖLÜM OLASILIĞA GİRİŞ 1.1 PERMÜTASYON, KOMBİNASYON 1.1.1 Permütasyon (Permutation) x ve n pozitif doğal sayılar ve x < n olmak üzere, n elemanlı bir kümenin x elemanlı sıralı x’ lilerine kümenin x’ li permütasyonları denir. n elemanlı bir kümenin x’ li permütasyonlarının sayısı P(n, x) ile gösterilir ve aşağıdaki gibi hesaplanır. n! P ^ x, n h = x! 1.1.2 Kombinasyon (Combination) Kombinasyon n tane olaydan (değişkenden) x tanesinin seçilme sayısını gösn n terir. n elemanlı kümenin x’li kombinasyonlarının sayısı C x veya a k ile gösterix lir ve aşağıdaki gibi hesaplanır. n x a k = Cx = n n! x! ^ n - x h ! Permütasyon ile kombinasyon genelde karıştırılmaktadır. Permütasyon da sıralama veya diziliş söz konusudur. Seçimden çok, seçilmiş olunan nesnelerin sıralanışı önemlidir. Kombinasyonda ise, seçim veya seçme söz konusudur. Sıralama ve diziliş yoktur, nesneleri seçmiş olmak yeterlidir. Örnek 1.1 On kişilik bir gruptan dört kişi seçilerek oluşabilecek grupların sayısını bulalım. Cevap: Burada seçim söz konusu olduğundan on kişiden herhangi dört kişinin seçilme sayısını bulacağız. 10 10! 10! 10x9x8x7x6! 10x9x8x7 5040 10 c m = C4 = = = = = = 210 4 4! ^10 - 4h ! 4! 6! 4! 6! 4x3x2 24 Sonuç: 210 2 Uygulamalı Matematiksel İstatistik Örnek 1.2 Yedi kişilik bir gruptan beş kişi seçilerek oluşabilecek takımların sayısını bulalım. Cevap: Seçim söz konusu olduğundan, yedinin beşli kombinasyonunu hesaplamamız gerekir. 7 7! 7! 7x6x5! 7x6 7 c m = C5 = = = = = 21 5 5! ^ 7 - 5 h ! 5! 2! 5! 2! 2 Sonuç: 21 Örnek 1.3 Farklı beş istatistik ve dört ekonomi kitabı bir kitaplığın rafına yan yana dizilecektir. a) Kitaplar kaç farklı şekilde dizilebilir? b) Aynı dersin kitapları yan yana gelmek şartıyla bu dokuz kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? c) Ekonomi kitapları yan yana gelmek şartı ile bu dokuz kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? d) İstatistik kitapları yan yana gelmek şartı ile bu dokuz kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? e) Belli iki kitap yan yana gelmek şartı ile bu dokuz kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? f) Kenarlara istatistik kitapları gelmek şartı ile bu dokuz kitap kaç farklı şekilde dizilebilir? Cevap: a) Rafa kitapları soldan sağa doğru dizdiğimizi varsayalım. Birinci sıraya dizilecek kitap dokuz farklı kitaptan herhangi biri olabilir, birinci sıraya bir kitap dizildikten sonra ikinci sıraya dizilecek kitap kalan sekiz kitap arasından herhangi biri olabilir, birinci ve ikinci sıraya kitapları yerleştirdik. Üçüncü sıraya gelebilecek kitap kalan yedi kitaptan herhangi biri olabilir. Diğer şıkların cevaplarını okuyucuya bırakıyoruz. Olasılığa Giriş Örnek 1.4 Yedi erkek ve sekiz kadın yan yana sıralanacaktır. a) Yan yana kaç farklı şekilde sıralanabilirler? b) Kadınlar yan yana gelmek şartıyla kaç farklı şekilde sıralanabilirler? Cevap: a) Toplam 15 kişi olduklarından, 15! farklı şekilde sıralanabilirler. b) Kadınlar kendi aralarında sıralanacağından kadınları tek kişi olarak düşünelim. Bu durumda, grupta toplam sekiz kişi olacaktır. Sekiz kişide kendi arasında, 8! şekilde sıralanabilir. Burada unutulmaması gereken nokta, kadınların da kendi aralarında 8! şekilde sıralanabileceğidir. Sekiz kadın olduğundan, kadınlar kendi arasında 8! farklı şekilde sıralanmaktadır. Dolayısıyla, toplam 15 kişi olan bu grup, kadınlar yan yana gelmek şartıyla 8!8! farklı şekilde sıralanabilirler. Örnek 1.5 Aşağıdaki koşullar altında bir sınav kaç farklı şekilde cevaplanabilir. a) Sınav her biri dört şıktan üç çoktan seçmeli soru içermektedir. b) Sınav her biri beş şıklı üç çoktan seçmeli soru ve doğru-yanlış tipli on soru içermektedir. Cevap: a) 4 x 4 x 4 = 43 = 64 b) 53 x 210 = 125 x 1024 = 128.000 Örnek 1.6 Bir kulüp otuz üyeye sahiptir. Başkan, başkan yardımcısı, sekreter, veznedar ve danışman pozisyonları doldurulacaktır. Kaç farklı aday listesi hazırlanabilir. Cevap: Başkan 30 farklı üye arasında seçilebilir. Başkan seçildikten sonra 29 üye kalır ve başkan yardımcısı bu 29 üye arasında seçilebilir. Başkan ve başkan yardımcısı seçildikten sonra 28 üye kalır ve sekreter 28 üye arasında seçilebilir. Başkan, başkan yardımcısı ve sekreter seçildikten sonra 17 üye kalır ve veznedar bu 27 üye arasında seçilebilir. Buraya kadar 30 üyeden 4 görev için üye seçildi. Geriye kalan 26 üyeden danışman seçilerek aday listesi hazırlanır, yani 30 x 29 x 28 x 27 x 26 farklı aday listesi hazırlanır. Sonuç: 30 x 29 x 28 x 27 x 26 3 4 Uygulamalı Matematiksel İstatistik Örnek 1.7 (KPSS 2012 Soru 1) 50 öğrencinin bulunduğu bir sınıfın öğrenci kulübüne, bir başkan ve bir başkan yardımcısı olmak üzere iki kişilik yönetim kurulu kaç farklı şekilde oluşturulabilir. Cevap: 50 40 c mc m = 50 x 49 = 2450 1 1 Sonuç: 2450 Örnek 1.8 (KPSS 2008 Soru 17) Dört kimyacı ve beş biyolog arasından ikisi kimyacı ve üçü biyolog olmak üzere beş kişi seçilecektir. Hiçbir kısıtlama olmaksızın beş kişi kaç farklı şekilde seçilebilir. Cevap: 4 5 4! 5! 4! 5! 4 5 c m x c m = C 2 xC 3 = x = x = 6x10 = 60 2 3 ^ h ^ h 2! 4 - 2 ! 3! 5 - 3 ! 2! 2! 3! 2! 4 5 Sonuç: c m x c m = 60 2 3 Örnek 1.9 40 öğrencinin bulunduğu bir sınıfın öğrenci kulübüne bir başkan ve iki başkan yardımcısı olmak üzere üç kişilik yönetim kurulunun kaç farklı biçimde oluşturulabileceğini hesaplayalım. Cevap: İlk önce başkanı seçtiğimizi varsayalım. 40 kişiden herhangi biri başkan olabilir. Başkanı seçtikten sonra başkan yardımcısı da geriye kalan 39 kişiden herhangi biri olabilir. İkinci başkan yardımcısı da geriye kalan 38 kişiden herhangi biri olabilir. Bu durumda yönetim kurulu 40 x 39 x 38 farklı biçimde oluşturulabilir. Sonuç: 59280