Segmentos Orientados

Chamamos de segmento orientado a um segmento de reta que possui sua origem em um ponto e sua extremidade em outro.

Tome-se, por exemplo, o segmento mostrado na figura 1. Dizemos que um seguimento é nulo quando sua origem coincide com sua extremidade (A≡B).

Dado um segmento AB, diz-se que o segmento BA é o seu oposto.

Figura 2-Segmentos Opostos

Dados dois segmentos orientados AB e CD, como os mostrados na figura 3, dizemos que eles têm a mesma direção quando os segmentos AB e CD são paralelos ou coincidentes.

Com relação ao seu sentido, dizemos que dois segmentos possuem o mesmo sentido quando, além de terem a mesma direção possuem a mesma orientação. Quando a orientação é oposta, dizemos que os segmentos são opostos.

Vetores

Chama-se de vetor ao segmento de reta orientado que possui sua origem em um ponto e extremidade em outro. Na figura 5, o segmento AB é chamado de vetor AB e indicado por AB ሬሬሬሬሬԦ . As propriedades abaixo são imediatas:

n≥1), dizemos que eles são linearmente dependentes (LD) se existem escalares a 1 ,a 2 ,........,a n , não todos nulos, tais que:

ou seja,

Os escalares ሺa 1 ,a 2 ,a 3 ሻ são chamadas de componentes, ou coordenadas, de v ሬԦ em relação à base ሺe 1 ሬሬሬሬԦ, e 2 ሬሬሬሬԦ, e 3 ሬሬሬሬԦሻ.

Reciprocamente, a uma terna ሺa 1 ,a 2 ,a 3 ሻ de números reais, existe um único vetor cujas coordenadas são a 1 ,a 2 e a 3 .

Fixada uma base ሺe 1 ሬሬሬሬԦ, e 2 ሬሬሬሬԦ, e 3 ሬሬሬሬԦሻ, é costume se representar o vetor v ሬԦ por meio da terna ሺa 1 ,a 2 ,a 3 ሻ ou ainda, por meio da matriz coluna:

Escrevemos, então:

v ሬԦ = ሺa 1 ,a 2 ,a 3 ሻ ou v ሬԦ = a 1 a 2 a 3 ൩

Deste ponto em diante, o uso de coordenadas será muito freqüente; é conveniente, então, que as operações entre vetores sejam feitas diretamente em coordenadas, assim, faremos o estudo de algumas destas operações:

Adição entre vetores

Se u ሬԦ = ሺa 1 ,a 2 ,a 3 ሻ e v ሬԦ = ሺb 1 ,b 2 ,b 3 ሻ então:

u ሬԦ+v ሬԦ = ሺa 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,a 3 +b 3 ሻ De fato, se u ሬԦ=a 1 e ሬԦ 1 +a 2 e ሬԦ 2 +a 3 e ሬԦ 3 e v ሬԦ=b 1 e ሬԦ 1 +b 2 e ሬԦ 2 +b 3 e ሬԦ 3 , então: u ሬԦ+v ሬԦ=ሺa 1 +b 1 ሻe ሬԦ 1 +ሺa 2 +b 2 ሻe ሬԦ 2 +ሺa 3 +b 3 ሻe ሬԦ 3 ou seja: u ሬԦ+v ሬԦ = ሺa 1 +b 1 ,a 2 +b 2 ,a 3 +b 3 ሻ Quando se usa a notação matricial, podemos escrever: Quais são as coordenadas do ponto P', simétrico do ponto P = (1;0;3) em relação ao ponto M = 1)? (Sugestão: o ponto P' é -)

Verifique se o vetor U é combinação linear de V e W:

12,-6) 1,7,1) 4,-6,2)

Verifique se o vetor U é combinação linear de V e W: V = (5,4,-3) W = (2,1,1) 3,-4,1) Quais dos seguintes vetores são W = (15,-10,5) -9,6,3)

Ortogonalidade.

O conceito de ortogonalidade de vetor, com retas e planos se define de modo natural, usando os mesmos conceitos para os segmentos orientados que representam o vetor. Desta forma é possível definir:

Um vetor u ሬԦ ് 0 ሬԦ é ortogonal à reta r (ao plano π) se existe um representante (A,B) de u ሬԦ tal que o segmento AB é ortogonal a r ( a π).

II. Os vetores u ሬԦ e v ሬԦ são ortogonais se um deles é nulo, ou caso contrário, admitirem representantes perpendiculares.

III. Os vetores u ሬԦ e v ሬԦ são ortogonais se e somente se: ሺx 1 +x 2 ሻ 2 +൫y 1 +y 2 ൯ 2 =x 1 2 +y 1 2 +x 2 2 +y 2 2 Ao se efetuar o produto notável no lado esquerdo da igualdade e fazendo-se as simplificações possíveis, encontramos:

x 1 x 2 + y 1 y 2 = 0 Da mesma forma que foi feito no plano, para dois vetores no espaço R 3 , podemos escrever:

x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 =0 V. Uma base E = ሺe 1 ሬሬሬሬԦ, e 2 ሬሬሬሬԦ, e 3 ሬሬሬሬԦሻ é ortonormal se os vetores e 1 ሬሬሬሬԦ, e 2 ሬሬሬሬԦ, e 3 ሬሬሬሬԦ são unitários e dois a dois ortogonais.

Figura 23

VI. Se E = ሺe 1 ሬሬሬሬԦ, e 2 ሬሬሬሬԦ, e 3 ሬሬሬሬԦሻ é base ortonormal e u ሬԦ=xe ሬԦ 1 +ye ሬԦ 2 +ze ሬԦ 3 , então:

Exercícios.

27. Dadas as bases E; F e G, onde:

Determinar as matrizes mudanças de base entre elas.

28. Dada a base E e sejam: Nesta figura, θ é a medida em radianos (ou graus) do ângulo POQ que é o ângulo entre os vetores u ሬԦ e v ሬԦ.

Vamos procurar uma expressão que nos forneça θ em função de u ሬԦ e v ሬԦ. Para isto, vamos fixar uma base ortonormal ቀi Ԧ ;j Ԧ ;k ሬԦ ቁ, e sejam os vetores u ሬሬሬԦ e v ሬሬሬԦdados por suas coordenadas u ሬԦ=൫x 1 ;y 1 ;z 1 ൯ v ሬԦ=൫x 2 ;y 2 ;z 2 ൯

Aplicando-se a lei dos cossenos ao triângulo POQ, resulta ቚQP ሬሬሬሬሬሬԦ ቚ 2 =|u ሬԦ| 2 +|v ሬԦ| 2 -2|u||v| cos θ Sabemos que:

ቚQP ሬሬሬሬሬሬԦ ቚ 2 =ห൫x 1 -x 2 ,y 1 -y 2 ,z 1 -z 2 ൯ห 2 ቚQP ሬሬሬሬሬሬԦ ቚ 2 =ሺx 1 -x 2 ሻ 2 +൫y 1 -y 2 ൯ 2 +ሺz 1 -z 2 ሻ 2 ቚQP ሬሬሬሬሬሬԦ ቚ 2 =x 1 2 +y 1 2 +z 1 2 +x 2 2 +y 2 2 +z 2 2 -2൫x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ൯

Lembrando que:

x 1 2 +y 1 2 +z 1 2 +x 2 2 +y 2 2 +z 2 2 =|u ሬԦ| 2 +|v ሬԦ| 2

Podemos escrever:

|u||v| cos θ ൌx 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2

Esta expressão nos permite calcular cos θ, pois |u ሬԦ|=ටx 1 2 +y 1 2 +z 1 2 e |v ሬԦ|=ටx 2 2 +y 2 2 +z 2 2 Assim, podemos calcular cos θ por:

cos θ ൌ

x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ටx 1 2 +y 1 2 +z 1 2 · ටx 2 2 +y 2 2 +z 2 2

Para a base E = ሺe

Escreva

25. Sejam:

26. Calcule as coordenadas do vetor v ሬԦ= ሺ1,1,1ሻ da base E na base F do exercício anterior.

Mudança de Base

A escolha de uma base conveniente pode, muitas vezes, ajudar a resolver um problema qualquer.

Consideremos, então, duas bases:

Como F pode ser escrita como sendo combinação linear de E, podemos, então, escrever: v ሬԦ = y 1 ሺa 11 e 1 ሬሬሬሬԦ+a 21 e 2 ሬሬሬሬԦ+a 31 e 3 ሬሬሬሬԦሻ +y 2 ሺa 12 e 1 ሬሬሬሬԦ+a 22 e 2 ሬሬሬሬԦ+a 32 e 3 ሬሬሬሬԦሻ +y 3 ሺa 13 e 1 ሬሬሬሬԦ+a 23 e 2 ሬሬሬሬԦ+a 33 e 3 ሬሬሬሬԦሻ.

O vetor v ሬԦ pode então ser escrito como: v ሬԦ=൫y 1 a 11 +y 2 a 12 +y 3 a 13 ൯e ሬԦ 1 +൫y 1 a 21 +y 2 a 22 +y 3 a 23 ൯e ሬԦ 2 +൫y 1 a 31 +y 2 a 32 +y 3 a 33 ൯e ሬԦ 3 Assim, as coordenadas x 1 ; x 2 e x 3 podem ser escritas como:

x 1 =y 1 a 11 +y 2 a 12 +y 3 a 13

x 2 =y 1 a 21 +y 2 a 22 +y 3 a 23

x 3 =y 1 a 31 +y 2 a 32 +y 3 a 33

As três expressões acima, podem ser escritas na forma matricial que é:

x 1 x 2 x 3 ൩ ൌ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ൩ ൈ y 1 y 2 y 3 ൩

Note-se, então que a matriz dos coeficientes a ij é a matriz que relaciona as coordenadas do vetor v ሬԦ na base E com as coordenadas deste mesmo vetor, na base F. Assim sendo, esta matriz é chamada de Matriz Mudança de Base.

De uma maneira geral, podemos escrever: ሾXሿ=ሾMሿ×ሾYሿ

Mudança de Base Ortornormal.

Sejam E e F duas bases ortonormais e seja a matriz M a matriz mudança de base de E para F. Quando as bases são ortonormais, a matriz transposta é igual à matriz inversa, ou seja:

Assim, se E é uma base ortonormal, para que F, também, seja ortonormal é necessário e suficiente que a matriz de mudança de E para F seja ortogonal.

Como o determinante de uma matriz é igual ao determinante de sua matriz transposta, podemos escrever:

Para que duas bases sejam ortonormais, a matriz mudança de base entre elas deve ser ortogonal e o determinante desta matriz pode ser igual a 1 ou -1.

Produto Escalar.

Vamos definir um produto entre dois vetores cujo resultado é um escalar. Por isso ele é chamado de Produto Escalar.

Chama-se produto escalar dos vetores u ሬԦ e v ሬԦ ao número u ሬԦ · v ሬԦ (também pode ser escrito como u ሬԦ ൈ v ሬԦ) tal que:

• u ሬԦ×v ሬԦ=0 quando u ሬԦ e v ሬԦ forem diferentes de zero e ortogonais.

Como|u||v| cos θ ൌx 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 , podemos escrever:

u ሬԦ ൈ v ሬԦ = x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 desde que estas coordenadas se refiram a uma base ortonormal.

Podemos, então, determinar o ângulo θ por meio de:

x 1 x 2 +y 1 y 2 +z 1 z 2 ටx 1 2 +y 1 2 +z 1 2 · ටx 2 2 +y 2 2 +z 2 2 Por ser um produto, podemos escrever:

Propriedades do Produto Escalar.

As propriedades do produto entre números se aplicam no produto escalar:

OBS:-convém observar que u ሬԦ×v ሬԦ ≠ u ሬԦ×w ሬሬԦ. Assim, não é possível cancelar u ሬԦ e escrever v ሬԦ = w ሬሬԦ.

Determinar

37. Mostrar que:

38. Se ሺe 1 ሬሬሬሬԦ, e 2 ሬሬሬሬԦ, e 3 ሬሬሬሬԦሻ é uma base ortonormal e u ሬԦ Ԗ V 3 , mostre que: u ሬԦ = ሺu ሬԦ×e ሬԦ 1 ሻe ሬԦ 1 +ሺu ሬԦ×e ሬԦ 2 ሻe ሬԦ 2 +ሺu ሬԦ×e ሬԦ 3 ሻe ሬԦ 3 39. Prove que as diagonais de um quadrado são perpendiculares entre si. i.

1 0 1 2 1 0 0 1 -1 ൩ j.

1 0 1 0 2 1 0 1 1 ൩ k. 6/7 3 2 2/7 6 3 3/7 -2 6 ൩ l.

1/3 2/3 2/3 2/3 -2/3 1/3 2/3 1/3 -2/3 51. Determine as matrizes inversas das matrizes ortogonais do exercício 50. Isto pode ser entendido como sendo o produto entre o vetor e quantidade h, que "promove a rotação" desta quantidade, tendo como centro de rotação a extremidade do vetor Observe-se, aqui, que o produto w v fornece um vetor com sentido oposto ao produto v w. Observe a figura 29.

Seja E=ቀi

Figura 29

Para os vetores um escalar, são válidas as seguintes propriedades: Assim o produto vetorial é nulo quando um de seus vetores é nul quando senθ é nulo. O seno de um ângulo é nulo quando ele é igual a n para qualquer n. Nesta situação os dois vetores possuem a mesma direção. Estas propriedades são facilmente entendidas e serão demonstradas na forma de exercícios.

Vetores Canônicos

São vetores unitários, paralelos aos eixos coordenados (x,y,z). Estes vetores são indicados como:

Paralelos aos eixos ሺx ሬԦ,y ሬԦ,z ሬԦሻ, respectivamente.

Desta maneira, qualquer vetor v ሬԦ=v ሬԦ 1 ,v ሬԦ 2 ,v ሬԦ 3 , pode ser escrito como sendo

Pela definição e propriedades do produto vetorial, podemos facilmente encontrar: As componentes do vetor resultante são dadas por:

Assim, o vetor resultante fica:

v ሬԦ‫ר‬w ሬሬԦ = 2i Ԧ -7j Ԧ -6k ሬԦ Com estas componentes, o módulo do vetor resultante fica: |v ሬԦ‫ר‬w ሬሬԦ|= ට 2 2 +ሺ-7ሻ 2 +ሺ-6ሻ 2 |v ሬԦ‫ר‬w ሬሬԦ|=ඥ89

Vamos agora, determinar a área do triângulo P, Q, R, onde P = (3; 2; 0); Q = (0; 4; 3) e R = (1; 0; 2). Veja a figura 32.

Determine o vetor

x ሬԦ tal que:

x ሬԦ‫(ר‬i Ԧ +k ሬԦ )=-2i Ԧ 2k ሬԦ e |x ሬԦ| ൌ √6 61. Prove que |v ሬԦ‫ר‬w ሬሬԦ|=|v ሬԦ|ൈ|w ሬሬԦ| se e somente se v ሬԦ٣w ሬሬԦ.

62. Calcule a distância do ponto C à reta R que passa por dois pontos distintos A e B.

Produto Misto

O produto misto é um escalar obtido pelo produto escalar entre um vetor u ሬԦ e o vetor resultante de um produto vetorial (v ሬԦ‫ר‬w ሬሬԦ), ou seja: R=(v ሬԦ‫ר‬w ሬሬԦ) × u ሬԦ Para três vetores, dados por suas coordenadas:

v

O produto misto, usando as componentes dos vetores, é dado por:

Para entendermos o produto misto, vamos fazer o seguinte exemplo:

Determinar o produto misto entre os vetores: Por esta propriedade, é possível saber se três vetores pertencem ao mesmo plano. Estes vetores pertencem ao mesmo plano quando o volume calculado pelo produto misto for igual a zero; ou seja, dados três vetores u ሬԦ; v ሬԦ e w ሬሬԦ, eles estarão no mesmo plano quando:

(v ሬԦ‫ר‬w ሬሬԦ) ×u ሬԦ=0

(v ሬԦ‫ר‬w ሬሬԦ) ×u ሬԦ= det v 1 v 2 v 3 w 1 w 2 w 3 u 1 u 2 u 3 ൩ = 0

Exemplo:

Verificar se os pontos P=(0;1;1), Q=(1;0;2), R=(1;-2;0) e S=(-2;2;-2) são coplanares.

Com estes pontos podemos construir os vetores:

PQ ሬሬሬሬሬሬԦ =ሺ1-0, 0-1, 2-1ሻ=ሺ1,-1,1ሻ

PR ሬሬሬሬሬሬԦ =ሺ1-0, -2-1, 0-1ሻ=ሺ1,-3,-1ሻ

PS ሬሬሬሬሬԦ =ሺ-2-0, 2-1, -2-1ሻ=ሺ-2,1,-3ሻ

Para que os pontos sejam coplanares, é necessário que os vetores traçados, sejam coplanares, ou seja:

Com este resultado podemos afirmar que os três pontos estão no mesmo plano.

Ainda é possível escrever as seguintes propriedades do produto misto:

Duplo produto vetorial.

Chama-se de duplo produto vetorial dos vetores u ሬԦ; v ሬԦ e w ሬሬԦ, ao vetor (v ሬԦ‫ר‬w ሬሬԦ) ‫ר‬ u ሬԦ.

Como o produto vetorial não é associativo, em geral,

Retas e Planos

Estudo da Reta.

Seja uma reta r que passa pelo ponto A e que tem a direção de um vetor não nulo v ሬԦ. Para que um ponto P qualquer do espaço pertença á reta r é necessário e suficiente que os vetores PA ሬሬሬሬሬԦ e v ሬԦ sejam linearmente dependentes; isto é que exista um número real tal que:

PA ሬሬሬሬሬԦ =λv ሬԦ Para cada ponto P de r temos um valor para λ λ λ λ, assim é possível escrever:

que é conhecida como equação vetorial da reta.

Se a reta for conhecida por dois pontos distintos A e B, a direção de r será dada pela direção do vetor B-A (BA ሬሬሬሬሬԦ ). Nesta situação a equação da reta fica:

P=A+λሺB-Aሻ

A figura 38 mostra uma reta, paralela ao plano formado eixos x e z.

Figura 38

A figura 39 mostra uma reta qualquer e sua equação.

Figura 39

Equações Paramétricas da

Reta.

Sejam, ቀ0,i Ԧ , j Ԧ , k ሬԦ ቁ um sistema de coordenadas, um ponto genérico P=ሺx,y,zሻ, pertencente a uma reta r; um ponto A=൫x 0 ,y 0 ,z 0 ൯, que sabidamente pertence a r e um vetor v ሬԦ=ሺa,b,cሻ, não nulo, de direção paralela a r. Da equação vetorial da reta r, podemos escrever:

P=A+λሺB-Aሻ ሺx,y,zሻ=൫x 0 ,y 0 ,z 0 ൯+λሺa,b,cሻ ቐ x=x 0 +λa y=y 0 +λb z=z 0 +λc que são as equações paramétricas de uma reta. 84. Faça um esboço das retas dadas a seguir: a. (x; y; z) = (-3 + 3t; 3/2 -1/2 t; 4 -2t) b. (x; y; z) = (2t; t; 3/2 t) c. (x; y; z) = (1 + t; 2; 3 + 2t) d. (x; y; z) = (1; 2 + 2t; 5/2 + 3/2 t)

Equações do Plano

Sabemos que no plano a equação geral de uma reta é ax+by+c=0 e para conhecê-la é necessário conhecer um de seus pontos e sua inclinação. Lembra-se, aqui, que a reta também pode ser conhecida se conhecermos dois de seus pontos.

x y incl ina ção Ponto

Figura 40

No espaço um plano é o conjunto dos pontos P=(x;y;z) que satisfazem a equação ax+by+cz+d=0; para a; b; c Ԗ R; que é chamada equação geral do plano.

Existe uma analogia entre uma reta no plano e um plano no espaço. No plano, a equação de uma reta é determinada se forem dados sua inclinação e um de seus pontos.

No espaço, a inclinação de um plano é caracterizada por um vetor perpendicular a ele, chamado vetor normal ao plano. Desta forma, a equação de um plano é determinada se são dados um vetor que lhe é normal e um de seus pontos.

Na figura 41, o plano indicado, pelos pontos P; Q; R e S, pode ser fornecido pelo vetor u ሬԦ e um dos pontos pertencentes a este plano. Note-se que, qualquer segmento de reta, pertencente a este plano, que una um de seus pontos ao ponto do vetor, (ponto este pertencente a este plano), é ortogonal a este vetor. Podemos lembrar, também, que o produto vetorial entre dois vetores fornece um terceiro vetor ortogonal aos dois primeiros. Podemos, dizer, então que este terceiro vetor é normal ao plano que contém os dois primeiros. Isto pode ser observado na figura 42. v w vLw -normal ao plano P Plano P de v, w

Figura 42

A equação geral de um plano π que passa por um ponto P 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) e tem vetor normal N ሬሬԦ = (a; b; c) é: ax + by + cz + d = 0 onde d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 ) e x; y e z são coordenadas de um ponto P pertencente a este plano.

Demonstração:

Um ponto P, de coordenadas P = (x; y; z), pertence ao plano π se, e somente se, o vetor P 0 P ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ for perpendicular ao vetor N ሬሬԦ (normal ao plano π), ou seja, se o produto escalar entre o vetor P 0 P ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ e o vetor N ሬሬԦ for nulo.

N ሬሬԦ ൈ P 0 P ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ =0

Como, P 0 P ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = (x-x 0 ; y-y 0 ; z-z 0 ), o produto escalar entre P 0 P ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ e N ሬሬԦ pode ser reescrito como: (a; b; c)ൈ (x-x 0 ; y-y 0 ; z-z 0 )=0

aሺx-x 0 ሻ+ b൫y-y 0 ൯+ cሺz-z 0 ሻ=0 ou seja, ax + by + cz -(ax 0 + by 0 + cz 0 ) = 0 o que fornece: d = -(ax 0 + by 0 + cz 0 )

Como exemplo, vamos encontrar a equação do plano π que passa pelo ponto P 0 = (1; -2; -2) e é perpendicular ao vetor N ሬሬԦ = (2; -1; 2) A equação do plano π é dada por: ax + by + cz + d = 0 onde a; b e c são as coordenadas do vetor normal N ሬሬԦ . Assim é possível escrever:

2x -y + 2z + d = 0

Para que P 0 , pertença ao plano π, é necessário que seja satisfeita a equação ax+by+cz+d=0 que, substituindo d por -(ax 0 + by 0 + cz 0 ), temos: ax + by + cz + [-(ax 0 + by 0 + cz 0 )] = 0 Sabendo-se que a; b e c são as coordenadas do vetor N ሬሬԦ e substituindo-as na equação, temos:

2x-y+2z + [-(2·1+ ൫-1൯·൫-2 ൯+ 2·൫-2൯)] = 0 2x-y+2z + -2+2-4 = 0 2x -y + 2z = 0 que é a equação do plano π.

Como foi dito no início deste capítulo, uma reta é conhecida a partir do conhecimento de dois de seus pontos. De forma análoga, um plano é determinado se forem conhecidos três de seus pontos que não são colineares. Assim, dados três pontos P 1 , P 2 e P 3 , é possível construir os vetores P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ e P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ . Com estes vetores é possível, por meio do produto vetorial, encontrar o vetor normal ao plano (N ሬሬԦ ሻ.

Sejam, por exemplo, os pontos P 1 =(1/2,0,0); P 2 =(0,1/2,0) e P 3 =(0, -1/2,1/2). Com estes pontos construímos os vetores:

O vetor N ሬሬԦ obtido pelo produto vetorial entre P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ e P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ é:

N ሬሬԦ = P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ‫ר‬ P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ N ሬሬԦ = ൬-1 2 , 1 2 ,0൰ ‫ר‬ ൬-1 2 ,-1 2 , 1 2 ൰ vetores da base componentes de P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ componentes de P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ → → → i Ԧ j Ԧ k ሬԦ -1/2 1/2 0 -1/2 -1/2 1/2 As componentes do vetor N ሬሬԦ resultante são dadas por:

Sabendo-se que o vetor N ሬሬԦ é normal ao plano que contem os vetores P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ e P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ , a equação do plano é dada por:

ax + by + cz + d = 0 onde a = ¼; b = ¼ e c = ½. Assim, a equação do plano fica:

¼x + ¼y + ½z + d = 0

Para determinar o coeficiente d, vamos usar o fato de que P 1 =(1/2,0,0) pertence ao plano π se suas coordenadas satisfazem a equação de π; isto é: ax + by + cz + [-(ax 1 + by 1 + cz 1 )] = 0 ¼x + ¼y + ½z + [-(¼ ‫½ڄ‬ + ‫0ڄ¼‬ + ‫])0ڄ½‬ = 0 ¼x + ¼y + ½z -1/8 = 0 que multiplicando por 8, fornece a equação do plano π:

2x + 2y + 4z -1 = 0 Outra maneira de encontrar a equação do plano π é lembrar que o produto misto de três vetores que estão no mesmo plano é igual a zero. Desta forma, considerando um ponto P de coordenadas (x, y, z) pertencente ao mesmo plano dos vetores P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ e P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ , podemos definir um terceiro vetor P 1 P ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ , cujas coordenadas são:

O produto misto entre P 1 P ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ,P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ e P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ , é dado por:

(P 1 P ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ‫ר‬P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ) ×P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = det x-1/2 y z -1/2 1/2 0 -1/2 -1/2 1/2 ൩ = 0 ¼x + ¼y + ½z -1/8 = 0 que multiplicando por 8, fornece a equação do plano π:

2x + 2y + 4z -1 = 0

Equações Paramétricas do Plano

Da mesma forma que foi feito com a reta, além da equação geral do plano podemos também caracterizar os pontos de um plano da seguinte forma: Considere um plano π, um ponto P 0 = (x 0 ; y 0 ; z 0 ) pertencente a π e dois vetores v ሬሬԦ= (v 1 ; v 2 ; v 3 ) e w ሬሬሬԦ= (w 1 ;w 2 ;w 3 ), não colineares, paralelos a π. Um ponto P = (x; y; z) pertencerá ao plano π se, e somente se, o vetor P 0 P ሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = (x-x 0 ; y-y 0 ; z-z 0 ) for uma combinação linear de v ሬԦ e w ሬሬԦ, ou seja, se existem escalares t e s tais que:

Escrevendo em termos de componentes esta expressão pode ser escrita como: (x-x 0 ;y-y 0 ;z-z 0 )=t·(v 1 ;v 2 ;v 3 )+ s·(w 1 ;w 2 ;w 3 ) (x-x 0 ;y-y 0 ;z-z 0 )=t·v 1 +s·w 1 +t·v 2 +s·w 2 +t·v 3 +s·w 3 ቐ x=x 0 +t‫ڄ‬v 1 +s‫ڄ‬w 1 y=y 0 +t‫ڄ‬v 2 +s‫ڄ‬w 2 z=z 0 +t‫ڄ‬v 3 +s‫ڄ‬w 3 estas equações são chamadas de equações paramétricas do plano π.

De uma forma geral, a construção das equações paramétricas é feita da seguinte maneira: ቐ x=x 0 +t‫ڄ‬v 1 +s‫ڄ‬w 1 y=y 0 +t‫ڄ‬v 2 +s‫ڄ‬w 2 z=z 0 +t‫ڄ‬v 3 +s‫ڄ‬w 3 Para melhor entender o que foi colocado, vamos fazer o seguinte exemplo:

Vamos obter as equações paramétricas de um plano usando o fato de que ele passa pelo ponto P 1 = ( 1 2; ⁄ 0;0) e é paralelo aos vetores P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = ( -1 2 ⁄ ; 1 2 ⁄ ;0) e P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = ( -1 2 ⁄ ; -1 2 ⁄ ; 1 2 ⁄ ).

Assim:

൝ x=1/2 -1/2 ‫ڄ‬ t -1/2 ‫ڄ‬ s y = 0 + 1/2 ‫ڄ‬ t -1/2 ‫ڄ‬ s z = 0 0 ‫ڄ‬ t 1/2 ‫ڄ‬ s ൝ x = 1/2 -1/2 ‫ڄ‬ t -1/2 ‫ڄ‬ s y = 1/2 ‫ڄ‬ t -1/2 ‫ڄ‬ s z = 1/2 ‫ڄ‬ s Como outro exemplo, vamos esboçar o plano π que tem por equações paramétricas: ൝ x = t y = s z = 1

As equações paramétricas foram determinadas a partir de: ൝ x = 0 + 1 ‫ڄ‬ t + 0 ‫ڄ‬ s y = 0 + 0 ‫ڄ‬ t + 1 ‫ڄ‬ s z = 1 + 0 ‫ڄ‬ t + 0 ‫ڄ‬ s A partir das equações para métricas, é possível fornecer a equação vetorial do plano π. Vamos tomar, por exemplo, o plano π que tem as seguintes equações paramétricas: ൝ x = -6 + t -s y = -1 + 7t -14s z = 4 -5t + 2s

Uma maneira de fornecer a equação vetorial do plano π é lembrar que o plano passa pelo ponto P 1 = (-6;-1;4) e é paralelo aos vetores v ሬԦ=(1; 7; -5) e w ሬሬԦ=(-1; -14; 2). Com isto podemos escrever: X =(-6;-1;4) + t(1; 7; -5) + s (-1; -14; 2) Ainda, com essas equações paramétricas e sabendo que o plano passa pelo ponto P 1 = (-6;-1;4) e é paralelo aos vetores v ሬԦ=(1; 7; -5) e w ሬሬԦ=(-1; -14; 2), podemos fazer o produto vetorial v ሬԦ ‫ר‬ w ሬሬԦ:

As componentes do vetor N ሬሬԦ resultante são dadas por:

Sabendo-se que o vetor N ሬሬԦ é normal ao plano que contem os vetores P 1 P 2 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ e P 1 P 3 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ , a equação do plano é dada por:

ax + by + cz + d = 0 onde a = -56; b = 3 e c = -7. Assim, a equação do plano fica:

-56x + 3y -7z + d = 0

Para determinar o coeficiente d, vamos usar o fato de que P 1 =(-6,-1,4) pertence ao plano π se suas coordenadas satisfazem a equação de π; isto é: ax + by + cz + [-(ax 1 + by 1 + cz 1 )] = 0 -56x + 3y -7z + [-(-56 ‫ڄ‬൫-6൯ + ‫)1-(ڄ3‬ -‫])4ڄ7‬ = 0 -56x + 3y -7z -305 = 0 Lembrando que outra maneira de encontrar a equação do plano π é lembrar que o produto misto de três vetores que estão no mesmo plano é igual a zero e considerando um ponto P 1 = (-6;-1;4) pertencente ao mesmo plano dos vetores v ሬԦ = (1; 7; -5) e w ሬሬԦ = (-1; -14; 2), podemos definir um terceiro vetor t Ԧ , cujas coordenadas são: 87. Para os dois planos π 1 e π 2 , verifique (e explique por que), se π 1 = π 2 , quando:

π 1 : X=ሺ1, 2, 1ሻ+ µሺ1, -1, 2ሻ+ ν ൬-1 2 , 2 3 , -1൰ π 2 : X=ሺ1, 2, 1ሻ+ αሺ-1, 1, -2ሻ+ βሺ-3, 4, -6ሻ

88. Para os dois planos π 1 e π 2 , verifique (e explique por que), se π 1 = π 2 , quando:

π 1 : X=ሺ1, 1, 1ሻ+ µሺ2, 3, -1ሻ+ νሺ-1, 1, 1ሻ 99. Dados os planos π 1 : x -y + z + 1=0 e π 2 : x + y -z -1 = 0, determine a reta que é obtida na interseção entre os planos.

100. Determine, para o exemplo anterior, o plano que contém π 1 ∩ π 2 e é ortogonal ao vetor (-1; 1;-1).

101. Quais dos seguintes pares de planos se cortam segundo uma reta? a. x + 2y -3z -4 = 0 e x -4y + 2z + 1 = 0; b. 2x -y + 4z + 3 = 0 e 4x -2y + 8z = 0; c. x -y = 0 e x + z = 0.

102. Encontre as equações da reta que passa pelo ponto Q = (1; 2; 1) e é perpendicular ao plano x -y + 2z -1 = 0 103. Determinar as equações da reta que intercepta as retas r 1 e r 2 e é perpendicular a ambas

Exercícios

112. Estude a posição relativa entre a reta r e o plano π. r: X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1)

π: x -y -z = 2 113. Estude a posição relativa entre a reta r e o plano π.

r:ቊ x-y+z=0 2x+y-z-1=0 π: X = (0, 1 2 , 0) + λ(1, -1 2 , 0) + µ(0, 0, 1) 114. Determine o valor de m e n para que a reta r: X = (n, 2, 0) + λ(2, m, m) esteja contida no plano π: x -3y + z = 1.

115. Dados o plano π e a reta r e sabendo que a reta é concorrente ao plano, determinar a posição em que r encontra o plano π. r: X = (1, 1, 1) + α(3, 2, 1)

π: X = (1, 1, 3) + λ(1, -1, 1) + µ(0, 1, 3)

116. Determine o ponto de interseção entre a reta r e o plano π. r: X = (1, 1, 0) + λ(0, 1, 1)

π: x -y -z = 2

117. Estude a posição relativa entre os planos π 1 e π 2 .

π 1 : X = (1, 1, 1) + λ(0, 1, 1) + µ(-1, 2, 1) π 2 : X = (1, 0, 0) + λ(1, -1, 0) + µ(-1, -1, -2) 118. Estude a posição relativa entre os planos π 1 e π 2 .

π 1 : 2x -y + 2z -1 = 0 π 2 : 4x -2y +4z = 0 119. Estude a posição relativa entre os planos π 1 e π 2 .

π 1 : x -y + 2z -2 = 0 π 2 : X = (0, 0, 1) + λ(1, 0, 3) + µ(-1, 1, 1) 120. Determine o valor de m para que os planos π 1 e π 2 sejam paralelos e distintos quando n = -5 e quando n = 1. π 1 : X = (1, 1, 0) + λ(m, 1, 1) + µ(1, 1, m) π 2 : 2x + 3y + 2z + n = 0

105.

Estude a posição relativa das retas r e s. r: X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s: X = (0, 1, 0) + φ(1, 1, 1)

106.

Estude a posição relativa das retas r e s. r: X = (1, 2, 3) + λ(0, 1, 3) s: X = (1, 3, 6) + µ(0, 2, 6) 107.

Determine a posição relativa das retas r e s. r: X = (1, 1, 1) + λ(2, 2, 1) s: X = (0, 0, 0) + t (1, 1, 0) 108.

Sejam r 1 : X = (1; 0; 2) + (2λ; λ; 3λ) e r 2 : X = (0; 1;-1) + (t; mt; O problema a ser resolvido é determinar se uma reta r está contida; é paralela ou se é concorrente a um plano π π π π(intercepta o plano em um único ponto).

Para resolver o problema devemos estudar a intersecção entre a reta e o plano.

Sejam a reta r: (x; y; z) = OP ሬሬሬሬሬሬԦ = OP ሬሬሬሬሬሬԦ +λv ሬԦ e o plano π π π π: ax + by + cz + d = 0. Se além dos vetores v ሬԦ e N ሬሬԦ serem ortogonais, um ponto qualquer da reta pertence ao plano, por exemplo, se P 0 pertence a π π π π (P 0 satisfaz a equação de π), então a reta está contida no plano. • Achar um vetor v ሬԦ = (m, n, p) paralelo à reta r e uma equação geral do plano π: ax + by + cz + d = 0

• Se am + bn + cp ≠ 0 (produto escalar v ሬԦ ൈ N ሬሬԦ ); a reta é transversal ao plano e para obter o ponto comum entre eles , basta resolver o sistema formado por suas equações.

• Se am + bn + cp = 0 (v ሬԦ ൈ N ሬሬԦ =0); podemos ter a reta contida no plano ou paralela ao plano. Para resolver o problema, basta escolher um ponto A qualquer de r e verificar se ele pertence a π π π π.

o Se A pertence a π π π π, então r pertence a π π π π.

o Se A não pertence a π π π π, então r é paralelo a π π π π.

Vamos, por exemplo, dados o plano π π π π e a reta r, determinar a posição relativa entre eles: r: X = (1, 1, 1) + α(3, 2, 1) π: X = (1, 1, 3) + λ(1, -1, 1) + µ(0, 1, 3)

Vamos observar os três vetores: v ሬԦ=(3, 2, 1) diretor de r e os vetores u ሬԦ=(1, -1, 1) e w ሬሬԦ=(0, 1, 3), diretores de π π π π.

Se estes três vetores forem LI, então o vetor v ሬԦ é concorrente ao plano π π π π.

Para verificar se eles são LI, vamos fazer o produto misto entre v ሬԦ,u ሬԦ e w ሬሬԦ e para tal, construir a matriz com os vetores v ሬԦ,u ሬԦ e w ሬሬԦ e encontrar seu determinante.

(u ሬ ሬԦ ‫ר‬w ሬሬሬԦ ) ×v ሬԦ= det 3 2 1 1 -1 1 0 1 3 ൩ = -17 ≠ 0

Como o determinante foi diferente de zero; então, os vetores são LI e o vetor v ሬԦ não pertence ao plano de u ሬԦ e w ሬሬԦ.

Outra forma de resolver o problema é encontrar a equação geral do plano π π π π. Para tal, usando o ponto P 0 =(1, 1, 3), podemos estabelecer um vetor P-P 0 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ =(x-1, y-1, z-3) e fazer o produto misto P-P 0 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ ,u ሬԦ e w ሬሬԦ que deve ser igual a zero pois estes vetores pertencem ao mesmo plano e são LD. Podemos então, montar o seguinte produto:

(u ሬ ሬԦ ‫ר‬w ሬሬሬԦ ) ×P-P 0 ሬሬሬሬሬሬሬሬሬሬԦ = det x-1 y-1 z-3 1 -1 1 0 1 3 ൩ = 0 O que fornece a equação de π:

4x + 3y -z -4=0

Sendo v ሬԦ=(3, 2, 1) um diretor de r quando substituímos as coordenadas deste vetor na equação geral do plano π, temos: 4·3 + 3·2 -1 =-17 ≠ 0

Com isto vemos que a reta não pertence ao plano sendo, portanto concorrente a ele.

Outro exemplo pode ser feito quando temos uma reta paralela ao plano.

r: X = (2, 2, 1) + α(3, 3, 0)

π: X = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(0, 0, 3)

Tomemos, por exemplo, o vetor v ሬԦ=(3, 3, 0) paralelo a r e os vetores u ሬԦ=(1, 1, 1) e w ሬሬԦ=(0, 0, 3), paralelos a π.

Da mesma forma que no exemplo anterior, vamos fazer o produto misto entre os vetores (u ሬ ሬԦ ‫ר‬w ሬሬሬԦ ) ×v ሬԦ= det 3 3 0 1 1 1 0 0 3 ൩ = 0

Como os vetores são LD, ou eles pertencem ao mesmo plano ou o vetor v ሬԦ é paralelo ao plano π.

Para fazer esta verificação, vamos tomar um ponto qualquer de r e observar se ele pertence ou não a π.

Fazendo α = 0, na equação vetorial de r, obtemos o ponto P = (2, 2, 1). Substituindo este ponto na equação de π, temos:

(2, 2, 1) = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(0, 0, 3) Ou seja: ൝ 2=1+λ 2=λ 1=1+ +3µ O sistema montado é incompatível (λ não pode ter dois valores), logo, a reta é paralela ao plano e não pertencente a ele.

Para o terceiro exemplo, vamos tomar: r:൝ x=1+λ y=1-λ z=λ π: x + y -2 = 0 Vemos, pelas equações, que o vetor v ሬԦ=(1, -1, 1) é um vetor diretor de r. Quando substituímos as coordenadas deste vetor na equação geral do plano π, temos:

1 + (-1) = 0

Por este resultado a reta é paralela ou pode estar contida no plano. Para verificar isto, vamos tomar um ponto de r qualquer P = (1, 1, 0) que substituindo na equação de π, temos: 1 + 1 -2 = 0 O que indica que a reta está contida no plano.

Posição relativa entre planos.

O problema que é colocado neste ponto é: conhecidos dois planos π 1 e π 2 , verificar se eles são paralelos distintos; se eles são coincidentes; os se eles são concorrentes.

Sejam, então, os planos π 1 : a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 = 0 e π 2 : a 1 x + b 2 y + c 2 z + d 2 =0. Quando os vetores normais N ሬሬԦ 1 e N ሬሬԦ 2 dos planos π 1 e π 2 , respectivamente, não são paralelos, então os planos são concorrentes.

A figura 50 mostra dois planos concorrentes. Note que quando os planos são concorrentes, a interseção entre eles é uma linha reta.

Figura 50

Quando os vetores normais N ሬሬԦ 1 e N ሬሬԦ 2 dos planos π 1 e π 2 , respectivamente, são paralelos, isto é N ሬሬԦ 2 =αN ሬሬԦ 1, então os planos são paralelos ou coincidentes. A figura 51 mostra dois planos paralelos.

Figura 51

Os planos serão coincidentes se, e somente se, todo ponto que satisfaz a equação de π 1 , satisfaz também a equação de π 2 .

Assim: a 2 x+b 2 y+c 2 z+d 2 = α a 1 x+ α b 1 y+ α c 1 z+d 2 = α (a 1 x+b 1 y+c 1 z)+d 2 = α (-d 1 )+d 2 = 0.

Portanto, d 2 = αd 1 as equações de π 1 e π 2 são proporcionais.

Reciprocamente, se as equações de π 1 e π 2 são proporcionas, então claramente os dois planos são coincidentes.

Portanto, dois planos são coincidentes se, e somente se, além dos vetores normais serem paralelos, as suas equações são proporcionais.

Tomemos como exemplo os seguintes planos: π 1 : X = (1, 0, 1) + λ(1, 1, 1) + µ(0, 1, 0) π 2 : X = (0, 0, 0) + α(1, 0, 1) + β(-1, 0, 3)

Vamos estudar a posição relativa entre eles.

Vamos, inicialmente, determinar a equação geral de cada plano que são: π 1 : x -z = 0 π 2 : y = 0

Ou seja: π 1 : 1x + 0y +(-1) z = 0 π 2 : 0x + 1y + 0z = 0

Como (1, 0, -1) não é proporcional a (0, 1, 0), temos que os planos são concorrentes e se interceptam em uma reta.

Se quisermos encontrar as equações paramétricas para esta reta, basta fazer: r:൜

x-z=0 y=0 e fazendo z =λ, temos:

r:൝ x=λ y=0 z=λ

Vamos fazer outro exemplo, estudando a posição relativa entre os planos: π 1 : 2x -y + z -1 = 0 π 2 : x -1 2 y + 1 2 z -9 = 0

Notemos que cada coeficiente na equação de π 1 é o dobro de seu correspondente na equação de π 2 , exceto seu termo independente. Logo os planos π 1 e π 2 são paralelos e distintos.

Caso o termo independente, também, mantivesse a relação dos coeficientes, então os planos seriam coincidentes.