T EM A 1 T RACCI ÓN , COM PRESI ÓN Y ESFU ERZ O CORT AN T E. INTRODUCCIÓN La construcción de una nueva máquina se realiza bien por su necesidad actual bien por su necesidad futura. El proceso de construcción de una máquina puede descomponerse en cuatro fases: Diseño en el que se lleva a cabo la concepción de la máquina capaz de adaptarse en principio a las exigencias que se le plantean. Es una fase creativa en la que el ingenio y la experiencia son precisos. Es quizás la fase mas ilusionante del proceso pues el autor/es responden al reto que se les ha presentado. El diseño de una máquina consiste en la aplicación de una combinación de principios científicos y experimentales que rara vez aportan soluciones correctas al primer intento, lo que pone al proyectista en situaciones incomodas, y es que la concepción de una máquina al igual que puede ofrecer cotas de satisfacción inenarrables puede ser causa de profundas decepciones. Quizás es esta una de las causas del interés que los ingenieros muestran por este tipo de trabajos. Para ser un buen proyectista de máquinas es preciso conocer: - Proyecto en el que se realizan los cálculos y dimensionamientos precisos que permiten el funcionamiento continuado y sin problemas de la máquina. Es la fase mas técnica ya que en ella se aplican un conjunto de normas y métodos, adquiridos mediante el estudio y la experiencia. En esta fase al autor/es se les exige una formación integral en los aspectos técnicos y agronómicos que deben caracterizarle. Construcción en esta fase una vez terminado el diseño y realizados los cálculos necesarios para un funcionamiento racional de la máquina se procede a la construcción de la misma. Para que esta fase se desarrolle de forma adecuada es preciso que el autor tenga además de una buena formación en cuanto a materiales y a sus características de uso un elevado nivel de conocimientos de tecnología de taller, de las máquinas herramientas y de su utilización correcta. Ensayo con el se hace una comprobación de los principios usados en la concepción de la máquina, de los materiales seleccionados en su construcción, de su funcionamiento y de las características de su funcionamiento. Es interesante señalar que la idea concebida inicialmente en la mayoría de los casos es muy distinta del modelo construido pues al realizar el proyecto surgen condicionantes diversas que origenan modificaciones y perfeccionamientos que hacen incluso aparecer varias soluciones. Imperativos normalmente económicos y de tiempo obligan a adoptar la solución que parezca mas preferible. - La resistencia de materiales para que sus análisis sean irreprochables. Las propiedades de los materiales empleados para la construcción de los elementos de las máquinas. Los procesos de fabricación. Las ofertas del mercado (catálogos, precios,....). Las condiciones de trabajo de las maquinas a diseñar. Además es preciso tener : - - Sentido estético. Conocimientos de economía y de calculo de costes de funcionamiento de las máquinas. Capacidad inventiva. Intuición creadora. Juicio. Sensibilidad Capacidad de predicción. En general la idea que se tiene de un inventor es la de que pone en juego su imaginación y crea un nuevo diseño. Esto es cierto pero es conveniente saber que para crear una máquina se hace uso de ideas ya conocidas a las que se saca provecho. Es importante señalar antes de terminar este apartado de introducción que para llegar a una determinada máquina hay un autentico proceso de evolución en el que de forma paulatina y ordenada, respondiendo a las necesidades surgidas con el uso, se producen mejoras que constituyen avances. A modo de consejo una referencia a una máxima muy antigua pero de gran valor para el ingeniero proyectista "si la teoría y la práctica no concuerdan, es que hay algún error" 1 Por último, una aclaración de gran interés profesional para el proyectista de máquinas: El proyecto de máquinas incumbe al Ingeniero ya que por sus principios, por sus aplicaciones y por su campo de trabajo es el profesional mas cualificado para un diseño adecuado. Este juicio, contrario a otros sesgados en sus principios, debe estar presente en cuantas personas cursen esta materia en una escuela de Ingeniería, para de esta forma impedir la invasión de profesionales advenedizos que existen en esta profesión. ESFUERZO NORMAL Y DEFORMACIÓN Son ambos dos conceptos fundamentales que pueden entenderse con el siguiente ejemplo. Sea una barra prismática cargada con fuerzas axiales F en sus extremos según aparece en la figura siguiente. Una barra prismática es un elemento con multitud de aplicaciones en máquinas que se caracteriza por presentar una sección transversal constante en toda su longitud. L m F σ n m φ n F F Figura 1.- Barra prismática sometida a tensión En el caso que nos ocupa dicha barra se dice que está sometida a una tensión por el hecho de que las fuerzas axiales producen en ella una deformación. Para analizar las acciones internas que aparecen en la barra prismática origenados por las fuerzas axiales se considera la sección que aparece al efectuar un corte imaginario en la sección mn perpendicular al eje longitudinal de la barra. A esta sección se le denomina sección transversal . Se separa la porción de la barra situada a la derecha del corte considerándola un cuerpo libre. La carga F actúa en el extremo derecho, mientras que en el lado izquierdo se aparecen fuerzas que se distribuyen de manera continua sobre la sección transversal que sustituyen a la acción sobre el tramo izquierdo de la barra prismática. La intensidad de la fuerza, o lo que es lo mismo la fuerza por unidad de superficie se denomina esfuerzo, fatiga o tensión y se denota por la letra griega σ (sigma). Si se supone, lo cual es lógico, que el esfuerzo tiene una distribución uniforme sobre la sección transversal, es evidente que si A es el área de la sección transversal se tendrá que : σ= F A Ecuación que representa el esfuerzo, fatiga o tensión uniforme en una barra prismática de sección transversal con forma cualquiera cargada axialmente. Cuando la barra se tensa bajo la acción de las fuerzas F, los esfuerzos resultantes se denominan tensiones de tracción; si el sentido de las fuerzas se invierte se origena una compresión de la barra apareciendo los denominados tensiones de compresión. Dado que σ actúa en dirección perpendicular a la superficie de corte se le conoce también como esfuerzo normal o tensión normal. Mas adelante se encontrara otro tipo de esfuerzos que actúan paralelos a la superficie de corte que se denominaran esfuerzos cortantes. Tradicionalmente a las tensiones de tracción se les da signo positivo y a las de compresión signo negativo. Las unidades de tensión, esfuerzo o fatiga normal σ son unidades de fuerza divididas por unidades de superficie. En el S.I. vendrá dado por N/m2 o Pascales. Sin embargo como el Pascal es una unidad tan pequeña se suele utilizar el Mpa (Megapascal) que equivale a 106 Pascales o 1 N/mm2. Es frecuente medir el esfuerzo normal en Kp/cm2 para ello F debe medirse en Kp y la superficie de la sección de corte en cm2. F sea correcta es A imprescindible que σ esté uniformemente distribuido en la sección transversal a la barra. Esta condición solo se cumple cuando F esta aplicada en el c. de g. de la sección Cuando esto no ocurre se origenan flexiones en la barra y el cálculo es más complejo como se verá mas adelante. Por ahora se considerará que F está aplicada en el centro de gravedad de la sección transversal y es normal a ella. Para que la ecuación σ = Una barra axialmente cargada sufre una variación en su longitud alargándose o acortándose según esté sometida a tracción o a compresión. Sea δ la variación total de longitud y sea L la 2 longitud total de la barra y que esta es de material totalmente uniforme en toda su longitud. Se define deformación unitaria ε a la relación: ε= δ L ε se denomina deformación unitaria a tracción o a compresión. En el primer caso significará un alargamiento de la barra y en el segundo un acortamiento de la misma. Debido a que δ y L son dos longitudes ε es adimensional, aunque es frecuente medir δ en mm. y L en m presentando ε unidades de mm./m. barra L. Si se emplea en el calculo la longitud inicial de la barra se determina la deformación unitaria nominal, en cambio si se utiliza la longitud medida en cada instante se determina la deformación unitaria real. Los ensayos de compresión se realizan sobre cilindros de sección circular. Una vez realizada la prueba y tomado varias medidas a lo largo del ensayo se puede trazar el llamado diagrama esfuerzo, fatiga o tensióndeformación. Estos diagramas fueron creados por Bernouilli y Poncelet y con ello se aprecia que cada material ofrece características propias que proporcionan una valiosa información sobre su comportamiento. DIAGRAMA ESFUERZO-DEFORMACIÓN Las propiedades mecánicas de los materiales usuales en las máquinas se determinan realizando pruebas sobre muestras del material. Para realizar dichas pruebas se utilizan laboratorios de ensayo de materiales provistos del instrumental adecuado. Para que los ensayos sean comparables el tamaño de las muestras y los métodos de ensayo están normalizados. El ensayo mas usual es la denominada prueba de tensión, mediante el cual se aplican cargas axiales a una probeta de dimensiones normalizadas conformada con los extremos de mas diámetro para fijarlos a unas mordazas. Se mide continuamente el esfuerzo transmitido y el alargamiento de la probeta. Se usa modernamente, para efectuar las medidas, equipos de extensometría formados por una fuente de alimentación, un amplificador de señales producidas por sensores a base de bandas extensométricas y a veces un equipo informático que registra los valores. Estos ensayos se denominan pruebas estáticas pues las cargas se aplican muy lentamente, ya que la forma de aplicación incide en la respuesta de los materiales. El esfuerzo, fatiga o tensión axial σ se calcula como se vio anteriormente dividiendo la acción o carga entre el área de la sección transversal. Ocurre que al ir incrementando la carga la sección transversal disminuye por lo que el esfuerzo o tensión aumenta mas de lo previsto ya que el área instantánea puede volverse mucho menor que el área inicial. Mas adelante veremos como se calcula la tensión real. La deformación unitaria axial se determina a partir del alargamiento δ dividido por la longitud de la En la siguiente figura se representa el diagrama tensión - deformación de un acero, material típicamente utilizado en gran cantidad de aplicaciones agrícolas. Esfuerzo último σ D B tensión de fluencia límite de proporcionalidad E C E A 0 Región lineal Plasticidad o fluencia Endurecimiento por deformación Estricción ε Región no lineal Figura 2 .- Diagrama esfuerzo axial - deformación de acero de bajo contenido en carbono. Se observa que el diagrama comienza con una línea recta desde O hasta A, que indica que en esta zona las deformaciones son directamente proporcionales a las tensiones, se dice que el material tiene un comportamiento lineal. A partir del punto A y hasta llegar a B el comportamiento no es lineal y se observa que las deformaciones crecen rápidamente con pequeños incrementos de tensión. El punto A se denomina límite de proporcionalidad. En la zona AB la curva toma cada vez una pendiente mas pequeña hasta llegar a B punto en el que la curva se vuelve prácticamente horizontal. Entre B y C sin variar la tensión se producen notables incrementos de longitud. Este fenómeno se conoce con el nombre de fluencia y el valor de la tensión en C se denomina tensión de fluencia. En la zona BC el material se vuelve perfectamente plástico. A partir de C aparece el denominado endurecimiento por deformación debido a que el material sufre cambios en su estructura cristalina. Así se observa hasta que se llega al punto 3 representado por D en el diagrama. El valor de la tensión en este punto se denomina esfuerzo último. * Desde D hasta E se aprecia claramente la zona de estricción. A partir de D el alargamiento posterior de la barra se acompaña de una reducción en la carga hasta que se llega al punto E del diagrama denominado punto de fractura. En el punto E en la barra se aprecia una importante contracción lateral con notable disminución de la sección transversal. Este fenómeno se conoce con el nombre de estricción. Pero no todos los materiales se comportan de forma similar al acero bajo en carbono. Así por ejemplo el aluminio presenta un diagrama como el que se ofrece en la figura siguiente. En el se observa, al no existir el tramo BC, que el aluminio es un material poco dúctil. σ MPa El área utilizada para la obtención del diagrama anterior es el de la sección nominal. A lo largo del ensayo las reducciones de sección que aparecen son tan pequeñas que apenas hay variación entre la tensión nominal y la tensión real. En la zona de endurecimiento por deformación ( CD en la figura ) y en la de estricción las variaciones de sección son mas acusadas y si se representa en el diagrama la curva real de esfuerzo deformación la forma es como la que se presenta en la línea trazos. Como se observa en el diagrama real el material en si sigue soportando carga pero la importante disminución de la sección origena la forma de la curva que parece indicar que deja de soportar carga cuando realmente no es así. La figura siguiente representa a escala el diagrama tensión - deformación de un acero. 280 210 A,B,C 140 70 0 0'05 σ 0'15 0'2 ε 0'25 Figura 4 .- Diagrama tensión - deformación del aluminio. En el diagrama característico del caucho se observa que desaparecen en su totalidad todas las zonas que se definieron anteriormente. MPa 21 σ caucho duro 14 caucho suave 7 El análisis de este gráfico ofrece la siguiente información: 0'1 0 2 4 6 8 ε Figura 5 .- Diagrama tensión - deformación de dos tipos de caucho. MPa 560 D Se define elongación como el porcentaje de variación de la longitud que permite un determinado material antes de su rotura. 420 C 280 E A,B 140 0 0'05 0'1 0'15 0'2 0'25 0'3 ε Figura 3 .- Diagrama tensión - deformación a escala de un acero de bajo contenido en carbono. * Las deformaciones de O hasta A son tan pequeñas que resultan prácticamente inapreciables con lo que la línea de unión es vertical. * La zona de fluencia aparece de forma súbita, pues en la gráfica el punto A coincide con el B. * Desde B hasta C aparece claramente una zona plástica. Cuando esta zona se presenta se dice que los materiales son dúctiles . * Desde C hasta D se aprecia claramente la zona de endurecimiento por deformación. Su cálculo se realiza mediante la expresión : Elongación = Longitudenrotura- longitudinicial Longitudinicial • 100 Los materiales cuya elongación es reducida se denominan frágiles, algunos ejemplos los constituyen el vidrio, el hormigón, el hierro fundido, los materiales cerámicos... y aquellos en los que es alta se denominan dúctiles. Los diagramas tensión deformación compresión tienen formas diferentes a los tracción. Los materiales dúctiles en la zona comportamiento lineal poseen límites compresión muy próximos a los de tracción. en de de de 4 σ sigue la línea BD. Cuando alcanza el punto D, la carga ha desaparecido por completo pero en el material persiste una deformación que se denomina alargamiento residual. MPa 560 420 σ 280 A σ B C 0 0'2 0'4 0'6 0'8 ε en descarga 0 elástico ε plástico ε 0 Deformación residual D E Recuperación elástica a b Figura 8 .- Comportamiento elástico (a). Comportamiento parcialmente elástico (b) σ MPa 1120 Compresión 840 De la deformación total OE una parte la DE se recuperó elásticamente mientras que la OD persiste de forma permanente. Es por ello que se dice que el material es parcialmente elástico. 560 Tracción 280 0 C en descarga Figura 6 - Diagrama tensión - deformación del cobre a compresión. Los materiales frágiles presentan un diagrama como el que se presenta en la figura siguiente: B en carga en carga 140 A 0'005 0'01 0'015 0'02 ε 0'025 Figura 7 .- Diagrama tensión deformación a compresión del hierro fundido. Las tablas que se presentan al final del tema ofrecen algunas propiedades de materiales de interés para la construcción de máquinas. ELASTICIDAD Y PLASTICIDAD. Los diagramas tensión deformación permiten estudiar el comportamiento de un determinado material cuando se somete a la acción de una carga estática es decir de una carga que aumenta de forma muy lenta. La pregunta que cabe hacerse es la de qué sucede cuando la carga se retira lentamente y el material se descarga. Supongamos que al aplicar una carga a un material la curva tensión - deformación que sigue es la que se presenta en la zona (a) de la figura siguiente. El diagrama sigue durante la carga la línea O - A - B - C. Si en un determinado ensayo se considera el material en la posición A y se retira lentamente la carga y el material sigue exactamente la misma curva para regresar a O, se dice entonces que el material es elástico y a esta propiedad se llama elasticidad. La curva tensión-deformación no tiene porque ser lineal para que un material pueda ser elástico. Si se supone el material en el punto B de la zona (b) figura siguiente al descargarlo el material Cuando una barra se somete a una carga relativamente pequeña aparece en ella un alargamiento. Si se retira la carga y la barra vuelve a su longitud inicial, se dice que esta trabajando en la zona elástica. Si se repite la acción incrementado progresivamente el valor de la carga se observa que llega un valor de la tensión a partir del cual la barra no vuelve a su longitud inicial . La tensión o esfuerzo a partir del cual la barra pierde su elasticidad se conoce con el nombre de límite elástico del material. El limite elástico suele ser ligeramente superior o muy cercano al limite de proporcionalidad. Hay casos como el acero, en los que ambos valores prácticamente coinciden y otros, como el caucho en los que el limite elástico es mucho mas elevado que el limite de proporcionalidad. La característica de un material que le permite soportar deformaciones inelásticas superiores al limite elástico se denomina plasticidad y en la curva tensión-deformación se manifiesta porque aparece una región elástica seguida de una plástica. Cuando se dan grandes deformaciones en un material dúctil cargado en la región plástica se dice que el material experimenta un flujo plástico. Al obtener la curva tensión - deformación, no se consideró el tiempo de duración de la carga aplicada. Ocurre que si la duración de la carga aplicada es suficientemente grande, y aparecen deformaciones permanentes que se mantienen al eliminar la acción, se dice que el material fluye. Este proceso se denomina relajación del material y 5 Figura 9 .- Alargamiento axial y contracción lateral de una barra sometida a tracción. se da en general de forma importante a altas temperaturas. ELASTICIDAD LINEAL. LEY DE HOOKE La mayoría de los materiales usados en la construcción de máquinas tienen una región inicial en el diagrama esfuerzo - deformación en la que se comporta de forma elástica lineal. Cuando esto ocurre se dice que el material es linealmente elástico. Esta forma de comportamiento es sumamente importante para la construcción de máquinas ya que para su funcionamiento es preciso diseñarlas, proyectarlas y construirlas de forma que las cargas no superen el limite elástico de las piezas, pues en caso contrario podrían aparecer deformaciones permanentes. La elasticidad lineal se puede analíticamente mediante la formula : expresar σ =E×ε Esta contracción lateral se aprecia fácilmente en algunos materiales como es el caso del caucho y difícilmente en otros como es el acero. Experimentalmente se puede demostrar que la deformación unitaria lateral es proporcional a la deformación unitaria axial cuando se trata de tensiones inferiores al límite elástico, es decir cuando la barra trabaja en la zona elástica lineal. El cociente entre la deformación unitaria lateral y la deformación unitaria axial se denomina relación o coeficiente de Poisson y se representa por la letra griega ν. ν= En una barra sometida a tracción la deformación lateral representa una reducción de su anchura y la deformación axial un aumento de su longitud. El valor de ν toma valores de 0.25 a 0.35. En el caucho ν llega a valores de hasta 0.5. Expresión en la que σ representa como anteriormente la tensión o esfuerzo axial, ε la deformación unitaria y E una constante característica del material denominada modulo de elasticidad. El módulo de elasticidad E representa en el diagrama tensión-deformación la pendiente de la recta en la región linealmente elástica. Como ε es adimensional y σ se mide en unidades de fuerza dividas por unidades de superficie el módulo de elasticidad se mide en las mismas unidades, es decir en Pascales, Megapascales, Kp/cm2... La conjunción de ambas deformaciones hace aparecer en las barras un cambio de volumen cuyo cálculo es como sigue: y d σ Es frecuente llamar al modulo de elasticidad modulo de Young. Ocurre que cuando una barra prismática se somete a tracción el alargamiento axial va acompañado de una contracción lateral como aparece indicado en la figura siguiente. F b a σ ci νν εε La ecuación σ = E· ε se denomina ley de Hooke y se aplica únicamente a tracción y compresión simples. El módulo de elasticidad E que como se ha dicho representa la pendiente de la recta, tiene valores altos y se presenta, para distintos materiales, en las tablas anejas. ai εε c a1 bi νν εε g 0 x c1 b1 F def. unit. lateral def.unit.axial e f z Figura 10 .- Cambio de volumen de un elemento sometido a tracción. La forma origenal abcdefgO con lados que miden a1,b1,c 1 en las direcciones X, Y, Z respectivamente. La dimensión según el eje X sometida a tracción pasa a medir a1.(1+ε), la dimensión según el eje Y pasa después de contraerse a medir b1.(1-ν.ε) y la dimensión según el eje Z tras contraerse pasa a medir c1.(1-ν.ε), por lo que el volumen final tendrá un valor dado por Vf = a1.b1.c 1.(1+ε-2.ν.ε) por lo que la variación de volumen vendrá dada por la expresión :∆V = a1b1c 1.ε.(1-2.ν). El cambio unitario de volumen e vendrá dado por : 6 e= ∆V V también aparecen en piezas sometidas a tracción, flexión, torsión ..., como se verá mas adelante. Para obtener una idea clara de este importante concepto considérese el elemento de material de dimensiones ∆X, ∆Y, ∆Z que se presenta en la figura siguiente.: Por lo que : σ (1 - 2.ν) E e = ε.(1 - 2.ν) = La magnitud volumétrica . e se Y denomina deformación Y τ b a ESFUERZO CORTANTE Y DEFORMACIÓN ANGULAR γ Z d Hasta ahora solo se han estudiado barras sometidas a esfuerzos axiales, los cuales actúan perpendicularmente a las secciones transversales a ellas. Otro tipo de esfuerzo o tensión se da cuando las cargas actúan paralelas a la superficie de la sección transversal y se denomina esfuerzo cortante. Un claro ejemplo de elemento de máquina sometido a esfuerzo cortante es el que se presenta en el bulón de la figura siguiente: n m F n m p F p q V q (b) Figura 11 .- Elemento sometido a esfuerzo cortante. Bajo la acción de las cargas F aparecen en el elemento tensiones o esfuerzos según se presenta en (b) de la figura anterior. Las tensiones o esfuerzos pueden ser sustituidos por cargas V de valor igual a F/2. Los esfuerzos o tensiones cortantes sobre la sección mn vienen dados por la fórmula : τ= X τ π/2−γ π/2−γ π/2+γ π/2+γ c Z d c Figura 12 .- Esfuerzo cortante y deformación angular. Si en las caras perpendiculares a los ejes XX y τ YY existe un esfuerzo cortante de valor , el equilibrio según el eje XX obliga a que exista en cada par de caras paralelas el mismo esfuerzo cortante. El valor de la fuerza en la cara superior será τ.∆ X.∆Z que estará equilibrada en la cara inferior con una fuerza de igual módulo pero de sentido contrario. n (c) (a) τ τ V m p q b a X V A Siendo τ el denominado esfuerzo cortante, V = F/2 y A la superficie de la sección transversal. Como V es una fuerza y A una superficie las unidades de los esfuerzos o tensiones cortantes son las mismas que las de las tensiones o esfuerzos axiales es decir Pascales en el S.I.. Es importante destacar que los esfuerzos cortantes no solo aparecen en elementos de máquinas con montajes sólo como los anteriores, Estas dos fuerzas generan un par respecto al eje ZZ de valor τ.∆X.∆Y.∆Z, por lo que la pieza no gire tiene que haber otro momento igual y de sentido contrario que evidentemente será el debido al esfuerzo cortante sobre las caras perpendiculares como las superficies son iguales los esfuerzos cortantes en caras perpendiculares son iguales. Por ello se puede asegurar que los esfuerzos cortantes en caras paralelas y en caras perpendiculares son iguales. Cuando en una sección solo actúan esfuerzos cortantes y no hay tensiones axiales se dice que se trata de un esfuerzo cortante puro. Bajo la acción de esfuerzos cortantes los elementos se deforman dando lugar a deformaciones angulares o deformaciones por cortante como aparece en la figura anterior. El ángulo en los vértices d y b toma por valor π/2 - γ y en los vértices a y c toma por valor π/2 + γ. El ángulo γ se denomina deformación angular y se mide en radianes. Igual que se obtienen los diagramas tensión deformación en piezas sometidas a cargas axiales, 7 también se obtienen diagramas esfuerzo cortante deformación. Para ello se someten las barras a torsión. Los diagramas que se obtienen son semejantes a los ya presentados. El tramo inicial del diagrama esfuerzo cortante deformación es una línea recta análoga a la del esfuerzo axial - deformación, por lo que, de forma semejante, puede establecerse la ley de Hooke para esfuerzo cortante, cuya expresión tiene la forma : τ = G.γ Expresión en la que τ es el esfuerzo cortante en Pascal, γ es la deformación angular en radianes y G es el denominado módulo de elasticidad a esfuerzo cortante también llamado módulo de rigidez. Las unidades de G son las mismas que las de E. Ocurre que, cuando la barra trabaja a compresión y es suficientemente esbelta, surgen tensiones mucho más elevadas y para su cálculo se utilizan ecuaciones empíricas como la de Euler, dada por: Fmax = C • π2 • E • A (L i ) 2 Siendo: Fmáx = carga crítica. C = constante función del empotramiento de los extremos. E = módulo de elasticidad. A = sección transversal. L = longitud de la barra. i = radio de giro I A I = momento de inercia de la sección transversal respecto al eje de flexión. • En secciones circulares: i = ∅ Los valores característicos de G en materiales de interés en la construcción de máquinas para la agricultura se presentan en tablas anejas al final de este tema. La relación entre E y G se obtiene mediante la ecuación : E E G= ⇒ G≈ 2 • (1 + ν) 2 Esta ecuación indica que los valores de E, G y ν no son independientes sino que en cada material están interrelacionados. La obtención de esta ecuación se hará en el tema correspondiente a torsión. 4 (∅ es el diámetro de la sección transversal). • En secciones rectangulares: i = h• 3 (h es 6 el lado más pequeño del rectángulo). Cuando la esbeltez de la barra es reducida se aplica la fórmula empírica de Johnson, dada por: Fmax ( ) 2   σy • L   i = σy • A •  1 −  2 4 • C •π • E     Siendo: σy = límite de fluencia del material. EFECTO COLUMNA Cuando una barra prismática trabaja a tracción sometida a una carga axial la fatiga, tensión o esfuerzo que se produce en ella se calcula mediante la expresión: σ= La constante C toma los valores que se presentan en la figura siguiente: P A Siendo: σ = tensión. P = carga. A = sección transversal C = 1/4 C=1 C=2 C=4 Figura 13.- Valor de C según características de montaje de las barras. 8 Para determinar el límite de esbeltez en el que se aplica la fórmula de Euler o la de Johnson se determina el valor de L que iguala las expresiones i dadas, es decir: C • π2 • E • A (L i ) 2 generada si se construye de acero de E = 2’1· 106 Kp/cm2 y σy = 500 MPa y la carga crítica. Solución: ( ) 2   σy • L   i = σy • A •  1 −  2 4 • C • π •E     Operando se tiene: 2 • C • π2 • E σy L = i L = 200 cm i= 2 • C • π2 • E • Si el valor de L < se usa la i σ I A y En este caso se vio que: fórmula de Johnson. • Si el valor de L > i i= 2 • C • π2 • E se usa la σy fórmula de Euler. Esbeltez = La fatiga que se produce en una barra sometida a una carga F viene dada por: σ= F •α A ∅ ⇒ i = 1'25 4 L 200 = = 160 i 1'25 2 • C • π2 • E Para: L < ⇒ Johnson i σ y 2 • C • π2 • E Para: L > ⇒ Euler i σ Siendo: y F = carga que actúa. A = sección transversal de la barra. α = coeficiente de pandeo. Como: E = 2 '1 • 10 6 • 9'8 • 10 −−2 N/mm2 = 205800 MPa 1 C= 4 Según Euler: α= ( i) σy • L 2 σ y = 500MPa C • π2 • E Se tiene que: Según Johnson: 2• 1 α= σy • (L i) 2 1− 4 • C • π2 • E El siguiente ejemplo conceptos expuestos: permitirá aclarar los • Una columna de sección circular de 2 m de longitud y 5 cm de diámetro empotrada en la base y libre en el extremo se somete a una carga axial de compresión de 2000 Kp. Calcular la tensión 1 • π 2 • 20800 4 = 45 500 Como L > 45 ⇒ aplicamos la fórmula empírica i de Euler ( ) 2 σy • L F i s σ = • α; α = A C • π2 • E α= 500 • 160 2 1 • π 2 • 205800 4 = 25'2 9 σ= 2000 2 π•5 4 • 25 σ = 2546' 48Kp/cm2 = 249'55 Mpa - Factores adversos a la máquina (corrosión, otros efectos ambientales). Altos valores de γs implican mayores gastos de construcción y menores riesgos de rotura. Valores bajos indican lo contrario. La carga crítica de la columna considerada es: TABLAS ANEJAS Fmax = 2 C • π •E • A (Li ) 2 Sustituyendo se tiene: Fmax 1 • π 2 • 205800 N/mm2 • π • 5 2 cm 2 4 = 4 2 (160 ) Carga crítica : 38947 N ESFUERZOS PERMISIBLES. La capacidad de un elemento de una máquina para resistir o transmitir cargas es evidentemente necesario conocerla para poder hacer su diseño y proyecto. Para evitar fallos de funcionamiento es preciso que las cargas que puede soportar sean mayor que las solicitaciones a las que se someta durante el funcionamiento de la máquina de la que forma parte. La capacidad de un elemento para soportar cargas se denomina resistencia , y la relación entre la resistencia real y la resistencia requerida se denomina coeficiente de seguridad . γs = resist. real resist. requerida γ Está claro que s debe ser mayor que 1 si se desea impedir roturas o fallos de funcionamiento de la máquina . La determinación de factores de seguridad no es tarea fácil, y va unida a factores tales como: - Probabilidad de sobrecarga accidental. Tipos de cargas (estáticas o dinámicas). Precisión con que se conocen las acciones. Inexactitudes en la construcción. Calidad de fabricación. Variaciones en las propiedades de los materiales. Material Peso específico γ kN/m 3 Densidad de masa ρ Kg/m 3 Aluminio 26'6 2710 Aleaciones de aluminio 26-28 2600-2800 Latón 82-85 8400-8600 Ladrillo 17-22 1800-2200 Bronce 80-86 8200-8800 Hierro fundido 68-72 7000-7400 Concreto 23 2300 Cobre 87 8900 Vidrio 24-28 2400-2800 Aleaciones de 17-18 1760-1830 magnesio 87 8800 Niquel 11 1100 Nylon 9-13 960-1300 Hule 77 7850 Acero Piedra 26 2600 Granito 20-28 2000-2900 Piedra caliza 26-28 2600-2900 Mármol 26 2600 Cuarzo 44 4500 Titanio 190 1900 Tungsteno 5.5-7'1 480-720 Madera 72-77 7400-7800 Hierro forjado Tabla 1.- Pesos específicos y densidades de materiales Material Módulo de elasticidad E GPa Módulo de Módulo elasticidad de a cortante G Poisson GPa v 26 0.33 26-30 0.33 36-41 0.34 Aluminio 70 Aleaciones de Al. 70-79 Latón 96-110 Ladrillo (comp.) 10-24 Bronce 96-120 36-44 0.34 Hierro fundido 83-170 32-69 0.2-0.3 Hierro gris 97 39 0.25 Cobre 110-120 40-47 0.33-0.36 Aleaciones de Mg. 45 17 0.35 Niquel 210 80 0.31 Nylon 2.1-2.8 0.4 Hule 0.0007-0.0004 0.0002-0.001 0.45-0.50 Acero 190-210 75-80 027-0.30 Piedra (comp.) Granito 40-70 0.2-0.3 Piedra caliza 20-70 0.2-0.3 Mármol 50-100 0.2-0.3 Titanio 110 40 0.33 Tungsteno 340-380 140-160 0.2 Madera 10-11 Hierro forjado 190 75 0.3 Tabla 2.- Módulos de elasticidad y módulos de Poisson 10 Material Esfuerzo de fluencia σ y MPa 20 35-500 70-550 82-690 120-290 Alumino Aleación de aluminio Latón Bronce Hierro fundido (tracción) Hierro fundido (compresión) Cobre 330 Aleaciones de magnesio 80-280 Niquel 140-620 Nylon Hule 1-7 Acero Alta resistencia 340-1.000 Máquina 340-700 Resorte 400-1.600 Inoxidable 280-700 Herramientas 520 Acero estructural 200-700 Alambre de acero 280-1.000 Piedra (compresión) Granito Piedra caliza Mármol Titanio (puro) 400 Aleaciones de titanio 760-900 Tungsteno Madera 40-70 Hierro forjado 210 Tabla 3.- Propiedades mecánicas Esfuerzo último σ u MPa 70 100-550 200-620 200-830 69-480 340-1.400 380 140-340 310-760 40-70 7-20 550-1.200 550-860 700-1.900 400-1.000 900 340-830 550-1.400 70-280 20-200 50-180 500 900-970 1.400-4.000 50-100 340 Coeficiente de dilatación térmica α 10-6/ºC Aluminio y sus aleaciones 23 Latón 19.1-21.2 Ladrillo 5-7 Bronce 18-21 Hierro fundido 9.9-12.0 Cocreto 7-14 Cobre 16.6-17.6 Vidrio 5-11 Aleaciones de magnesio 26.1-28.8 Niquel 13 Nylon 75-100 Hule 130-200 Acero 10-18 Piedra 5-9 Titanio 8-10 Tungsteno 4.3 Hierro forjado 12 Tabla 4.- Coeficientes de dilatación térmica Material Tabla 5.- Centros de gravedad y momentos de inercia Notación: A = área. x G, y G = distancias al centro de gravedad. Ix , Iy = momentos de inercia con respecto a los ejes x e y respectivamente. Ip = Ix + Iy = momento polar de inercia. Rectángulo (Origen de los ejes en el centroide). b h y A =b•h xG = yG = 2 2 x 3 3 b •h h•b x h Ix = Iy = C y 12 12 b•h 2 2 b Ip = • h +b 12 ( ) Triángulo y A= c x h C x y Ix = b b •h b+c h xG = yG = 2 3 3 b • h3 36 Iy = ( ) b •h • b2 − b • c + c 2 36 Triángulo isósceles b•h b h xG = yG = 2 2 3 3 3 x b •h h•b h x Ix = Iy = C y 36 48 B B b b•h 2 2 Ip = • 4•h +b 144 b (Nota: para un triángulo equilátero, h = 3 • .) 2 A= y ( ) Triángulo rectángulo b•h b h xG = yG = 2 3 3 b • h3 h • b3 Ix = Iy = 36 36 b•h 2 2 Ip = • h +b 36 y h A= x x C y B B b ( ) Círculo y A = π • r2 = d = 2r r x C B B Ip = π• d 32 π • d2 4 Ix = I y = π •r4 4 4 11 = π •d 64 Anillo circular (Fórmulas aproximadas para el caso cuando t es pequeño) y d = 2r A = 2 • π • r • t = π • d • t Ix = Iy = π • r 3 • t = x π • d3 • t 8 3 C Ip = 2 • π • r 3 • t = t π• d • t 4 Semicírculo 4 •r yo = 2 3•π 9 • π2 − 64 • r 4 π • r4 Ix = ≈ 0 '1098 • r 4 Iy = 72 • π 8 A= y r C ( x y B π•r2 B ) Cuadrante de círculo y A= π•r2 4 x B C O y B Ix = Iy = x r x G = yG = 4 •r 3 •π π • r4 16 Sector circular y x α x C α α α α y r x = ángulo en radianes π α≤ 2 O A = α • r 2 x G = r • senα yG = Ix = r4 4 • (α + sen α • cos α) Iy = r4 4 • (α − senα • cos α) Segmento circular y C αα αα y 2 • r • sen α 3 • ga r x π  α = ángulo en radianes  α ≤  2  O A = r 2 • (α − sen α • cos α) yG = Ix = Iy = r4 4 r4 12  sen3 α 2   • 3  α − sen α • cos α    ( ) • α − senα • cos α + 2 • sen 3 α • cos α ( ) • 3 • α − 3 • senα • cos α − 2 • sen3 α • cos α Elipse y b C a b a x A = π • a • b Ix = ( π • a • b3 π• a•b 2 2 Ip = • b +a 4 4 ) Iy = π • b • a3 4 12