Departamento de Engenharia Civil TEORIA DAS ESTRUTURAS Gabriel Jaime Zapata Doutor em Geotecnia, UnB Mestre em Geotecnia, UnB Eng. Civil, Unalmed Projeto estrutural O projeto estrutural deve atender: Objetivo: concepção geral da estrutura, abrangendo todos os detalhes necessários para sua construção Condições de segurança Condições de utilização Economia Aspectos ambientais Aspectos estéticos... Análise estrutural A previsão de comportamento consiste em: Fase do projeto estrutural, onde por meio de modelos é feita uma previsão do comportamento da estrutura. Determinar os campos de tensões Determinar os campos de deformações Determinar os campos de deslocamentos Etapas gerais da análise estrutural Etapas gerais da análise estrutural 1) Concepção e abstração da estrutura real  criação do modelo da estrutura definindo o tipo de ligações entre elementos estruturais e a fundação (rígidas, flexíveis...) e o tipo de elemento estrutural empregado; 2) Definir as possíveis combinações de carregamento, de acordo com as normas vigentes (Ex, NBR), com o tipo de estrutura e o tipo de material empregado. 3) Pré-dimensionar os elementos (Definir tipo e propriedades dos materiais) e as conexões (com base em algum critério, por exemplo experiência). Etapas gerais da análise estrutural 4) Realizar a análise estrutural visando: à obtenção dos esforços críticos em cada elemento da estrutura (momentos, esforços cortantes, esforços axiais), de maneira a definir as solicitações de projeto e deslocamentos obtidos por tais solicitações; 5) De acordo com a norma, com o tipo de material empregado, com as características geométricas do elemento e do tipo de solicitações agindo nos elementos, definir os esforços resistentes e os deslocamentos máximos permitidos de cada elemento nessa estrutura; 6) Caso a seção ou elemento proposto não atenda os critérios de segurança e funcionalidade, fazer as modificações necessárias, tendo em conta os aspectos econômicos. Finalmente, detalhar a estrutura. Análise estrutural Sempre deve ser considerado que análise estrutural emprega análises e modelos que servem como uma abstração matemática de uma estrutura real, por tanto tais análises e modelos sempre contam com um número de hipóteses simplificadoras, tais como: • Tipo de material (Modelo constitutivo) • Geometria do problema • Condições de contorno do problema (ex. condições de apoio e a maneira na qual o carregamento é aplicado) Estrutura real vs. modelo Estrutura real. Edifício construído com perfis de aço Modelo estrutural. Vigas e colunas representadas por “linhas” ou barras Estrutura real vs. modelo Vigas primarias. Apoiadas nas colunas Vigas secundarias. Apoiadas nas vigas primarias Estrutura real vs. modelo Carregamento Condições de apoios Elementos lineares Estrutura real vs. modelo Conexão semi-flexível Conexão rígida Conexão flexível Estrutura real vs. modelo Estrutura real vs. modelo Estrutura real vs. modelo Estrutura real vs. modelo Teoria  M=0 Caros e atrito impedia a rotação M diferente de zero na prática. Na prática usa-se o modelo clássico de treliça, momentos desprezíveis, devido à esbeltez das barras. (isso se não houver efeito de fadiga) Indução de momentos por carregamentos excêntricos Estrutura real vs. modelo Estrutura real vs. modelo Grau de estaticidade de uma estrutura • A determinação do grau de estaticidade de uma estrutura pode ser definido, de maneira geral, como: 𝑔 = # 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − [# 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜] • Dependo do valor de g, a estrutura pode ser considerada: • g<0  condição suficiente para o modelo ser hipostático e instável • g=0  condição necessária para o modelo ser isostático e estável • g>0  condição necessária para o modelo ser hiperestático e estável Grau de estaticidade de uma estrutura Grau de estaticidade para pórticos e vigas # 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 = # 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 + # 𝑑𝑒 𝑎𝑛𝑒𝑖𝑠 ∗ 3 # 𝑒𝑞 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜 = [3 + (# 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑣𝑖𝑛𝑑𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑎𝑟𝑡𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎çõ𝑒𝑠 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑛𝑎𝑠)] 𝑔 = # 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑐𝑜𝑔𝑛𝑖𝑡𝑎𝑠 − [# 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑙𝑖𝑏𝑟𝑖𝑜] • Onde: • # de equações vindas de articulações internas (momento fletor nulo), onde convergem n barras é igual a n-1. • Exemplo, Para o caso de três barras convergindo são duas as equações adicionais de equilíbrio a serem consideradas: o momento fletor deve ser imposto nulo entrando por duas barras adjacentes. EXEMPLO 1 Grau de estaticidade para pórticos e vigas • Observações: • Poder determinar as reações externas dos apoios, não significa que temos uma estrutura isostática. Pois mesmo com as reações conhecidas, nem sempre é possível estimar os diagramas solicitantes, como por exemplo, no caso de um pórtico com anel fechado. • A igualdade entre o número de equações de equilíbrio e o número de incógnitas não é suficiente para uma estrutura ser isostático. Existem exemplos de estruturas com essa condição e são instáveis, pois podem criar mecanismos cinemáticos. Grau de estaticidade para pórticos e vigas • Não é possível isolar dois trechos da estrutura de cada lado da seção, o que é necessário para estimar os valores dos três esforços • Mesmo se dividirmos a estrutura em duas partes aparecem mais três incógnitas EXEMPLO 2 Estruturas instáveis • Triarticulado contínuo (três rotulas continuas). • Na decomposição da viga há um trecho hipostático. • Pode ser gerado um mecanismo semelhante a um cabo. Estruturas instáveis • a) deslocamentos horizontais sem restrição • b) Reações convergentes em um ponto. Não é possível equilibrar P ao redor do ponto de convergência ( 𝑀𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜𝑐𝑜𝑛𝑣𝑒𝑟𝑔ê𝑛𝑐𝑖𝑎 = 0 = 𝑃 ∗ 𝐿) • c) Triarticulado, as reações verticais devem ser zero para que o momento na rotula seja zero, mas as reações horizontais não equilibram P (semelhante à viga Gerber). Grau de estaticidade para treliças • Para treliças planas, considera-se que o equilíbrio global é alcançado pelo equilíbrio dos nós individualmente. Dessa maneira são impostas duas equações de equilíbrio por nó. • Já as incógnitas são os esforços normais nas barras e as componentes de reação de apoio. • Assim, o grau de estaticidade é obtido como: 𝑔= # 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑎𝑝𝑜𝑖𝑜 + (# 𝑑𝑒 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠) − [ # 𝑑𝑒 𝑛ó𝑠 ∗ 2] Estruturas isostáticas Vs. hiperestáticas • As estruturas isostáticas (IE) permitem o calculo de seus esforços externos (reações de apoio) e internos (esforços M,N,Q) usando somente as condições de equilíbrio. • Solucionar uma estrutura hiperestática (EHE) requer a imposição conjunta de condições de equilíbrio, de compatibilidade entre deslocamentos e deformações e de leis constitutivas do material. • Numa EHE os vínculos excedentes podem induzir segurança adicional. EHE pode redistribuir esforços. Caso a EI perca um vinculo a estrutura se torna instável, hipostática. FIGURA 1 Comportamento de estruturas Na perda de estabilidade de uma diagonal a outra pode dar estabilidade • FIGURA 1 Aparecimento de rotula plástica (viga ainda funciona como simplesmente apoiada) Estruturas isostáticas Vs. hiperestáticas • Uma vez que os esforços internos, numa EHE dependem da geometria da seção transversal da barra e das propriedades do material. O calculista pode ter certo controle dos esforços internos desenvolvidos na estrutura, aumentando ou diminuindo a rigidez da barra. Na EI, não é possível. FIGURA 2 • Isso também complica o dimensionamento de EIE, pois, para determinar os esforços internos é necessário conhecer a seção transversal e é isso o que se procura na análise estrutural. (processo cíclico: pré-dimensionar e verificar critérios de segurança a compressão, tração, cortante, momento...). • FIGURA 2 Estruturas isostáticas Vs. hiperestáticas • A EI pode sofrer pequenos deslocamentos (ex. recalques ou temperatura) gerando unicamente movimentos de corpo rígido, sem causar deformações e esforços internas.