קוואדראטצאל

אין מאטעמאטיק, איז א קוואדראטצאל א גאנצע צאל וואס מ'קען שרייבן אלס דער קוואדראט פון אן (אנדער) גאנצע צאל, ד.ה. דער פראדוקט פון א גאנצע צאל מיט זיך אליין. למשל , 9 איז א קוואדראטצאל , ווייל מען קען זי שרייבן 3 × 3. אלע קוואדראטצאלן זענען נישט-נעגאטיוו. מ'קען אויך זאגן אזוי—א (נישט-נעגאטיוו) צאל איז א קוואדראטצאל ווען איר קוואדראט ווארצל איז אויך א גאנצע צאל. למשל, √9 = 3, טא איז 9 א קוואדראטצאל.

געוויינלעך שרייבט מען פאר דעם קוואדראט פון דעם נומער n נישט דעם פראדוקט n × n, נאר דעם עקוויוואלענט עקספאנענציאציע n², ארויסגערעדט "n קוואדראטירט". זענען דא $\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$ קוואדראטצאלן ביז n (עד ועד בכלל).

ביישפילן

די ערשטע 49 קוואדראטצאל זענען:

0² = 0

1² = 1

2² = 4

3² = 9

4² = 16

5² = 25

6² = 36

7² = 49

8² = 64

9² = 81

10² = 100

11² = 121

12² = 144

13² = 169

14² = 196

15² = 225

16² = 256

17² = 289

18² = 324

19² = 361

20² = 400

21² = 441

22² = 484

23² = 529

24² = 576

25² = 625

26² = 676

27² = 729

28² = 784

29² = 841

30² = 900

31² = 961

32² = 1024

33² = 1089

34² = 1156

35² = 1225

36² = 1296

37² = 1369

38² = 1444

39² = 1521

40² = 1600

41² = 1681

42² = 1764

43² = 1849

44² = 1936

45² = 2025

46² = 2116

47² = 2209

48² = 2304

49² = 2401

אייגנקייטן

דער נומער m איז א קוואדראטצאל נאר ווען מען קען איינארדענען m פונקטן אין א קוואדראט:

12=1
22=4
32=9
42=16
52=25

די nטע קוואדראטצאל n² איז גלייכווערטיג צו דער סומע פון די ערשטע n נומען ($n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)$), אזוי ווי מען זעט אין די בילדער אויבן, וואו איין קוואדראט קומט פון דעם פריערדיגן ווען מען לייגט צו א נומיקע צאל פונקטן (באצייכנט מיט '+'). למשל, 5² = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

די nקוואדראטצאל קען מען רעכענען פון די צוויי פריערדיגע דורך נעמען צוויי מאל דעם (n − 1)טן קוואדראט, אראפנעמען דעם (n − 2)טן קוואדראט, און צולייגן 2:
($n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2$). למשל, 2×5² − 4² + 2 = 2×25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 6².

ס'איז כדאי צו באמערקן אז דh קוואדראטצאל פון יעדן נומער קען מען אויסרעכענען אלס א סומע 1 + 1 + 2 + 2 + ... + n – 1 + n – 1 + n. למשל, די קוואדראטצאל פון 4 אדער 4² איז גלייך מיט 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16.

א קוואדראטצאל איז אויך די סומע פון צוויי הינטעראנאנדיקע דרייעקיקע צאל.

א קוואדראטצאל קען ענדיגן נאר מיט די ציפערן 00,1,4,6,9, אדער 25 אין באזע 10, ווי פאלגנדיק:

1. אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 0, זיין קוואדראט לאזט אויס 00 און דער פריערדיקער ציפערן מוזן אויף פארמירן א קוואדראט.
2. אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 1 אדער 9, זיין קוואדראט לאזט אויס 1 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
3. אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 2 אדער 8, זיין קוואדראט לאזט אויס 4 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין גראד.
4. אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 3 אדער 7, זיין קוואדראט לאזט אויס 9 און די צאל פארמירט פון די פריערדיקע ציפער מוז טיילן זיך אויף פיר.
5. אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 4 אדער 6, זיין קוואדראט לאזט אויס 6 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין נומיק.
6. אז דער לעצטער ציפער פון א צאל איז 5, זיין קוואדראט לאזט אויס 25 און דער פריערדיקער ציפער מוז זיין 0, 2, 06 אדער 56.

א גרינגן וועג צו קוואדראטירן א צאל איז צו טרעפן צוויי צאלן וואס האבן זי אלס דורכשניט, 21²‏: 20 און 22, און טאפלען די צוויי צאלן און צולייגן דעם קוואדראט פון דער ווייט פונעם דורכשניט: 22×20 = 440 + 1² = 441. דאס ארבעט צוליב דער אידענטיטעט: (x – y)(x + y) ‏= x² – y²

באקאנט אלס דער דיפערענץ פון צוויי קוואדראטן. אזוי (21 – 1)(21 + 1) = 21² – 1² = 440, אז מען רעכנט צוריקוועגס.

א קוואדראטצאל קען נישט זיין קיין פערפעקטע צאל.

נומיקע און גראדע קוואדראטצאלן

דער קוואדראט פון א גראדער צאל איז גראד, ווייל ‎(2n)² = 4n².

דער קוואדראט פון א נומיקער צאל איז נומיק, ווייל ‎(2n + 1)² = 4(n² + n) + 1.

אזוי אויך איז דער קוואדראט ווארצל פון א גראדער קוואדראטצאל גראד, און דער קוואדראט ווארצל פון א נומיקער צאל נומיק.

טשענ'ס טעארעם

טשען זשינגרון האט געוויזן אין 1975 אז עס איז שטענדיק דא א צאל P וואס איז אדער א פרימצאל אדער א פראדוקט פון צוויי פרימצאלן צווישן n² און ‎(n+1)².

צו ליינען ווייטער

• Conway, J. H. and Guy, R. K. The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X

וועבלינקען

• Dario Alpern, Sum of squares. A Java applet to decompose a natural number into a sum of up to four squares.
• Fibonacci and Square Numbersat