Эўклідава геамэтрыя

Эўклі́дава геамэ́трыя або элемэнтарная геамэтрыя — геамэтрычная тэорыя, заснаваная на сыстэме аксіёмаў, упершыню выкладзенай у «Пачатках» Эўкліда (III стагодзьдзе да н. э.).

Асноўныя зьвесткі

Элемэнтарная геамэтрыя — геамэтрыя, вызначаная галоўным чынам групай перамяшчэньняў (ізамэтрыяў) і групай падабенства. Аднак зьмест элемэнтарнай геамэтрыі не вычэрпваецца паказанымі пераўтварэньнямі. Прыкладам, да элемэнтарнай геамэтрыі таксама далучаюць пераўтварэньне інвэрсіі, пытаньні сфэрычнай геамэтрыі, элемэнты геамэтрычных пабудоваў (канструкцыйная геамэтрыя), тэорыю вымярэньня геамэтрычных велічынь і іншыя пытаньні.

Элемэнтарную геамэтрыю часта завуць эўклідавай геамэтрыяй, бо першапачатковы й сыстэматычны яе выклад, хоць і ня досыць строгае было ў Пачатках Эўкліда. Першая строгая аксіяматыка элемэтарной геамэтрыі была дадзена Гільбэртам. Элемэнтарная геамэтрыя вывучаецца ў сярэдняй агульнаадукацыйнай школе.

Аксіяматыка

Праблема поўнай аксияматызацыі элемэнтарнай геамэтрыі — адна з праблемаў геамэтрыі, якая ўзьнікла ў Старажытнай Грэцыі у сувязі з крытыкай гэтай першай спробы пабудаваць поўную сыстэму аксіёмаў гэтак, каб усе сьцьвярджэньні эўклідавай геамэтрыі вынікалі з гэтых аксіёмаў цягам чыста лягічнай высновай без навочнасьці рысункаў.

У «Пачатках» Эўкліда была дадзена наступная аксіяматыка:

1. Ад усякага пункту да ўсякага пункту можна правесьці простую лінію.
2. Абмежаваную простую лінію можна бесьперапынна працягваць па простай.
3. З усякага цэнтру ўсякім растворам можа быць акрэсьлены круг.
4. Усе простыя куты роўныя паміж сабой.
5. Калі простая лінія, якая перасякае дзьве простыя лініі, утворыць нутраныя аднабаковыя куты, меншыя за два простыя, то, працягнутыя неабмежавана, гэтыя дзьве протыя лініі сустрэнуцца з таго боку, дзе куты менш за два простыя.

Дасьледаваньне сыстэмы аксіёмаў Эўкліда ў другой палове XIX стагодзьдзя паказала яе няпоўнасьць.

У 1899 року Д. Гільберт прапанаваў першую досыць строгую аксіяматыку эўклідавай геамэтрыі. Спробы паляпшэньня эўклідавай аксіяматыкі прадпрымаліся да Гільбэрта Пашам, Шурам, Пеана, Вэранэзэ, аднак падыход Гільбэрта, пры ўсёй яго кансэрватыўнасьці ў выбары паняцьцяў, здабыў большы посьпех.

Існуюць і іншыя сучасныя аксіяматыкі, найбольш вядомыя:

• аксіяматыка Тарскага
• аксіяматыка Біргофа, якая ўтрымлівае ўсяго 4 аксіёмы, але выкарыстоўвае рэчаісныя лікі як гатовае паняцьце.

Літаратура

• Д. Гільбэрт Основания геометрии. Перевод с немецкого под редакцией А. В. Васильева. — Л.: «Сеятель», 1923—152 с.
• Адамар Ж. Элементарная геометрия. — Ч. 1. — М.: Учпедгиз, 1948; Ч. 2. — М.: Учпедгиз, 1951.
• Математический энциклопедический словарь, — М.: «Советская энциклопедия», 1988.