ទ្រឹស្តីបទពីតាករ

សូមមើលផងដែរ: Pythagorean trigonometric identity

ទ្រឹស្តីបទពីតាករ៖ ផលបូក​​ការ៉េ​​នៃ​ក្រឡាផ្ទៃ​នៃ​ការ៉េ​ពីរ​នៅ​លើ​ជើង (a និង b) ស្មើនឹង​ក្រឡាផ្ទៃ​​ការ៉េ​នៅ​លើអ៊ីប៉ូតេនុស (c) ។

ទ្រឹស្តីបទពីតាករ (ឬ​ពីតាគ័រ) ​​គឺ​ជា​ទ្រឹស្តីបទ​ធរណីមាត្រ​​សិក្សា​ពី​ទំនាក់ទំនង​ជ្រុង​ទាំង​បី​នៃ​ត្រីកោណកែង​ (ត្រីកោណដែលមានមុំមួយជាមុំកែង) ។ ទ្រឹស្តីបទនេះ​ត្រូវបាន​ហៅ​ដោយ​យក​ឈ្មោះ​តាម​គណិតវិទូក្រិច លោក ពីតាករ នៃ សាម៉ូស (Pythagoras of Samos) ។

ពំនោលទ្រឹស្តីបទពីតាករ៖ ក្នុងត្រីកោណកែងមួយ ការ៉េនៃរង្វាស់ជ្រុងអ៊ីប៉ូតេនុស (ជ្រុងដែលមានរង្វាស់វែងជាងគេ និង ជាជ្រុងឈមនឹងមុំកែង) គឺស្មើនឹងផលបូក​នៃ​ការ៉េរបស់​រង្វាស់ជ្រុងដែលជាប់នឹងមុំកែង។

ក្នុងត្រីកោណកែង ABC ដែល​មាន​មុំ​កែងត្រង់ C នោះគេបាន AB ជាអ៊ីប៉ូតេនុស ដែល AB = c, AC = b និង BC = a (សូមមើលលើរូបខាងស្តាំ)។ ហេតុនេះ

$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}\,\!$

ឬ

$\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$

ទ្រឹស្តីបទពីតាករ​ត្រូវបាន​គេ​ប្រើប្រាស់​ដើម្បី​គណនា​រង្វាស់​ជ្រុង​មួយ​ក្នុង​ត្រីកោណកែង ប្រសិនបើ​គេ​ស្គាល់​រង្វាស់​ជ្រុងពីរទៀត។ ឧទាហរណ៍៖ គេមានត្រីកោណកែងមួយ​ដែលគេស្គាល់រង្វាស់ជ្រុងពីរគឺ a = 3 និង b = 4 នោះគេបានប្រវែងនៃជ្រុងទី៣ c កំណត់ដោយ៖

${\begin{aligned}c^{2}&=a^{2}+b^{2}\\&=3^{2}+4^{2}=25\\\Rightarrow c&=5\end{aligned}}$

គូត្រីគុណនៃចំនួនគត់ (3, 4, 5) តំណាង​ឱ្យ​រង្វាស់​ជ្រុង​នៃ​ត្រីកោណកែង​ដែលត្រូវគេបានហៅថា​ត្រីគុណពីតាករ។

សំរាយបញ្ជាក់

គេឱ្យត្រីកោណ ABC ដែល​មាន​មុំ​កែងត្រង់ B ដែលAB​ = 1 cm, BC = 20 cm

គណនា AC

ត្រីកោណកែងត្រង់ C កម្ពស់ CH

គេមានត្រីកោណកែង ABC ដែល​មាន​មុំ​កែងត្រង់ C រង្វាស់ជ្រុងរៀងគ្នា a, b, c និងមុំរៀងគ្នា A, B, C ។ គេគូសកម្ពស់ត្រីកោណ ABC ចេញពីកំពូល C មកជ្រុងឈមរបស់វាកាត់ AB ត្រង់ H ។ ត្រីកោណ ABC ; ACH និង CBH ជាត្រីកោណដូចគ្នា​។ តាមលក្ខណៈសមាមាត្រចំពោះត្រីកោណដូចគ្នា យើងបាន

• ${\frac {AC}{AH}}={\frac {AB}{AC}}\longrightarrow \mathrm {AH} ={\mathrm {AC} \times \mathrm {AC} \over \mathrm {AB} }={AC^{2} \over AB}$

${\frac {S_{HAC}}{S_{CAB}}}={\frac {{\frac {1}{2}}{AH}\cdot CH}{{\frac {1}{2}}AB\cdot CH}}={\frac {AH}{AB}}={\frac {AC^{2}}{AB^{2}}}$

• ${\frac {BC}{BH}}={\frac {AB}{BC}}\longrightarrow \mathrm {BH} ={\mathrm {BC} \times \mathrm {BC} \over \mathrm {AB} }={BC^{2} \over AB}$

${\frac {S_{HCB}}{S_{CAB}}}={\frac {{\frac {1}{2}}{BH}\cdot CH}{{\frac {1}{2}}AB\cdot CH}}={\frac {BC^{2}}{AB^{2}}}$

ដែល $\ S$ ជាក្រឡាផ្ទៃ​។

ដោយផលបូកក្រឡាផ្ទៃនៃត្រីកោណ AHC និង BHC ស្មើនឹងក្រឡាផ្ទៃត្រីកោណ ABC យើងបាន

${\frac {S_{HAC}}{S_{CAB}}}+{\frac {S_{HCB}}{S_{CAB}}}={\frac {S_{HAC}+S_{HCB}}{S_{CAB}}}={\frac {S_{CAB}}{S_{CAB}}}=1$

និង

${\frac {S_{HAC}}{S_{CAB}}}+{\frac {S_{HCB}}{S_{CAB}}}={\frac {AC^{2}}{AB^{2}}}+{\frac {BC^{2}}{AB^{2}}}$

គេបាន

${\frac {AC^{2}}{AB^{2}}}+{\frac {BC^{2}}{AB^{2}}}=1$

ហេតុនេះ $\ AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$ ឬ $\ a^{2}+b^{2}=c^{2}$