Mathematik: Lineare Algebra: Grundlagen: Mengen 2

Mathematik Lineare Algebra Grundlagen Mengen II
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Die natürlichen Zahlen $(\mathbb {N} )$

$\mathbb {N} :=\left\{1,2,3,4,5,...\right\}$ sind die sogenannten natürlichen Zahlen. Es sind alle ganzen Zahlen von Eins anfangend. Das folgende Axiomensystem von Giuseppe Peano beschreibt alle Eigenschaften dieser Menge.

Laut DIN-Norm 5473 ist die Null ein Element der natürlichen Zahlen, einige Mathematiker ignorieren dies jedoch, weshalb man immer auf den Kontext achten muss! Die Menge der natürlichen Zahlen ohne Null wird zum Beispiel mit $\mathbb {N^{*}}$ bezeichnet. Ab 1894 gebrauchte Peano für die natürlichen Zahlen mit Null das Symbol $N_{0}$, das heute ebenfalls stilisiert und nach Peano durch $\mathbb {N_{0}} :=\mathbb {N} \cup \{0\}$ definiert wird.

Axiomensystem von G. Peano

1. $1\,$ ist eine natürliche Zahl
2. Jede natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ hat einen eindeutig bestimmten Nachfolger $n'(\,=n+1)\in \mathbb {N}$.
3. $1\,$ ist kein Nachfolger einer natürlichen Zahl
4. Gilt $m'=n'$, so folgt $m=n$
5. Für jede Menge $M\subseteq \mathbb {N}$, die $1\,$ und mit $m\,$ auch jeden Nachfolger $m'\,$ enthält, gilt $M=\mathbb {N}$.

Beweisprinzip der vollständigen Induktion

Das Axiomensystem von G. Peano erlaubt induktive Definitionen und führt auf das sehr wichtige Beweisprinzip der vollständigen Induktion: $A(n)\,$ sei eine Aussage, in der eine natürliche Zahl $n\in \mathbb {N}$ vorkommt. Wenn dann

1. $A(1)\,$ ist wahr
2. Falls $A(n)\,$ wahr ist, ist auch $A(n+1)\,$ wahr

gilt, ist die Aussage $A(n)\,$ für jede natürliche Zahl wahr.

Häufig gebrauchte Varianten

• Man startet bei $A(k)\,$. Die Aussage ist dann allerdings nur für $n>=k\,$ wahr.
• Falls $A(1),A(2),\ldots ,A(n)$ wahr sind, ist auch $A(n+1)\,$ wahr.

Definition von $+$ und $\cdot$, mit Hilfe des Induktions-Axioms:

$n+1:=n'$

$n+m':=(n+m)'$

$n\cdot 1:=n$

$n\cdot m':=n\cdot m+n$

Beispiel:

Zeige mittels Induktion für $n\geq 1$ die Gültigkeit der Formel : $\sum _{k=1}^{n}k\ =\ {\frac {n\cdot (n+1)}{2}}$.

n = 1 :

$\sum _{k=1}^{1}k={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}={\frac {1\cdot 2}{2}}=1$. Die Formel stimmt also für $n=1$.

$n\rightarrow n+1$ :

$\sum _{k=1}^{n+1}k=\sum _{k=1}^{n}k+n+1={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}+n+1={\frac {n\cdot (n+1)+2\cdot (n+1)}{2}}={\frac {(n+1)\cdot (n+2)}{2}}$

Die Formel ist für $n+1$ gültig und damit bewiesen.

Die Ganzen Zahlen $(\mathbb {Z} )$

Die Ganzen Zahlen sind eine Erweiterung der natürlichen Zahlen um deren negative Gegenstücke. Also zum Beispiel: $\mathbb {Z} :=\left\{0,1,-1,2,-2,3,-3,\ldots \right\}$.

Aufbau der ganzen Zahlen

Die ganzen Zahlen können als Äquivalenzklassen auf $\mathbb {N} ^{2}$ verstanden werden. Wir definieren eine Relation $\sim$ wie folgt:

$(m,n)\sim (m',n'):\iff m+n'=m'+n$

Die Paare $(m,n)$ und $(m',n')$ sind also äquivalent, falls $m-n=m'-n'$ gilt. Damit bilden die Äquivalenzklassen die Menge aller Differenzen von natürlichen Zahlen und das sind gerade die ganzen Zahlen. Addition und Multiplikation lassen sich nun folgendermaßen beschreiben:

$[(m,n)]+[(m',n')]:=[(m+n,m'+n')]$

$[(m,n)]\cdot [(m',n')]:=[(m\cdot m'+n\cdot n',m\cdot n'+n\cdot m')]$

Die rationalen Zahlen $(\mathbb {Q} )$

Die Rationalen Zahlen oder Brüche sind alle Zahlen, die sich als Bruch ${\frac {p}{q}}\ \mathrm {mit} \ p,\ q\in \mathbb {Z}$ schreiben lassen. Also:

$\mathbb {Q} :={\big \{}x{\big |}x={\frac {p}{q}};\quad p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {N} {\big \}}$

Aufbau der rationalen Zahlen

Wie zuvor die ganzen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren natürlicher Zahlen gebildet werden konnten, so können nun die rationalen Zahlen als Äquivalenzklassen von Paaren ganzer Zahlen gebildet werden. Hierzu definieren wir eine Relation $\sim$:

$(p,q)\sim (p',q'):\iff p\cdot q'=q\cdot p'$

Die Äquivalenzklassen $[(p,q)]$ entsprechen also gerade den Brüchen ${\frac {p}{q}}$. Addition und Multiplikation sehen also so aus:

$[(p,q)]+[(p',q')]:=[(p\cdot q'+q\cdot p',q\cdot q')]$

$[(p,q)]\cdot [(p',q')]:=[(p\cdot p',q\cdot q')]$

Die reellen Zahlen $(\mathbb {R} )$

Die reellen Zahlen bestehen aus den rationalen und den irrationalen Zahlen. Auf die Definition kommen wir noch später zu sprechen, jedoch einige Beispiele für irrationale Zahlen:

• ${\sqrt {2}}$
• allgemein: ${\sqrt[{q}]{p}}\ \mathrm {mit} \ q\in \mathbb {N} \ \mathrm {und} \ p\ \mathrm {Primzahl}$
• $\pi \,$ (Die Kreiszahl Pi)
• $e\,$ (Die eulersche Zahl)

Die komplexen Zahlen $(\mathbb {C} )$

Die komplexen Zahlen sind eine gedanklich geschaffene Zahlenmenge, um mit Zahlen rechnen zu können die in der Menge der Reellen Zahlen nicht existieren. Man kann sie als eine Art Hilfsmittel betrachten, mit denen bestimmte Berechnungen (z.B. in der Elektrotechnik) gelöst werden können. Ohne die Komplexen Zahlen wäre dies häufig nicht, oder nur mit erheblich größerem Aufwand möglich.

Eine komplexe Zahl Z hat immer die folgende Form:

$Z=a+b\cdot i$

a und b sind jeweils reelle Zahlen. a heißt Realteil, b Imaginärteil. i wird als Imaginäre Einheit bezeichnet.

Die Imaginäre Einheit i ist die Zahl, die aus der folgenden Gleichung resultiert: $\ i^{2}=-1$   Daraus folgt, dass i den Wert   $\ i={\sqrt {-1}}$ haben müsste. Die Wurzel von negativen Zahlen ist jedoch nicht definiert. Deshalb wird der Buchstabe i als Platzhalter verwendet. (In der Elektrotechnik wird statt "i" der Buchstabe "j" verwendet.) Es gelten dieselben Rechenregeln wie für die Reellen Zahlen. Übrigens kann jede reelle Zahl auch als komplexe Zahl angegeben werden. Hierbei ist der Imaginärteil einfach 0.

Ist der Imaginärteil des Ergebnisses einer komplexen Berechnung nicht Null, so muss das Ergebnis je nach Anwendungsgebiet speziell interpretiert werden.

Beispiele:

• $\ 3+2\cdot i$       (3 ist der Realteil, 2 der Imaginärteil.)
• $\ 1+3,7774\cdot i$
• $\ {\sqrt {3}}+1\cdot i$
• $\ 2+0\cdot i=2$

Weitere häufig benutzte Mengen

• $\mathbb {F} _{2}=\mathbb {Z} _{2}=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} =\left\{0,1\right\}$
• $\mathbb {F} _{3}=\mathbb {Z} _{3}=\mathbb {Z} /3\mathbb {Z} =\left\{0,1,2\right\}$