Taylorov red

Kako stepen Tejlorovog polinoma raste, on se sve više približava funkciji koju aproksimira. Slika pokazuje funkciju $\sin x$ i Tejlorove aproksimacije polinomom razvijenog do sledećih redova stepenima 1, 3, 5, 7, 9, 11 i 13.

Tejlorov polinom za neku funkciju $f(x)$ i datu tačku $a$ je definisan na sledeći način:

$T_{n}(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\ldots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {f^{k}(a)}{k!}}(x-a)^{k}\right)$

Tejlorovim ostatkom $R_{n}^{a}(x)$ polinoma nazivamo deo za koji se razlikuje funkcija i Tejlorov polinom, tj. grešku koja se pri takvoj aproksimaciji funkcije polinomom pravi, i on iznosi:

$R_{n}^{a}(x)={\frac {1}{n!}}\int _{a}^{x}(x-t)^{n}f^{(n+1)}(t)dt$

Tako se svaka funkcija može predstaviti kao zbir odgovarajućeg Tejlorovog polinoma za tačku $a$ koju smo mi sami izabrali i greške koju smo napravili tom aproksimacijom:

$f(x)=T_{n}(x)+R_{n}(x)$

Povezano

• Tejlorova formula
• Maklorenova formula
• Tejlorov red

Literatura

• Dušan Adnađević, Zoran Kadelburg: Matematička analiza 1, Studentski trg, Beograd, 1995.