Distribuciones t de Student.

Las distribuciones t de Student fueron descubiertas por William S. Gosset en 1908 cuando trabajaba para la compañía de cervezas Guinness en Dublín (Irlanda). No pudo publicar sus descubrimientos usando su propio nombre porque Guinness había prohibido a sus empleados que publicaran información confidencial. Gosset firmó sus publicaciones usando el nombre de "Student". Gosset tenía buena relación con Karl Pearson que había sido su maestro. Necesitaba una distribución que pudiera usar cuando el tamaño de la muestra fuera pequeño y la varianza desconocida y tenía que ser estimada a partir de los datos. Las distribuciones t se usan para tener en cuenta la incertidumbre añadida que resulta por esta estimación. Fisher comprendió la importancia de los trabajos de Gosset para muestras pequeñas. Si el tamaño de la muestra es n entonces decimos que la distribución t tiene n-1 grados de libertad. Hay una distribución t diferente para cada tamaño de la muestra. Estas distribuciones son una familia de distribuciones de probabilidad continuas. Las curvas de densidad son simétricas y con forma de campana como la distribución normal estándar. Sus medias son 0 y sus varianzas son mayores que 1 (tienen colas más pesadas). Las colas de las distribuciones t disminuyen más lentamente que las colas de la distribución normal. Si los grados de libertad son mayores más próxima a 1 es la varianza y la función de densidad es más parecida a la densidad normal.

Cuando n es mayor que 30, la diferencia entre la normal y la distribución t de Student no suele ser muy importante. En la imagen podemos ver varios ejemplos de funciones de distribución acumulada.

. En Probabilidades en Distribuciones t-Student puedes ver una comparación más precisa entre las distribuciones t-Student y la normal estándar.

Pruebas de significancia.

Una prueba de significancia usa datos para resumir evidencia sobre una hipótesis comparando estimaciones muéstrales de parámetros con valores predichos por las hipótesis. Respondemos a preguntas como, "¿Si la hipótesis fuera verdad, sería improbable obtener estimaciones como las que obtuvimos?" Cinco partes de una prueba de significancia. 1. Supuestos  Sobre los tipos de datos (cuantitativos, categóricos),  Métodos de muestreo (aleatorio),  Distribución de la población (binaria, normal),  Tamaño de muestra (grande) 2. Hipótesis  Hipótesis nula (H0): Afirmación que parámetro(s) toma(n) valor(es) determinado(s) (Generalmente: "no efecto")  Hipótesis alternativa (Ha): establece que valores del parámetro caen en algún rango alternativo de valores (un "efecto") 3. Prueba estadística: Compara datos con lo que la hip. Nula H0 predice, a menudo encontrando el número de errores estándar entre la estimación muestral y el valor del parámetro en H0 4. Valor-p (P): Una medida de probabilidad de evidencia sobre H0, dando la probabilidad (bajo el supuesto de que H0 es verdadera) que la estadística de prueba sea igual al valor observado o uno incluso un valor más extremo en la dirección predicha por Ha. Entre más pequeño el valor-p, más fuerte la evidencia contra H0 5. Conclusión: Si no se necesita una decisión, reportar e interpretar el valor p Si se necesita una decisión, seleccionar el punto de corte (como 0.05 o 0.01) y rechazar H0 si el valor-p ≤ ese valor.

Conclusión (continuación)

El nivel mínimo más comúnmente aceptado es 0.05, y se dice que la prueba es significativa a un nivel de 0.05 si el valor-p ≤ 0.05.

Si el valor-p no es lo suficientemente pequeño, no rechazamos H0 (entonces, H0 es no necesariamente verdadera, pero sí plausible) Proceso es análogo al sistema judicial Americano H0: Acusado es inocente Ha: Acusado es culpable Prueba de significancia para la media.

Supuestos: Aleatorización, variable cuantitativa, distribución de la población normal Hipótesis nula: H0: µ = µ0 donde µ0 es un valor determinado para la media poblacional (típicamente "no efecto" o "sin cambios" del estándar) Hipótesis alternativa: Ha: µ µ0 (alternativa de dos-lados incluye ambos > y <  valores de la nula) Estadística de prueba: El número de errores estándar que la media muestral cae del valor de H0.

Cuando H0 es verdadera, la dist. Muestral de la estadística de prueba-t tiene una distribución t con df = n -1.

Valor-p: Bajo el supuesto que H0 es verdadera, la probabilidad que la prueba estadística sea igual al valor observado o incluso un valor más extremo (es decir, más grande en valor absoluto), provee más fuerza en la evidencia contra H0 r. a. Fisher, quien fue el primero en obtener la distribución y desarrollar la prueba, de ahí el nombre dela distribución. La prueba f se utiliza principalmente para probar la igualdad entre dos varianzas poblacionales que provienen de poblaciones que tiene una distribución normal, también se ha desarrollado un procedimiento basado en esta prueba para investigar la igualdad entre tres o más medias poblacionales, procedimiento que comúnmente se denomina análisis de varianza (ANOVA).el estadístico de prueba para la prueba f es la razón de los estimadores infestados de dos varianzas poblacionales.

La distribución f aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.

La función de densidad de una f (d1, d2) viene dada para todo número real x ≥ 0, donde d1 y d2 son enteros positivos, y b es la función beta. La función de distribución es donde i es la función beta incompleta regularizada. En estadística se denomina prueba f (de Fisher) a cualquier prueba en la que el estadístico utilizado sigue una distribución f si la hipótesis nula no puede ser rechazada. En estadística aplicada se prueban muchas hipótesis mediante el test f, entre ellas:

La hipótesis de que las medias de múltiples poblaciones normalmente distribuidas y con la misma desviación estándar son iguales. Esta es, quizás, la más conocida de la hipótesis verificada mediante el test F y el problema más simple del análisis de varianza.

La hipótesis de que las desviaciones estándar de dos poblaciones normalmente distribuidas son iguales.

Contrastaremos la hipótesis nula de que las varianzas de dos variables X e Y son iguales frente a la alternativa de que la varianza de X es mayor a la de Y, Tomando como variable X aquella cuya varianza muestral sea mayor.

Conclusión.

Lo que vimos y aprendimos en la investigación fue acerca de varios temas de la estadística inferencial por ejemplo: que la distribución normal fue estudiada por Gauss, ya mencionado en otros temas de esta materia y que lo anterior trata de una variable aleatoria continua (la variable puede tomar cualquier valor real).

También vimos las distribuciones t de Student, continuación del tema anterior donde nos ayuda a tener una distribución que pudiera usar cuando el tamaño de la muestra fuera pequeño y la varianza desconocida y tenía que ser estimada a partir de los datos.

La pruebas de significancia nos explica que se usan datos para resumir evidencia sobre una hipótesis comparando estimaciones muéstrales de parámetros con valores predichos por las hipótesis.

La prueba de Fisher para varianzas y de igualdad de las varianzas de dos poblaciones normales, nos dice que esta se llama así en honor a sir Ronald Fisher, uno de los fundadores de la estadística moderna. Esta prueba se utiliza para probar si dos muestras provienen de poblaciones que poseen varianzas iguales.