Nombre carré centré

Un nombre carré centré $C$ est un nombre figuré centré qui peut être représenté par $C$ points dans un carré avec un point placé au centre et les autres points disposés en couches carrées concentriques de 4 points, 8 points, 12 points, etc. Ainsi, le $n$ -ième carré centré comporte $n$ points sur chaque rayon et sur chaque côté ^[1]:

C_4,1 = 1

C_4,2 = 1 + 4 = 5

C_4,3 = 5 + 8 = 13

C_4,4 = 13 + 12 = 25

Pour tout entier $n$ ≥ 2, le $n$ -ième nombre carré centré est aussi^[1] la somme du $n$ -ième et du ( $n$ – 1)-ième nombres carrés.

Relation de récurrence et premières formules explicites

Pour tout entier $n \geq 1,$ le $n$ -ième carré centré a un point central et $n - 1$ couches carrées.
Pour tout entier $n \geq 2,$ la dernière couche du $n$ -ième carré centré comporte $4(n - 1)$ points ; c'est le gnomon faisant passer du $(n - 1)$ -ième carré centré au $n$ -ième :

\forall \ n\geqslant 2,\ C_{4,n}=C_{4,n-1}+4(n-1).

Pour tout entier $n \geq 1,$ le $n$ -ième nombre carré centré égale donc $1$ plus $4$ fois la somme des entiers de $0$ à $n - 1$ :

\forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}=1+4\sum _{i=0}^{n-1}i=1+2n(n-1)=2n^{2}-2n+1.\qquad \qquad

(S), (D)

Exemple

Représentation du 4-ième nombre carré centré

Le quatrième nombre carré centré est :

{\begin{aligned}C_{4,4}&={\color {red}1}+{\color {Yellow}4}+{\color {Green}8}+{\color {blue}12}\\&={\color {red}1}+4\left({\color {Yellow}1}+{\color {Green}2}+{\color {blue}3}\right)\\&={\color {red}1}+4\!\times \!6\\&=25.\end{aligned}}

Liste de nombres carrés centrés

Les dix plus petits nombres carrés centrés sont :

1, 5, 13, 25, 41, 61, 85, 113, 145, 181 (voir la suite A001844 de l'OEIS).

Relations avec les nombres triangulaires

D'après son expression (S) ou (D) plus haut, le $n$ -ième nombre carré centré est égal à 1 plus 4 fois le ( $n$ – 1)-ième nombre triangulaire $T$ _{$n$ –1} = $n (n - 1) / 2$ (en comptant 0 comme le 0-ième nombre triangulaire) :

\forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}=1+4T_{n-1}.\qquad \qquad

(T)

Cette égalité peut se représenter par :

De l'expression (D) plus haut ou (T) ci-dessus, on tire :

\forall \ n\geqslant 2,\ C_{4,n}=T_{n-2}+2T_{n-1}+T_{n}\ ;

pour tout entier

n

≥ 2, le

n

-ième nombre carré centré est la somme pondérée des trois nombres triangulaires consécutifs

T

_{$n$ –2},

T

_{$n$ –1},

T

_$n$, affectés des coefficients 1, 2, 1.

Le cas

C

_4,2 =

T

₀ + 2

T

₁ +

T

₂ = 0 + 2×1 + 3 = 5 est trivial ; représentations suivantes :

Relations avec les nombres carrés

De l'expression (D) plus haut, on tire :

\forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}=n^{2}+(n-1)^{2}\ ;

pour tout entier

n

≥ 1, le

n

-ième nombre carré centré est^[1] la somme du

n

-ième et du (

n

– 1)-ième carrés parfaits (en comptant 0 comme le 0-ième carré parfait).

Exemple d'illustration :

C_{4,3}={\color {Green}3^{2}}+{\color {YellowOrange}2^{2}}=13

Si $n$ est impair, on peut donc écrire :

C_{4,n}=n^{2}+4\left({\frac {n-1}{2}}\right)^{2}=n^{2}+4{\big (}1+3+\cdots +(n-2){\big )}.

Exemple d'illustration :

C_{4,5}={\color {red}5^{2}}+4\!\times \!{\color {blue}2^{2}}={\color {red}5^{2}}+4({\color {blue}1+3})=41

De même, si $n$ est pair :

C_{4,n}=(n-1)^{2}+4\left({\frac {n}{2}}\right)^{2}=(n-1)^{2}+4{\big (}1+3+\cdots +(n-1){\big )}.

Exemple :

C_{4,6}={\color {red}5^{2}}+4\!\times \!{\color {blue}3^{2}}={\color {red}5^{2}}+4({\color {blue}1+3+5})=61.

De l'expression (D) plus haut, on tire aussi :

\forall \ n\geqslant 1,\ C_{4,n}={{(2n-1)^{2}+1} \over 2}

(trinôme du second degré sous forme canonique).

Donc un entier

C

est carré centré si et seulement si 2

C

– 1 est un carré parfait impair.

La dernière égalité est représentée ci-dessous pour

n

= 1, 2, 3, et 4 ; la

n

-ième figure est formée en considérant un carré de 2

n

– 1 points par 2

n

– 1 points, et en sélectionnant la moitié des points : à partir du coin supérieur gauche, jusqu'au point central inclus.^{[réf. souhaitée]}


${\color {LimeGreen}1^{2}}+{\color {YellowOrange}0^{2}}={\tfrac {1^{2}+1}{2}}=1$		${\color {LimeGreen}2^{2}}+{\color {YellowOrange}1^{2}}={\tfrac {3^{2}+1}{2}}=5$		${\color {LimeGreen}3^{2}}+{\color {YellowOrange}2^{2}}={\tfrac {5^{2}+1}{2}}=13$		${\color {LimeGreen}4^{2}}+{\color {YellowOrange}3^{2}}={\tfrac {7^{2}+1}{2}}=25$

Propriétés de congruence

Tous les nombres carrés centrés sont impairs ; et en base 10, le chiffre des unités du $n$ -ième nombre carré centré suit le motif $1-5-3-5-1.$

Tous les nombres carrés centrés et leurs diviseurs sont congrus à 1 modulo 4. (En effet : pour tout facteur premier $p$ de 2 $n$ ² – 2 $n$ + 1, $p$ est impair, et modulo $p$ , puisque ( $n$ – 1)² est congru à – $n$ ², –1 est un résidu quadratique ; donc modulo 4, $p$ est congru à 1.) Ils se terminent donc par le chiffre 1 ou 5 en bases 6, 8, et 12.

Égalités entre nombres carrés centrés et d'autres nombres figurés

Avec les nombres triangulaires

1 est le seul nombre à la fois carré centré et triangulaire. En effet, pour tout entier $n$ ≥ 2,

T_{2(n-1)}<\ C_{4,n}<\ T_{2(n-1)+1}.

Avec les nombres carrés

Article détaillé : Nombre triangulaire carré.

La recherche des solutions de l'équation diophantienne ${\color {lightgray}C_{4,n}=}\ (n-1)^{2}+n^{2}=m^{2}$ revient à la recherche des triplets pythagoriciens $(n-1,n,m),$ c.-à-d. ceux dont les deux plus petits termes sont consécutifs.

Les cinq plus petits nombres à la fois carrés centrés et carrés parfaits sont alors :

C_4,1 = 0² + 1² = 1 = 1² ; C_4,4 = 3² + 4² = 25 = 5² ; C_4,21 = 20² + 21² = 841 = 29² ;

C_4,120 = 119² + 120² = 28 561 = 169² ; C_4,697 = 696² + 697² = 970 225 = 985².

Pour les suivants, voir^[2]^,^[3]^,^[4]^,^[5] :

C_{4, A046090} =

A001652² +

A046090² =

A008844 =

A001653².

(Pour la suite des nombres carrés, voir A000290.)

On obtient la solution générale en mettant l'équation (n − 1)² + n² = m² sous la forme :

(2n – 1)² – 2m² = –1,

et en utilisant les solutions de l'équation de Pell-Fermat :

x^{2}-2y^{2}=-1.

Nombres carrés centrés premiers

Les dix plus petits nombres à la fois carrés centrés et premiers sont :

C_4,2 = 5 = p₃ ; C_4,3 = 13 = p₆ ; C_4,5 = 41 = p₁₃ ; C_4,6 = 61 = p₁₈ ; C_4,8 = 113 = p₃₀ ;

C_4,10 = 181 = p₄₂ ; C_4,13 = 313 = p₆₅ ; C_4,15 = 421 = p₈₂ ; C_4,18 = 613 = p₁₁₂ ; C_4,20 = 761 = p₁₃₅.

Pour les suivants, voir^[6]^,^[7]^,^[8] :

C_{4, A027861+1} =

A027862 = p_A091277.

(Pour la suite des nombres premiers, voir A000040.)

Références

↑ ^{a b et c} (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 48, 54
↑ (en) « Consider all Pythagorean triples (X, X+1, Z) ordered by increasing Z; sequence gives X values. », section « Comments », page A001652.
↑ (en) « Consider all Pythagorean triples (X,X+1,Z) ordered by increasing Z; sequence gives X+1 values. », section « Name », page A046090.
↑ (en) « Numbers simultaneously square and centered square. », section « Comments », page A008844.
↑ (en) « Positive integers z such that z^2 is a centered square number. », section « Comments », page A001653.
↑ (en) « Numbers k such that k^2 + (k+1)^2 is prime. », section « Name », page A027861.
↑ (en) « Primes of the form j^2 + (j+1)^2. », section « Name », et « Centered square primes (i.e., prime terms of centered squares A001844). », section « Comments », page A027862.
↑ (en) « Numbers k such that the k-th prime is of the form m^2 + (m+1)^2. », section « Name », page A091277.

Voir aussi

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Nombre carré centré, sur Wikimedia Commons

Nombre cubique centré

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Centered square number » (voir la liste des auteurs).

Arithmétique et théorie des nombres

[:1-1] {a b et c} (en) Elena Deza et Michel Deza, Figurate Numbers, Singapour, World Scientific Publishing, 2012, 456 p. (ISBN 978-981-4355-48-3, lire en ligne), p. 48, 54

[2] (en) « Consider all Pythagorean triples (X, X+1, Z) ordered by increasing Z; sequence gives X values. », section « Comments », page A001652.

[3] (en) « Consider all Pythagorean triples (X,X+1,Z) ordered by increasing Z; sequence gives X+1 values. », section « Name », page A046090.

[4] (en) « Numbers simultaneously square and centered square. », section « Comments », page A008844.

[5] (en) « Positive integers z such that z^2 is a centered square number. », section « Comments », page A001653.

[6] (en) « Numbers k such that k^2 + (k+1)^2 is prime. », section « Name », page A027861.

[7] (en) « Primes of the form j^2 + (j+1)^2. », section « Name », et « Centered square primes (i.e., prime terms of centered squares A001844). », section « Comments », page A027862.

[8] (en) « Numbers k such that the k-th prime is of the form m^2 + (m+1)^2. », section « Name », page A091277.

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