Ταχύτητα διαφυγής

Ταχύτητα διαφυγής (αγγλικά: escape velocity) χαρακτηρίζεται οποιαδήποτε ταχύτητα που υπερνικά ενάντια δράση. Ειδικότερα στην Αστρονομία, Αστροναυτική και Κοσμογραφία ως ταχύτητα διαφυγής χαρακτηρίζεται η ελάχιστη αρχική ταχύτητα που θα πρέπει να αναπτύξει ένα σώμα (π.χ. ένας πύραυλος) προκειμένου να υπερνικήσει τη βαρυτική έλξη που υφίσταται αυτό στην επιφάνεια ενός ουρανίου σώματος. Για να διαφύγει από τη βαρύτητα ενός ουράνιου σώματος ένας πύραυλος πρέπει να έχει κινητική ενέργεια που να ξεπερνά την δυναμική του ενέργεια στο βαρυτικό πεδίο του ουράνιου σώματος.

Σε κάθε ουράνιο σώμα παρατηρείται διαφορετική ένταση βαρύτητας, συνεπώς διαφορετική είναι και η ταχύτητα διαφυγής η οποία μειώνεται υψομετρικά από την επιφάνειά του. Όσο πιο μακριά βρίσκονται τα κέντρα των μαζών δύο σωμάτων, τόσο μικρότερη είναι η ταχύτητα διαφυγής του ενός ως προς το άλλο.

Η ταχύτητα διαφυγής δίνεται από την ακόλουθη σχέση:

${\begin{aligned}v_{\textrm {esc}}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}\ ,\end{aligned}}$

όπου v_esc η ταχύτητα διαφυγής, G η παγκόσμια σταθερά της βαρύτητας, Μ η μάζα του σφαιρικού σώματος (το οποίο υποτίθεται σφαιρικά συμμετρικό) και R η ακτίνα του. Είναι αξιοσημείωτο ότι η ταχύτητα αυτή είναι ανεξάρτητη της μάζας του σώματος που χρειάζεται να αποκτήσει την παραπάνω ταχύτητα ώστε να διαφύγει από τη βαρυτική έλξη ενός σφαιρικού σώματος, γεγονός το οποίο οφείλεται εξ' ολοκλήρου στην ιδιαίτερη φύση της βαρύτητας.

Η ταχύτητα διαφυγής στην επιφάνεια της Γης, μη λαμβάνοντας υπόψη την αντίσταση της ατμοσφαίρας, είναι ≈11.2 km/s (χλμ./δευτερόλεπτο), στη Σελήνη ≈2.4 km/s και στον Ήλιο ≈617.5 km/s. Οι αριθμοί αυτοί ισχύουν υποθέτοντας ότι τα προηγούμενα ουράνια σώματα είναι τέλειες σφαίρες.

Η ταχύτητα διαφυγής ελαττώνεται όσο απομακρύνεται το ένα σώμα από το άλλο. Αν το μικρότερο σώμα αναπτύξει ταχύτητα μικρότερη της ταχύτητας διαφυγής, τότε αυτό δεν πρόκειται να εγκαταλείψει το μεγαλύτερο. Συνεπώς, ένα αντικείμενο που εκτοξεύεται από την επιφάνεια της Γης με αρχική ταχύτητα μικρότερη της ταχύτητας διαφυγής δεν θα εγκαταλείψει ποτέ την βαρυτική έλξη της Γης. Στην πραγματικότητα η απαιτούμενη ταχύτητα είναι ακόμα μεγαλύτερη από την ταχύτητα διαφυγής, καθώς στο αντικείμενο θα ασκηθούν και δυνάμεις τριβής λόγω της ατμόσφαιρας της Γης.

Απόδειξη του τύπου της ταχύτητας διαφυγής

Σύμφωνα με την κλασική μηχανική, ένα αντικείμενο μάζας m που βρίσκεται στην επιφάνεια ενός μεγαλύτερου, σφαιρικού σώματος μάζας Μ και ακτίνας R (με m<<M) έχει συνολική δυναμική ενέργεια

$U=-G{\frac {Mm}{R}}.$

Για να απελευθερωθεί το αντικείμενο μάζας m από την βαρυτική έλξη του σώματος μάζας Μ, χρειάζεται να του προσδωθεί μία αρχική ταχύτητα v₀ τέτοια ώστε όταν φθάσει στο «άπειρο» η συνολική του ενέργεια να είναι μηδέν (αφού στο άπειρο η δυναμική ενέργεια είναι μηδέν και η έννοια της ταχύτητας διαφυγής έχει να κάνει με το γεγονός ότι στο άπειρο η κινητική του ενέργεια του αντικειμένου είναι μηδέν). Οι παραπάνω συνθήκες ορίζουν την αρχική αυτή ταχύτητα ως ταχύτητα διαφυγής. Από την αρχή διατήρησης της ενέργειας,

${\begin{aligned}&E_{\alpha \rho \chi .}=E_{\tau \varepsilon \lambda .}\\&{\frac {1}{2}}mv_{\textrm {esc}}^{2}-G{\frac {Mm}{R}}=0\\&v_{\textrm {esc}}={\sqrt {\frac {2GM}{R}}}\end{aligned}}.$

Σημείωση

Ένα συχνό λάθος που συμβαίνει είναι ότι πολλές φορές πιστεύεται πως η ταχύτητα διαφυγής είναι η ταχύτητα που πρέπει να έχει ένας πύραυλος ή ένα διαστημόπλοιο για να διαφύγει από την έλξη της Γης. Περαιτέρω σύγχυση μπορεί επίσης να προκαλέσει η παρατήρηση ότι οι πύραυλοι που εκτοξεύονται έχουν ταχύτητες πολύ μικρότερες από την ταχύτητα διαφυγής της Γης (που αντιστοιχεί σε περίπου 34 Μαχ), κι όμως καταφέρνουν να διαφύγουν στο διάστημα.

Η πηγή του λάθους βρίσκεται στην κατανόηση της έννοιας της ταχύτητας διαφυγής. Η ταχύτητα διαφυγής είναι η αρχική ταχύτητα που πρέπει να δώσουμε σε ένα αντικείμενο ώστε αυτό να διαφύγει από την έλξη ενός ουράνιου σώματος. Αντιθέτως, οι πύραυλοι και τα διαστημόπλοια δεν εκτοξεύονται στο διάστημα, αλλά καίνε συνεχώς καύσιμα μέχρις ότου να διαφύγουν από την έλξη της Γης. Ένας πύραυλος μπορεί κάλλιστα να διαφύγει από την έλξη της Γης με ταχύτητες πολύ μικρότερες από την ταχύτητα διαφυγής της Γης, δεδομένου ότι η καύση λαμβάνει τόπο με τρόπο συνεχή και με επαρκώς ταχύ ρυθμό ώστε ο πύραυλος ή το διαστημόπλοιο να υπερνικά συνεχώς την βαρυτική έλξη της Γης.

Ταχύτητα διαφυγής στις μαύρες τρύπες

Οι μαύρες τρύπες είναι θεωρητικά αντικείμενα που προκύπτουν από την Γενική Θεωρία της Σχετικότητας (ΓΘΣ) του Αϊνστάιν. Κάθε μαύρη τρύπα χαρακτηρίζεται από μία νοητή επιφάνεια η οποία ονομάζεται ορίζοντας γεγονότων, στον οποίο η ταχύτητα διαφυγής ισούται με την ταχύτητα του φωτός c. Μία απλοϊκή αλλά λανθασμένη επιχειρηματολογία στα πλαίσια της κλασικής φυσικής επιτρέπει τον προσδιορισμό της λεγόμενη ακτίνα Σβάρτσιλντ (R_Sch) μίας μαύρης τρύπας μάζας Μ, θέτοντας στον τύπο της ταχύτητας διαφυγής v_esc=c και λύνοντας ως προς R:

${\begin{aligned}&c={\sqrt {\frac {2GM}{R_{S}}}}\\&R_{\mathrm {Sch} }={\frac {2GM}{c^{2}}}\end{aligned}}$

Η παραπάνω επιχειρηματολογία είναι λανθασμένη για πολλούς λόγους. Κατ' αρχάς, οι κλασικοί τύποι που χρησιμοποιήθηκαν παραπάνω ισχύουν μόνο για ταχύτητες πολύ μικρότερες από την ταχύτητα του φωτός και ασθενή βαρυτικά πεδία. Τα φαινόμενα που λαμβάνουν χώρα κοντά στους ορίζοντες μαύρων τρυπών είναι σχετικιστικά, συνεπώς οι εξισώσεις της κλασικής μηχανικής παύουν να ισχύουν. Επίσης, τα ισχυρά βαρυτικά πεδία κοντά στους ορίζοντες γεγονότων διαταράσσουν σημαντικά τη γεωμετρία του χωροχρόνου, συνεπώς απαιτείται προσεκτική μεταχείριση του προβλήματος μέσω των θεωρητικών εργαλείων της ΓΘΣ. Συγκεκριμένα, ο χωρόχρονος γύρω από μία μη περιστρεφόμενη και αφόρτιστη μαύρη τρύπα περιγράφεται από την λεγόμενη μετρική Σβάρτσιλντ, η οποία ορίζει και αυστηρά την ομώνυμη ακτίνα της μαύρης τρύπας.

Παρ' όλα αυτά, κατά σύμπτωση, το αποτέλεσμα που της κλασικής φυσικής για την ακτίνα Σβάρτσιλντ ταυτίζεται με το αποτέλεσμα στο οποίο καταλήγει κανείς μελετώντας τη μετρική του Σβάρτσιλντ.

Βιβλιογραφία

• R. Serway (1990), Φυσική Τόμος Ι - Μηχανική. Saunders College Publishing, Λονδίνο.