Εγγεγραμμένο πολύγωνο

Στην γεωμετρία, ένα κυρτό πολύγωνο ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}$ λέγεται εγγεγραμμένο, εγγράψιμο ή κυκλικό αν όλες του οι $n$ κορυφές ανήκουν στον ίδιο κύκλο. Ο κύκλος λέγεται περιγεγραμμένος κύκλος του πολυγώνου και τα σημεία λέμε ότι είναι ομοκύκλια.^[1]^:133

Ένα (εγγεγραμμένο) τρίγωνο, ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο και ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο.

Ιδιότητες

Ένα κυρτό πολύγωνο ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}$ είναι εγγεγραμμένο αν και μόνο αν οι μεσοκάθετοι των πλευρών ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2},{\rm {P}}_{2}{\rm {P}}_{3},\ldots {\rm {P}}_{n-1}{\rm {P}}_{n},{\rm {P}}_{n}{\rm {P}}_{1}$ , διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου του κύκλου.

Απόδειξη

( $\Rightarrow$ ) Έστω ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}$ ένα κυρτό εγγεγραμμένο πολύγωνο, όπου ο περιγεγραμμένος του κύκλος έχει κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα $\rho$ . Τότε, αφού τα ${\rm {P}}_{1},{\rm {P}}_{2},\ldots ,{\rm {P}}_{n}$ ανήκουν στον περιγεγραμμένο κύκλο, έχουμε ότι

{\rm {OP_{1}}}={\rm {OP_{2}}}=\ldots ={\rm {OP}}_{n}=\rho

.

Επομένως, καταλήγουμε ότι το ${\rm {O}}$ ανήκει στις μεσοκαθέτους των ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2},{\rm {P}}_{2}{\rm {P}}_{3},\ldots {\rm {P}}_{n-1}{\rm {P}}_{n},{\rm {P}}_{n}{\rm {P}}_{1}$ .

( $\Leftarrow$ ) Έστω ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}$ ένα κυρτό τετράπλευρο, όπου οι μεσοκάθετοι των πλευρών του διέρχονται από το σημείο ${\rm {O}}$ . Τότε, έχουμε

{\rm {OP}}_{1}={\rm {OP}}_{2}=\ldots ={\rm {OP}}_{n}

,

και επομένως ο κύκλος με κέντρο ${\rm {O}}$ και ακτίνα ${\rm {OP_{1}}}$ διέρχεται από τα ${\rm {P}}_{1},{\rm {P}}_{2},\ldots ,{\rm {P}}_{n}$ . $\square$

(Ιαπωνικό θεώρημα) Σε ένα εγγεγραμμένο πολύγωνο ${\rm {P}}_{1}{\rm {P}}_{2}\ldots {\rm {P}}_{n}$ , για κάθε τριγωνισμό του ${\rm {A}}_{i}{\rm {B}}_{i}{\rm {\Gamma }}_{i}$ (για $i=1,\ldots ,n-2$ ), ισχύει ότι οι ακτίνες των εγγεγγραμμένων κύκλων αυτών των τριγώνων έχουν σταθερό άθροισμα (δηλαδή αναξάρτητο του τριγωνισμού).

Ειδικές περιπτώσεις

Κάθε τρίγωνο ( $n=3$ ) είναι εγγεγραμμένο.
Στα τετράπλευρα, ισχύουν οι εξής αναγκαίες και ικανές συνθήκες για να είναι εγγεγραμμένο:
- Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν δύο απέναντι γωνίες του είναι παραπληρωματικές, δηλαδή ${\hat {\rm {A}}}+{\hat {\rm {\Gamma }}}=180^{\circ }$ .
- Ένα κυρτό τετράπλευρο είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία γωνία είναι ίση με την εξωτερική της απέναντί της.
- Ένα κυρτό τετράπλευρο ${\rm {AB\Gamma \Delta }}$ είναι εγγεραμμένο αν και μόνο αν μία από τις πλευρές φαίνεται από τις άλλες δύο κορυφές από ίσες γωνίες, δηλαδή $\angle {\rm {A\Gamma B}}=\angle {\rm {A\Delta B}}$ .
Όλα τα κανονικά πολύγωνα είναι εγγεγραμμένα.