Kertolasku

Kertolasku on yksi aritmetiikan laskutoimituksista ja jakolaskun käänteisoperaatio.^[1] Kertolasku on lyhennysmerkintä toistetulle yhteenlaskulle, jossa sama luku lasketaan yhteen monta kertaa. Esimerkiksi 3 · 2 (luetaan kolme kertaa kaksi) on sama kuin 2 + 2 + 2, eli kolme kakkosta laskettuna yhteen.

Kertolaskun tuloksesta käytetään nimeä tulo. Kertolaskun jäsenet ovat tekijöitä. Kahden luvun kertolaskussa ensimmäinen tekijä on kertoja ja jälkimmäinen kerrottava. Lukujen 1–10 tulot luetellaan kertotaulussa.

Ominaisuuksia

Seuraavat laskulait pätevät kaikille kokonaisluvuille sekä myös reaaliluvuille ja kompleksiluvuille a, b ja c:

1 · a = a
0 · a = 0
Kertolaskun vaihdantalaki: a · b = b · a
Kertolaskun liitäntälaki: a · (b · c) = (a · b) · c
Kertolaskun osittelulaki: a · (b + c) = a · b + a · c

Merkintä

Kertomerkki

Kertolaskua merkitään tavallisesti rivinkeskisellä pisteellä eli kertopisteellä (·). Vaihtoehtoisesti etenkin yleiskielessä käytetään vinoristiä eli kertomerkkiä (×) tai joskus sen korvikkeena x-kirjainta. Varsinkin ohjelmointikielissä kertolaskun merkkinä käytetään asteriskia (*).

Luvuilla laskettaessa kertomerkki merkitään aina näkyviin, mutta algebrassa se jätetään kirjaimella merkityn luvun edestä usein pois. Esimerkiksi x · y = xy, ja 5 · x = 5x, mutta aina kirjoitetaan 5 · 4.

Välilyöntien käytöstä kertomerkin yhteydessä standardi SFS 4175 toteaa seuraavasti:

Kertomerkin kummallekin puolelle tulee yleensä välilyönti, mutta välit voidaan jättää pois, jos kerrottavat ovat pelkkiä lukuja tai algebrallisia tunnuksia.

Jos tietokoneella kirjoitettaessa halutaan estää lausekkeen tai yhtälön jakautuminen eri riveille, voidaan käyttää niin sanottuja sitovia välilyöntejä.

Tietokonejärjestelmissä, joissa on käytössä laajennettu suomalainen näppäimistö, rivinkeskinen piste voidaan kirjoittaa pitämällä alhaalla alt gr ‑näppäintä ja shift- eli vaihtonäppäintä samaan aikaan kun painetaan x-kirjaimen näppäintä. Vinoristi puolestaan kirjoitetaan muuten samalla näppäinyhdistelmällä mutta ilman vaihtonäppäintä. HTML-koodiin rivinkeskinen piste voidaan kirjoittaa myös ·‑entiteettinä (joka alkaa &-merkillä ja päättyy puolipisteeseen) ja vinoristi vastaavasti ×‑entiteettinä.

Kertolaskutapoja

Allekkain 1

Aivan kuten yhteenlasku, kertolasku voidaan suorittaa allekkain.

Allekkain kertolaskussa kerrottava merkitään kertojan yläpuolelle. Toisin kuin yhteenlaskussa, kertolaskussa ei periaatteessa ole merkitystä sillä, ovatko desimaalit kohdakkain. Aluksi kerrottava kerrotaan kertojan oikeimmalla desimaalilla, ja saadun osatulon ykköset merkitään kertovan numeron kohdalle. Näin jatketaan, kunnes on kerrottu koko kertojalla. Saadut osatulot lasketaan yhteen. Samoin kuin yhteenlaskussa, usein joudutaan merkitsemään lukuja "muistiin".

Esimerkki:

${\begin{matrix}\ \ 79\\\cdot \ 76\end{matrix}} \over \$

Kertominen aloitetaan oikealta: 6 · 9 = 54, ykkösten alle 4 ja muistiin: 5 , sitten 6 · 7 = 42 + muistista 5 = 47 = kymmenien alle 7 ja muistiin: 4 eli satojen alle 4; 79 · 6 = 474.

${\begin{matrix}\ \ 79\\\cdot \ 76\end{matrix}} \over {\begin{matrix}474\end{matrix}}$

Jatketaan: 7 · 9 = 63, kymmenien alle 3 ja muistiin: 6 , sitten 7 · 7 = 49 + muistista 6 = 55 = satojen alle 5 ja muistiin: 5 eli tuhansien alle 5; 79 · 7 = 553.

$\ \ \ {{\begin{matrix}\ \ 79\\\cdot \ 76\end{matrix}} \over {\begin{matrix}474\\\!\!\!\!\!\!\!+5530\end{matrix}}} \over {\begin{matrix}\ 6004\end{matrix}}$

Allekkain 2

Karl Menninger esittelee kirjassaan Laskemisen taitokeinoja erilaisen tavan kertoa allekkain. Päinvastoin kuin tavallisessa allekkainlaskussa, kerrotaan ensin kohdakkain olevat numerot ja sitten ristiin viereiset ja niin edelleen. Merkitsemällä kaksinumeroiset osatulot oikeille paikoilleen lasketaan yhteen ja saadaan tulo.

Esimerkki: Lasketaan tulo 123 · 321.

Ensimmäisessä vaiheessa kerrotaan sadat (S), kymmenet (K) ja ykköset (Y) keskenään ja merkitään osatulot kaksinumeroisina viivan alle:

  123                      S · S = 1 · 3 = 3 → 03
 ·321                      K · K = 2 · 2 = 4 → 04
 ----
 030403                    Y · Y = 3 · 1 = 3 → 03

Sitten kerrotaan ristiin: S·K + K·S, K·Y + Y·K:

  123
 ·321
 ----
 030403                    S·K + K·S = 1·2 + 3·2 = 8 → 08
  0808                     K·Y + Y·K = 2·1 + 3·2 = 8 → 08

Lopuksi kerrotaan: S·Y + Y·S:

  123
 ·321
 ----
 030403
  0808
   10                      S·Y + Y·S = 1·1 + 3·3 = 10

Lopuksi lasketaan yhteen:

Toinen esimerkki, tällä kertaa suoraan merkittynä:

 387
·765
----
214835
 7482
  64
----
296055

Kertolaskualgoritmeja

Tietokoneita ohjelmoitaessa on otettava huomioon eri operaatioiden vaatimat erilaiset suoritusajat. Tätä varten on kehitetty allekkain kertolaskua nopeampia menetelmiä, esimerkiksi Schönhagen-Strassenin algoritmi, Karatsuban kertolaskualgoritmi ja nopea Fourier'n muunnoksen algoritmi.

Tulo-operaattori

Usean tekijän, esimerkiksi lukujonon tuloa voidaan lyhyesti merkitä tulo-operaattorilla. Merkintä vastaa isolla sigmalla (Σ) merkittyä summaa, mutta operaattorimerkkinä on iso pii (Π). Esimerkiksi sadan ensimmäisen positiivisen kokonaisluvun tulo voidaan merkitä

$1\cdot 2\cdot 3\cdot \ldots \cdot 99\cdot 100=\prod _{i=1}^{100}i.$

Katso myös

Lähteet

↑ Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 188. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0

Kirjallisuutta

Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0

[m1-1] Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: Matematiikan käsikirja, s. 188. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0

[1]