Norme matricielle

En mathématiques, une norme matricielle est un cas particulier de norme vectorielle, sur un espace de matrices.

Dans ce qui suit, K désigne le corps des réels ou des complexes.

Définition

Certains auteurs définissent une norme matricielle comme étant simplement une norme sur un espace vectoriel M_m,n(K) de matrices à m lignes et n colonnes à coefficients dans K.

Pour d'autres, une norme matricielle est seulement définie sur une algèbre M_n(K) de matrices carrées et est une norme d'algèbre, c'est-à-dire qu'elle est de plus sous-multiplicative.

Exemples de normes matricielles

Norme de Frobenius

La norme de Frobenius sur $\mathrm {M} _{m,n}(K)$ est celle qui dérive du produit scalaire ou hermitien standard sur cet espace, à savoir

$(A,B)\in \mathrm {M} _{m,n}(K)^{2}\mapsto \langle A,B\rangle =\operatorname {tr} (A^{*}B)=\operatorname {tr} (BA^{*})$,

où $A^{*}$ désigne la matrice adjointe de $A$ et $\operatorname {tr}$ la trace. La norme de Frobenius est souvent notée

$\|A\|_{F}:=(\operatorname {tr} A^{*}A)^{1/2}=(\operatorname {tr} AA^{*})^{1/2}={\sqrt {\sum _{1\leq i\leq m \atop 1\leq j\leq n}\left|A_{ij}\right|^{2}}}$.

C'est la norme euclidienne ou hermitienne standard de la matrice considérée comme une collection de $m\times n$ scalaires.

Si $K=\mathbb {R}$, le point de vue précédent permet d'en déduire le sous-différentiel de la norme de Frobenius, qui s'écrit en $A\in \mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )$ :

$\partial (\|\cdot \|_{F})(A)=\{B\in M_{m,n}(K)\mid \|B\|_{F}\leq 1,~\langle B,A\rangle =\|A\|_{F}\}$.

En réalité, $\|\cdot \|_{F}$ est différentiable sauf en zéro où $\partial (\|\cdot \|_{F})(0)$ est la boule unité pour la norme de Frobenius.

La norme de Frobenius n'est pas une norme subordonnée, parce que $\|I_{n}\|_{F}={\sqrt {n}}$ (on a noté $I_{n}$ l'opérateur identité sur $\mathbb {R} ^{n}$), mais c'est une norme sous-multiplicative : $\|AB\|_{F}\leqslant \|A\|_{F}\,\|B\|_{F}$.

La norme de Frobenius peut s'étendre à un espace hilbertien (de dimension infinie) ; on parle alors de norme de Hilbert-Schmidt ou encore norme 2 de Schatten.

Normes d'opérateur

On peut aussi voir une matrice A ∈ M_m,n(K) comme un opérateur linéaire de Kⁿ dans K^m et lui associer différents types de normes d'opérateur, à partir des normes utilisées sur Kⁿ et K^m. Par exemple, si l'on munit K^m de la norme p et Kⁿ de la norme q (avec p, q ∈ [1, ∞]), on obtient la norme d'opérateur

$\|A\|_{p,q}:=\sup _{\|x\|_{q}\leqslant 1}\;\|Ax\|_{p}$.

En particulier, on note parfois

$\|A\|:=\|A\|_{2,2}$,

que l'on appelle parfois la norme spectrale ou encore norme ∞ de Schatten.

Norme nucléaire

La norme duale de la norme spectrale $\|\cdot \|$ pour le produit scalaire ou hermitien standard de M_m,n(K), notée et définie par

$\|A\|_{*}:=\sup _{\|B\|\leqslant 1}\;\left|\langle A,B\rangle \right|$,

porte différents noms : norme nucléaire ou norme de Ky Fan ou encore norme 1 de Schatten.

Normes de Schatten

La norme p de Schatten (de), due à Robert Schatten, est définie en A ∈ M_m,n(K) par

$\|A\|_{\sigma _{p}}:=\|\sigma (A)\|_{p}$,

où $\sigma (A)$ est le vecteur des valeurs singulières de $A$. Ces normes ont un lien avec les normes précédentes, puisque, quel que soit A ∈ M_m,n(K), on a

$\|A\|_{F}=\|A\|_{\sigma _{2}},\qquad \|A\|=\|A\|_{\sigma _{\infty }},\qquad \|A\|_{*}=\|A\|_{\sigma _{1}}.$

On déduit du lien entre les normes matricielles et les normes vectorielles de $\sigma (A)$, et les inégalités sur ces normes, que pour tout A ∈ M_m,n(K) :

$\|A\|\leqslant \|A\|_{F}\leqslant \|A\|_{*}\leq \operatorname {rg} (A)^{1/2}\|A\|_{F}\leqslant \operatorname {rg} (A)\|A\|,$

où $\operatorname {rg} (A)$ désigne le rang de $A$.

Ces inégalités montrent que le rang est minoré par la norme nucléaire sur la boule unité ${\mathcal {B}}:=\{A\in \mathrm {M} _{m,n}(K)\mid \|A\|\leqslant 1\}$. Plus précisément, on peut montrer que la plus grande fonction convexe fermée qui minore le rang sur ${\mathcal {B}}$ est la restriction à cette boule de la norme nucléaire.

Lorsque K est le corps des réels, cela revient, en notant ${\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}$ l'indicatrice de ${\mathcal {B}}$, à dire que la biconjuguée de la fonction $\operatorname {rg} +{\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}:\mathrm {M} _{m,n}(\mathbb {R} )\to {\overline {\mathbb {R} }}$ est la fonction $\|\cdot \|_{*}+{\mathcal {I}}_{\mathcal {B}}$. Sans restriction du rang à un ensemble, on obtient $\operatorname {rg} ^{**}=0$, une identité de peu d'utilité.

Propriétés

• L'espace M_n(K), muni d'une norme sous-multiplicative (comme une norme d'opérateur ║∙║_p,p), est un exemple d'algèbre de Banach.
• Pour toute norme N sur M_n(K), l'application bilinéaire (A, B) ↦ AB étant continue (on est en dimension finie), on est assuré de l'existence d'une constante k > 0 telle que$\forall A,B\in \mathrm {M} _{n}(K)\quad N(AB)\leq kN(A)N(B)$.Par suite, la norme kN est sous-multiplicative. Toute norme sur M_n(K) est donc proportionnelle à une norme d'algèbre.