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=== Modèle LOGIT ===

La spécification ci-dessus peut être écrite de manière différente. On désigne par le terme '''[[Logit|LOGIT]]''' de <math>p(1\vert X)</math> l’expression suivante :
:<math>\ln \frac{p(1\vert X)}{1-p(1\vert X)} = b_0+b_1x_1+...+b_Jx_J</math>
* Il s’agit bien d’une « régression » car on veut montrer une relation de dépendance entre une variable à expliquer et une série de variables explicatives.
* Il s’agit d’une régression « logistique » car la loi de probabilité est modélisée à partir d’une [[loi logistique]].

En effet, après transformation de l’équation ci-dessus, on obtient
:<math>p(1\vert X) = \frac{\mathrm{e}^{b_0+b_1x_1+...+b_Jx_J}}{1+\mathrm{e}^{b_0+b_1x_1+...+b_Jx_J}}</math>

'''Remarque : Équivalence des expressions'''

On a deux expressions différentes pour aboutir au modèle logistique. On peut observer ici la concordance entre les coefficients <math>a_j</math> et <math>b_j</math>. Reprenons le LOGIT
:<math>
\begin{align}
\ln \frac{p(1\vert X)}{1-p(1\vert X)} &=& \ln \frac{p(1\vert X)}{p(0\vert X)}
=\ln \frac{p(1)p(X\vert 1)}{p(0)p(X\vert0)}
=\ln \frac{p(1)}{p(0)} + \ln \frac{p(X\vert 1)}{p(X\vert 0)}\\
&=&
\ln \frac{p(1)}{p(0)} + a_0+a_1x_1+...+a_Jx_J
\end{align}
</math>

On constate que
<math>
\begin{cases}
b_0 = \ln \frac{p(1)}{p(0)}+a_0 \\
b_j = a_j &, j \ge 1
\end{cases}
</math>