Fattoriale

In matematica, si definisce fattoriale di un numero naturale $n$, indicato con $n!$, il prodotto dei numeri interi positivi minori o uguali a tale numero. In formula:

Grafico del logaritmo naturale del fattoriale

$n!:=\prod _{k=1}^{n}k=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n$

per la convenzione del prodotto vuoto si definisce inoltre $0!:=1$. La generalizzazione analitica del fattoriale è nota con il nome di funzione gamma di Eulero.

La notazione con il punto esclamativo è stata introdotta nel 1807 da Christian Kramp, mentre il nome fattoriale era stato coniato pochi anni prima, nel 1800 da Antoine Arbogast.

La sequenza dei fattoriali compare nella On-Line Encyclopedia of Integer Sequences (OEIS) come sequenza A000142.

Esempio di numeri fattoriali

I valori dei primi numeri fattoriali sono riassunti nella seguente tabella:

n	n!
0	1
1	1
2	2
3	6
4	24
5	120
6	720
7	5 040
8	40 320
9	362 880
10	3 628 800
11	39 916 800
12	479 001 600
13	6 227 020 800
14	87 178 291 200
15	1 307 674 368 000
16	20 922 789 888 000
17	355 687 428 096 000
18	6 402 373 705 728 000
19	121 645 100 408 832 000
20	2 432 902 008 176 640 000

Definizione ricorsiva

La funzione fattoriale può anche essere definita in modo ricorsivo:

$n!:={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0,\\n(n-1)!&{\text{se }}n\geq 1\end{cases}}$

Per questa ragione, viene spesso utilizzata nell'insegnamento dell'informatica per fornire il primo esempio di calcolo ricorsivo.

Zero fattoriale

Nella definizione come produttoria, la richiesta che $0!$ sia pari a uno si accorda con la richiesta che il prodotto di zero fattori, il cosiddetto prodotto vuoto, come la potenza nulla di un intero positivo, sia uguale ad $1$. Per convincersi ulteriormente di questo fatto, si può anche pensare di definire $1!=1$ e osservare che

$1=1!=1\cdot (1-1)!=1\cdot 0!=0!$

come si desume dalla definizione ricorsiva.

Applicazioni

I fattoriali innanzitutto sono importanti nel calcolo combinatorio. In particolare vi sono $n!$ diverse sequenze formate da $n$ oggetti distinti, cioè vi sono $n!$ permutazioni di $n$ oggetti; i fattoriali quindi enumerano le permutazioni.

Data l'importanza delle permutazioni, segue che i fattoriali si incontrano in numerosissime espressioni. Ad esempio, rimanendo nel calcolo combinatorio, il numero di scelte di $k$ oggetti fra quelli che costituiscono un insieme di $n$ elementi, cioè il numero dei sottoinsiemi di $k$ elementi di un dato insieme di $n$ oggetti, è dato dal cosiddetto coefficiente binomiale:

${\binom {n}{k}}={\dfrac {n!}{k!(n-k)!}}$

I fattoriali si incontrano anche nel calcolo infinitesimale: innanzitutto va osservato che la $n$-esima derivata di $x^{n}$ è $n!$; una conseguenza di questo fatto è il teorema di Taylor che esprime una funzione $f(x)$ come serie di potenze nella $x$ servendosi dei fattoriali e dei valori delle derivate. I fattoriali si incontrano spesso anche nelle espressioni delle funzioni speciali, nell'analisi numerica, nel calcolo delle probabilità, nella meccanica statistica e nella meccanica quantistica.

Varianti e generalizzazioni

Il fattoriale presenta numerose varianti e generalizzazioni. Tra le prime il multifattoriale e in particolare il semifattoriale, il fattoriale crescente e il fattoriale decrescente. Tra le generalizzazioni discrete troviamo l'iperfattoriale e il superfattoriale. Molte di queste varianti nascono dal calcolo della cardinalità di alcuni insiemi nati dalla combinatoria. La funzione gamma è invece una generalizzazione continua.

Funzione gamma

La funzione gamma è una funzione analitica definibile mediante l'integrale

$\Gamma (z):=\int _{0}^{+\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.$

per essa si dimostrano facilmente le proprietà

$\Gamma (1)=1\qquad \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)\quad {\text{per }}\mathrm {Re} (z)>0.$

essa dunque estende la funzione fattoriale definita sugli interi naturali all'intero campo complesso (con la sola eccezione degli interi negativi):

$z!=\Gamma (z+1)=\int _{0}^{+\infty }t^{z}e^{-t}\,dt.$

Si dimostra inoltre che essa è l'unica estensione analitica del fattoriale.

Semifattoriale o doppio fattoriale

La notazione $n!!$ denota il semifattoriale (o doppio fattoriale) di $n$ ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

$n!!={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0{\text{ o }}n=1,\\n\cdot (n-2)!!&{\text{se }}n\geq 2.\end{cases}}$

per esempio $8!!=2\cdot 4\cdot 6\cdot 8=384$ e $9!!=1\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 9=945$. La sequenza di semifattoriali per $n=0,1,2,\dots$ è la seguente:

$1,1,2,3,8,15,48,105,384,945,3840,\dots$

Tra le identità che legano il fattoriale al doppio fattoriale, troviamo:

${\begin{aligned}n!&=n!!\cdot (n-1)!!\\2^{n}\cdot n!&=(2n)!!\\{\dfrac {(2n+1)!}{2^{n}\cdot n!}}&=(2n+1)!!\end{aligned}}$

La seconda identità risulta utile per i semifattoriali pari, mentre l'ultima identità per i semifattoriali dispari: è deducibile dalla constatazione che moltiplicare tra loro tutti i numeri dispari fino a $2n+1$ equivale a moltiplicare tutti gli interi fino a $2n+1$ per poi eliminare, ossia dividere, quelli pari, ossia $2^{n}\cdot n!$).

Multifattoriale

La notazione $n!_{(\alpha )}$denota il multifattoriale di $n$ ed è definita ricorsivamente nel modo seguente:

$n!_{(\alpha )}={\begin{cases}1&{\text{se }}n=0\\n&{\text{se }}0<n<\alpha \\n\cdot (n-\alpha )!_{(\alpha )}&{\text{se }}n\geq \alpha .\end{cases}}$

Valutazione numerica dei fattoriali

Il valore numerico di $n!$ può essere calcolato mediante ripetute moltiplicazioni fino ad un valore non eccessivo di $n$; questo è ciò che fanno le calcolatrici odierne. Al di sopra di un certo $n$ lo strumento di calcolo in uso cessa di dare risultati sensati per via dell'overflow. Ad esempio, una calcolatrice capace di operare su $100$ cifre decimali riesce a calcolare $69!$, ma non il fattoriale successivo, in quanto $70!>10^{100}$.

Quando $n$ è molto grande in genere non serve conoscere il valore preciso di $n!$ e può essere sufficiente stimarlo con una opportuna accuratezza. Per questo scopo in genere si usa l'approssimazione di Stirling:

$n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}~.$

Bibliografia

• (FR) M. J. Hadamard, Sur L'Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF), Œuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968, 1894.
• (EN) Srinivasa Ramanujan, The lost notebook and other unpublished papers, Springer Berlin, 1988, p. 339, ISBN 3-540-18726-X.

Voci correlate

• Calcolo combinatorio
• Permutazione
• Primo fattoriale
• Primoriale
• Fattoriale crescente
• Coefficiente binomiale
• Funzione Gamma

Altri progetti

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• Wikizionario
• Wikimedia Commons

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Collegamenti esterni

• fattoriale, su Treccani.it – Enciclopedie on line, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• Giovanni Lampariello, FATTORIALE, in Enciclopedia Italiana, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 1932.
• fattoriale, su Vocabolario Treccani, Istituto dell'Enciclopedia Italiana.
• fattoriale, su sapere.it, De Agostini.
• fattoriale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) factorial, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
• (EN) Opere riguardanti Factorials, su Open Library, Internet Archive.
• (EN) Eric W. Weisstein, Factorial, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Factorial, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
• (EN) Denis Howe, factorial, in Free On-line Dictionary of Computing. Disponibile con licenza GFDL
• (EN) Fattoriale Calcolatrice: da 0! a 100.000!
• (EN) Dizionario dei grandi numeri, su home.earthlink.net. URL consultato il 21 febbraio 2005 (archiviato dall'url originale il 2 gennaio 2002).
• (EN) Tavola su Wiki Educator, su wikieducator.org.
• Mauro Fiorentini, Fattoriali (nel paragrafo delle proprietà si fa cenno al concetto di base fattoriale)
• Calcolo fattoriale passo per passo

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