Funzione φ di Eulero

In matematica, la funzione φ di Eulero o semplicemente funzione di Eulero o toziente, è una funzione definita, per ogni intero positivo $n$ , come il numero degli interi compresi tra $1$ e $n$ che sono coprimi con $n$ . Ad esempio, $\varphi (8)=4$ poiché i numeri coprimi di 8 sono quattro: 1, 3, 5, 7. Deve il suo nome al matematico svizzero Eulero, che per primo la descrisse.

La funzione $\varphi (n)$ è una funzione molto importante nella teoria dei numeri, principalmente perché è la cardinalità del gruppo moltiplicativo degli interi modulo $n$ , più precisamente è l'ordine del gruppo moltiplicativo dell'anello $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ (vedere aritmetica modulare). Questo fatto, unito con il teorema di Lagrange, dimostra il teorema di Eulero: se $a$ è un numero coprimo con $n$ , allora:

a^{\varphi (n)}\equiv 1\mod n

Moltiplicatività

La funzione φ di Eulero è moltiplicativa: per ogni coppia di interi a e b tali che MCD(a, b)=1, si ha:

\varphi (ab)=\varphi (a)\varphi (b)

Questo fatto può essere dimostrato in molti modi: ad esempio, si può osservare che un numero è coprimo con ab se e solo se è coprimo sia con a sia con b. Infatti, dato un x coprimo con ab, questo non ha fattori in comune con ab, e quindi non ha fattori in comune né con a né con b; viceversa, se x è coprimo con a e con b, ed esistesse un primo p che divide sia ab sia x, p dovrebbe dividere, per il lemma di Euclide, almeno uno tra a e b, e quindi x non può esser coprimo con entrambi.

Una volta dimostrato questo, si osserva che ogni coppia (y, z), con $y\in \mathbb {Z} _{a}$ e $z\in \mathbb {Z} _{b}$ corrisponde a uno e un solo elemento $w\in \mathbb {Z} _{ab}$ (o, per essere più formali, che esiste un isomorfismo tra gli anelli $\mathbb {Z} _{a}\times \mathbb {Z} _{b}$ e $\mathbb {Z} _{ab}$ ). Quindi il numero di elementi coprimi con ab è uguale a quello delle coppie (y, z) dove y è coprimo con a e z con b.

Per definizione i primi sono $\varphi (a)$ e i secondi $\varphi (b)$ , e quindi in definitiva ci sono $\varphi (a)\varphi (b)$ elementi coprimi con ab che è per definizione il valore $\varphi (ab)$

Calcolo della funzione

Un'espressione per la funzione è la seguente:

\varphi (n)=n\cdot \left[\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\right]=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)

dove i $p_{i}$ sono tutti i primi che compongono la fattorizzazione di n.

Dimostrazione

Mostriamo innanzitutto che, se p è un numero primo, allora $\varphi (p^{k})=(p-1)p^{k-1}$ per ogni $k>0$ .

Per fare ciò, troviamo tutti i numeri m minori o uguali a $p^{k}$ per i quali $MCD(p^{k},m)\neq \ 1$ . Ciò equivale a dire che m deve avere dei fattori in comune con $p^{k}$ . Ma p è primo, quindi se m ha dei fattori in comune con p, questi devono essere multipli di una potenza di p. Quindi tutti i possibili valori di m sono $p,2p,3p,\ldots ,p^{k-1}\cdot p$ . Questi numeri sono $p^{k-1}$ , e sono tutti i numeri che non sono coprimi con $p^{k}$ . Tutti i numeri minori o uguali a $p^{k}$ sono $p^{k}$ , quindi i numeri primi con $p^{k}$ minori di $p^{k}$ sono i restanti $p^{k}-p^{k-1}$ .

Quindi $\varphi (p^{k})=p^{k}-p^{k-1}=(p-1)p^{k-1}$

Utilizzando il teorema fondamentale dell'aritmetica possiamo fattorizzare qualsiasi numero $n$ in un prodotto di numeri primi elevati a una certa potenza:

n=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\ldots p_{r}^{k_{r}}

dove i $p_{i}$ sono numeri primi distinti, e ogni $k_{i}>0$

Quindi $\varphi (n)=\varphi (p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}\ldots p_{r}^{k_{r}})$

Ora, poiché $\varphi$ è moltiplicativa possiamo espandere la funzione:

\varphi (n)=\varphi (p_{1}^{k_{1}})\varphi (p_{2}^{k_{2}})\ldots \varphi (p_{r}^{k_{r}})=p_{1}^{k_{1}-1}(p_{1}-1)\cdot p_{2}^{k_{2}-1}(p_{2}-1)\cdots p_{r}^{k_{r}-1}(p_{r}-1)

(La funzione è moltiplicativa tra due numeri se e solo se essi sono primi tra loro. Nel nostro caso, i numeri $p_{i}$ sono tutti primi, e quindi primi tra loro)

La formula può essere riscritta in una forma più compatta:

\varphi (n)=n\cdot \left[\left(1-{\frac {1}{p_{1}}}\right)\left(1-{\frac {1}{p_{2}}}\right)\cdots \left(1-{\frac {1}{p_{r}}}\right)\right]=n\prod _{p\mid n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)

Andamento asintotico

La scrittura prima trovata permette inoltre di dimostrare che i valori della funzione φ possono essere arbitrariamente piccoli rispetto a n (cioè il rapporto $\varphi (n)/n$ è minore di qualunque $\epsilon$ per qualche valore di n): estendendo infatti il prodotto a tutti i primi, si ottiene

{\frac {p_{1}-1}{p_{1}}}{\frac {p_{2}-1}{p_{2}}}\cdots =\left[{\frac {p_{1}}{p_{1}-1}}\cdot {\frac {p_{2}}{p_{2}-1}}\cdots \right]^{-1}

Quella tra parentesi è la scrittura del prodotto di Eulero della funzione zeta di Riemann per s=1, cioè la somma

{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots

ovvero la serie armonica, che diverge. Quindi il suo inverso è infinitesimale, e la successione

{\frac {\varphi (n)}{n}}

diventa arbitrariamente vicina a 0.

Altre proprietà

Il numero φ(n) è anche pari al numero di generatori del gruppo ciclico C_n. Da ciascun elemento di C_n si può generare un sottogruppo ciclico C_d dove d divide n (la notazione è d|n), ottenendo:

\sum _{d\mid n}\varphi (d)=n

dove la somma è estesa a tutti i divisori d di n.

Si può ora utilizzare la funzione di inversione di Möbius per invertire questa somma e ottenere un'altra formula per la φ(n):

$\varphi (n)=\sum _{d\mid n}d\cdot \mu \left({n \over d}\right)$

dove $\mu$ è l'usuale funzione di Möbius definita sugli interi positivi.

Abbiamo inoltre che, se n è un numero primo:

\varphi (n)=n-1

Dato che, ovviamente, ogni numero minore di n gli è coprimo, essendo n primo.

Esiste una sequenza di valori di n tale che

\varphi (n)=\varphi (n+1)

i primi sono 1, 3, 15, 104, 164, 194, 255, 495, 584, 975, ... (sequenza A001274 dell'OEIS).

Esiste un solo numero $n<10^{10}$ tale che

\varphi (n)=\varphi (n+1)=\varphi (n+2)

e si tratta di 5186, per il quale si ha infatti

\varphi (5186)=\varphi (5186+1)=\varphi (5186+2)=2^{5}\cdot 3^{4}

Esiste una progressione aritmetica di ragione 30 composta da sei numeri, che generano tutti lo stesso valore di φ :

\varphi (583200)=\varphi (583230)=\varphi (583260)=\,

\varphi (583290)=\varphi (583320)=\varphi (583350)=\,

=155520=2^{7}\cdot 3^{5}\cdot 5

$a\mid b$ implica $\varphi (a)\mid \varphi (b)$
$\varphi (n)$ è pari per $n\geq 3$ . Inoltre, se n ha r fattori primi distinti dispari, allora $2^{r}\mid \varphi (n)$

Funzione generatrice

Le due funzioni generatrici presentate qui sono entrambe conseguenze del fatto che

\sum _{d|n}\varphi (d)=n.

Una serie di Dirichlet che genera la φ(n) è

\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\varphi (n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s-1)}{\zeta (s)}}

dove $\zeta$ è la funzione zeta di Riemann. Ciò deriva da quanto segue:

\zeta (s)\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}=\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)

\left(\sum _{g=1}^{\infty }{\frac {1}{g^{s}}}\right)\left(\sum _{f=1}^{\infty }{\frac {\varphi (f)}{f^{s}}}\right)=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}1\cdot \varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}

\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{fg=h}\varphi (g)\right){\frac {1}{h^{s}}}=\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}

\sum _{h=1}^{\infty }\left(\sum _{d|h}\varphi (d)\right){\frac {1}{h^{s}}}=

\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}

\sum _{h=1}^{\infty }{\frac {h}{h^{s}}}=\zeta (s-1).

La funzione generatrice di una serie di Lambert è

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}

che converge per |q| < 1. Ciò deriva da

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\varphi (n)q^{n}}{1-q^{n}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\varphi (n)\sum _{r=1}^{\infty }q^{rn}

che è

\sum _{k=1}^{\infty }q^{k}\sum _{n|k}\varphi (n)=\sum _{k=1}^{\infty }kq^{k}={\frac {q}{(1-q)^{2}}}.

Disuguaglianze

Alcune disuguaglianze riguardanti la funzione $\varphi$ sono:

\varphi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\;\log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}

per n > 2, dove γ è la costante di Eulero-Mascheroni,^[1]^[2]

\varphi (n)\geq {\sqrt {\frac {n}{2}}}

per n > 0,

e

\varphi (n)\geq {\sqrt {n}}{\text{ per }}n>6.

Se n è composto abbiamo

\varphi (n)\leq n-{\sqrt {n}}

Per ogni numero pari 2n, dove 2n non è della forma 2^k, abbiamo

\varphi (2n)\leq n-1

Se invece 2n è pari e della forma 2^k, abbiamo

\varphi (2n)=n

Per valori di n arbitrariamente grandi, si avrà

\liminf {\frac {\varphi (n)}{n}}=0

e

\limsup {\frac {\varphi (n)}{n}}=1.

Un paio di disuguaglianze che combinano la funzione $\varphi$ con la funzione $\sigma$ sono:

{\frac {6n^{2}}{\pi ^{2}}}<\varphi (n)\sigma (n)<n^{2}{\mbox{ per }}n>1.

Alcuni valori della funzione

$\varphi (n)$	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

Note

^ (EN) Eric Bach, Jeffrey Outlaw Shallit e Professor Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory: Efficient algorithms, MIT Press, 1996, ISBN 978-0-262-02405-1. URL consultato il 16 febbraio 2022.
^ Eric Library Genesis e Jeffrey Outlaw Shallit, Algorithmic number theory, Cambridge, Mass. : MIT Press, 1996, ISBN 978-0-262-02405-1. URL consultato il 16 febbraio 2022.

Bibliografia

Luca Barbieri Viale, Teorema 4.27, Che cos'è un numero ? Raffaello Cortina, 2013, ISBN 978-88-6030-604-3
Tom M. Apostol (1976): Introduction to Analytic Number Theory, Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-90163-9, (Chapter 2)
H. Davenport, Aritmetica superiore, Zanichelli, Bologna, 1994, ISBN 88-08-09154-6 - Capitolo II.4

Voci correlate

Altri progetti

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Collegamenti esterni

Eulero, funzione toziente di, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
(EN) Euler phi function, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
(EN) Eric W. Weisstein, Totient Function, su MathWorld, Wolfram Research.
(EN) Euler function, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.
(EN) Euler Totient Function, su functions.wolfram.com.
Kirby Urner, Computing totient function in Python and scheme, (2003)
JavaScript totient calculator, su www25.brinkster.com. URL consultato il 14 gennaio 2011 (archiviato dall'url originale il 15 giugno 2011).
Miyata, Daisuke & Yamashita, Michinori, Derived logarithmic function of Euler's function
Bordellès, Olivier, Numbers prime to q in $[1,n]$
Plytage, Loomis, Polhill Summing Up The Euler Phi Function Archiviato il 23 luglio 2011 in Internet Archive.
Fabrizio Romano, Python implementation^{[collegamento interrotto]}

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[1] (EN) Eric Bach, Jeffrey Outlaw Shallit e Professor Jeffrey Shallit, Algorithmic Number Theory: Efficient algorithms, MIT Press, 1996, ISBN 978-0-262-02405-1. URL consultato il 16 febbraio 2022.

[2] Eric Library Genesis e Jeffrey Outlaw Shallit, Algorithmic number theory, Cambridge, Mass. : MIT Press, 1996, ISBN 978-0-262-02405-1. URL consultato il 16 febbraio 2022.

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