擬微分作用素は定数係数の線型微分作用素を適当な意味で一般化したものである。この一般化の指針となる基本的な事実をいくつか振り返ろう。
定数係数線型微分作用素
定数係数の線型微分作用素
P
(
D
)
:=
∑
α
a
α
D
α
{\displaystyle P(D):=\sum \nolimits _{\alpha }a_{\alpha }\,D^{\alpha }}
が R n u に作用するものとする。この作用素は、フーリエ変換 、表象
P
(
ξ
)
=
∑
α
a
α
ξ
α
{\displaystyle P(\xi )=\sum \nolimits _{\alpha }a_{\alpha }\,\xi ^{\alpha }}
による単純な掛け算に、フーリエ逆変換という三者の合成として
P
(
D
)
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
R
n
∫
R
n
e
i
(
x
−
y
)
ξ
P
(
ξ
)
u
(
y
)
d
y
d
ξ
{\displaystyle \quad P(D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{i(x-y)\xi }P(\xi )u(y)\,dy\,d\xi }
(1 )
なる形に書くことができる。 ここで、
α
=
(
α
1
,
…
,
α
n
)
{\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}
多重指数 ,
a
α
{\displaystyle a_{\alpha }}
D
α
=
(
−
i
∂
1
)
α
1
⋯
(
−
i
∂
n
)
α
n
{\displaystyle D^{\alpha }=(-i\partial _{1})^{\alpha _{1}}\cdots (-i\partial _{n})^{\alpha _{n}}}
は逐次偏微分、∂j は j -番目の変数に関する微分という意味である。定数 −i を掛けているのはフーリエ変換の計算の都合である。
偏微分方程式の解の表現
表象 P (ξ)ξ ∈ R n の至る所 0 でないとき、偏微分方程式
P
(
D
)
u
=
f
{\displaystyle P(D)u=f}
を解くには、両辺にフーリエ変換を（形式的に）適用して得られる「代数方程式」
P
(
ξ
)
u
^
(
ξ
)
=
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle P(\xi ){\hat {u}}(\xi )={\hat {f}}(\xi )}
の両辺を P (ξ)
u
^
(
ξ
)
=
1
P
(
ξ
)
f
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )={\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )}
とできるから反転公式により、解
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
e
i
x
ξ
1
P
(
ξ
)
f
^
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int e^{ix\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}{\hat {f}}(\xi )\,d\xi }
が得られる。 ここでの仮定を確認しておくと:
P (D )表象 P (ξ)
u , ƒ最後の仮定はシュヴァルツ超函数 の文脈で考えるならば弱められる。先の二つの仮定も後述するように緩めることができる。
最後の式において f のフーリエ変換を陽に書き下せば
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∬
e
i
(
x
−
y
)
ξ
1
P
(
ξ
)
f
(
y
)
d
y
d
ξ
{\displaystyle u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\iint e^{i(x-y)\xi }{\frac {1}{P(\xi )}}f(y)\,dy\,d\xi }
となり、これは 1/P (ξ) がもはや多項式函数ではなくもっと一般の種類の函数であることを除けば式 (1
擬微分作用素への拡張
式 (1 R n P (x ,D )u (x )x の函数として
P
(
x
,
D
)
u
(
x
)
=
1
(
2
π
)
n
∫
R
n
e
i
x
⋅
ξ
P
(
x
,
ξ
)
u
^
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle \quad P(x,D)u(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{ix\cdot \xi }P(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )\,d\xi }
(2 )
で与えられるものとする。ここで、
u
^
(
ξ
)
{\displaystyle {\hat {u}}(\xi )}
u のフーリエ変換 であり、被積分函数に現れる表象 P (x ,ξ)表象クラス に属するものとする。 例えば、P (x ,ξ)R n R n α, β および x , ξ ∈ R n
|
∂
ξ
α
∂
x
β
P
(
x
,
ξ
)
|
≤
C
α
,
β
(
1
+
|
ξ
|
)
m
−
|
α
|
{\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }\partial _{x}^{\beta }P(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\,(1+|\xi |)^{m-|\alpha |}}
となるような適当な定数 C α,β m が存在するという性質を持つならば、表象 P (x , ξ)S m P (x , D )Ψm に属する階数 m の擬微分作用素 であるという。
以下、
x
,
ξ
{\displaystyle x,\xi }
R
n
{\displaystyle R^{n}}
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle (x,\xi )}
R
2
n
{\displaystyle R^{2n}}
任意の多重指標
α
,
β
{\displaystyle \alpha ,\beta }
C
α
,
β
{\displaystyle C_{\alpha ,\beta }}
C
∞
{\displaystyle C^{\infty }}
p
(
x
,
ξ
)
{\displaystyle p(x,\xi )}
S
ρ
,
δ
m
{\displaystyle S_{\rho ,\delta }^{m}}
0
≤
δ
≤
ρ
≤
1
{\displaystyle 0\leq \delta \leq \rho \leq 1}
δ
<
1
{\displaystyle \delta <1}
|
∂
ξ
α
D
x
β
p
(
x
,
ξ
)
|
≤
C
α
,
β
⟨
ξ
⟩
m
+
δ
|
β
|
−
ρ
|
α
|
{\displaystyle |\partial _{\xi }^{\alpha }D_{x}^{\beta }p(x,\xi )|\leq C_{\alpha ,\beta }\langle \xi \rangle ^{m+\delta |\beta |-\rho |\alpha |}}
各
u
∈
S
{\displaystyle u\in {\mathcal {S}}}
P
:
S
→
S
{\displaystyle P:{\mathcal {S}}\to {\mathcal {S}}}
p
{\displaystyle p}
P
u
(
x
)
=
(
2
π
)
−
n
∫
e
i
x
ξ
p
(
x
,
ξ
)
u
^
(
ξ
)
d
ξ
{\displaystyle Pu(x)=(2\pi )^{-n}\int e^{ix\xi }p(x,\xi ){\hat {u}}(\xi )d\xi }
m
{\displaystyle m}
p
(
x
,
D
x
)
=
∑
|
α
|
≤
m
a
α
(
x
)
D
x
α
(
a
α
∈
B
(
R
n
)
)
{\displaystyle p(x,D_{x})=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)D_{x}^{\alpha }\ (a_{\alpha }\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n}))}
に対し、
m
{\displaystyle m}
p
(
x
,
ξ
)
=
∑
|
α
|
≤
m
a
α
(
x
)
ξ
α
{\displaystyle p(x,\xi )=\sum _{|\alpha |\leq m}a_{\alpha }(x)\xi ^{\alpha }}
は
S
1
,
0
m
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1,0}^{m}}
m
{\displaystyle m}
m
{\displaystyle m}
熱作用素
p
(
x
,
D
x
)
=
∂
∂
x
1
−
∑
2
≤
j
≤
n
∂
2
∂
x
j
2
{\displaystyle p(x,D_{x})={\frac {\partial }{\partial x_{1}}}-\sum _{2\leq j\leq n}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{j}^{2}}}}
は
p
(
x
,
ξ
)
=
i
ξ
1
−
∑
2
≤
j
≤
n
ξ
j
2
{\displaystyle p(x,\xi )=i\xi _{1}-\sum _{2\leq j\leq n}\xi _{j}^{2}}
を表象に持つ。
0
<
α
≤
2
{\displaystyle 0<\alpha \leq 2}
p
(
x
,
ξ
)
=
|
ξ
|
α
(
=
(
∑
1
≤
j
≤
n
ξ
j
2
)
α
/
2
)
{\displaystyle p(x,\xi )=|\xi |^{\alpha }(=(\sum _{1\leq j\leq n}\xi _{j}^{2})^{\alpha /2})}
とおくと、これを表象に持つ擬微分作用素が存在するが、それは
p
(
x
,
D
x
)
=
[
−
∑
1
≤
j
≤
n
(
∂
∂
x
j
)
2
]
α
2
=
(
−
Δ
)
α
2
{\displaystyle p(x,D_{x})=\left[-\sum _{1\leq j\leq n}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)^{2}\right]^{\frac {\alpha }{2}}=(-\Delta )^{\frac {\alpha }{2}}}
と表される。これを分数的ラプラシアン (fractional Laplacian) という。
p
(
x
,
ξ
)
=
1
+
∑
1
≤
j
≤
n
ξ
j
2
{\displaystyle p(x,\xi )={\sqrt {1+\sum _{1\leq j\leq n}\xi _{j}^{2}}}}
は
S
1
,
0
1
{\displaystyle {\mathcal {S}}_{1,0}^{1}}
p
(
x
,
D
x
)
=
1
−
∑
1
≤
j
≤
n
(
∂
∂
x
j
)
2
=
1
−
Δ
{\displaystyle p(x,D_{x})={\sqrt {1-\sum _{1\leq j\leq n}\left({\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\right)^{2}}}={\sqrt {1-\Delta }}}
である。これは
1
−
Δ
{\displaystyle 1-\Delta }
平方根 に相当するものであり
Λ
{\displaystyle \Lambda }
Λ
{\displaystyle \Lambda }
偏微分方程式論 でよく使われる。
滑らかな有界函数係数の m -階線型微分作用素は m -階の擬微分作用素である。
二つの擬微分作用素 P, Q の合成 PQ はふたたび擬微分作用素であり、PQ の表象は P および Q の表象を用いて計算することができる。擬微分作用素の随伴および転置はまた擬微分作用素である。
m -階微分作用素が楕円型 かつ可逆ならば、逆作用素もまた −m -階の擬微分作用素で、表象はもとの微分作用素の表象から計算できる。これはつまり、楕円型線形微分方程式は擬微分作用素論を用いて陰に陽に解くことができるということである。
微分作用素が（その振舞いを知るのにある点の近傍での函数の値しか必要としないという意味で）「局所的」であるのに対し、擬微分作用素は「擬局所的」である。これは厳密さをさておけば、シュヴァルツ超函数が滑らかな点においてそれに擬微分作用素を作用させたものは特異点を生まないという意味である。
微分作用素が D = −i (d/dx )
p
(
x
,
D
)
{\displaystyle p(x,D)}
なる形の D を変数とする多項式 p （つまり表象）で表されるのと同様に、擬微分作用素はより一般の函数のクラスに表象を持つ。しばしば擬微分作用素に関する解析学を、その表象を含む代数的な問題の列に帰着することができる。このことは超局所解析 の本質である。
写像として見れば、擬微分作用素は積分核 によって表すことができる。対角線上の積分核の特異性は、対応する作用素の次数に依存している。実は表象が上記の微分不等式を m ≤ 0 に対して満たすならば、積分核が特異積分核 （英語版 ）
熊ノ郷準 『擬微分作用素』岩波書店 〈数学選書〉、1974年10月30日。ISBN 4-00-005225-X 。 Peterson, Brent E. (1983-11-01). Introduction to the Fourier Transform and Pseudo-differential Operators . Monographs and studies in mathematics. Pitman Advanced Pub. Program. ISBN 0273086006 Jacob, Niels (2005-07-21). Pseudo differential operators and Markov processes . Markov Processes and Applications v. III. Imperial College Press. ISBN 1860945686 
