$e^{t^2}$を$t$について微分すると$2te^{t^2}$より

$$\int_{0}^{1+h} 2te^{t^2}\ dt=\left[ e^{t^2} \right]^{1+h}_{0}=e^{(1+h)^2}-1$$

となり与式のlogの中身は以下のように変形できる

$$\lim_{h \to 0} (\dfrac{e^{(1+h)^2}-1}{e-1})^\dfrac{1}{h}=\lim_{h \to 0}(1+\dfrac{e(e^{h(h+2)}-1)}{e-1})^\dfrac{1}{h}$$

$$=\lim_{h \to 0}(1+\dfrac{e(e^{h(h+2)}-1)}{e-1})^{\dfrac{e-1}{e(e^{h(h+2)}-1)}・\dfrac{1}{h}・\dfrac{e(e^{h(h+2)}-1)}{e-1}}$$

$=e^{\dfrac{1}{h}・\dfrac{e(e^{h(h+2)}-1)}{e-1}}$となり

与式$=\lim_{h \to 0}\dfrac{e}{e-1}・\dfrac{e^{h(h+2)}-1}{h}、\lim_{h \to 0}\dfrac{e^h-1}{h}=1$より

$$\lim_{h \to 0}\dfrac{e}{e-1}・\dfrac{e^{h(h+2)}-1}{h}=\lim_{h \to 0}\dfrac{e}{e-1}・(h+2)\dfrac{e^{h(h+2)}-1}{h(h+2)}$$

$$=\dfrac{e}{e-1}・2・1=\dfrac{2e}{e-1}$$

読みづらくなってしまいすみません。