EL ORIGEN DE LA INTEGRAL: LA PRIMERA MITAD DEL SIGLO XVII Nos situamos a comienzos del siglo XVII , justamente después de la aparición del concepto de función, cuando comienza a tomar forma el cálculo, que junto con la geometría analítica es ”la mayor creación de todas las matemáticas”. En aquella época había cuatro tipos de problemas principalmente: 1). Dada la fórmula de la distancia que un cuerpo recorre como función del tiempo, obtener la velocidad y la aceleración en cada instante; y, al revés, dada la fórmula de la aceleración de un cuerpo como función del tiempo, obtener la velocidad y la distancia recorrida. Este problema surge directamente del estudio del movimiento. 2). Obtener la tangente a una curva, como consecuencia de las aplicaciones de la óptica y el estudio del movimiento. 3). Obtener el valor máximo o mínimo de una función para aplicarlo al problema del tiro parabólico y el estudio del movimiento de los planetas. 4). Obtener longitudes de curvas; las áreas acotadas por curvas; los volúmenes acotados por superficies; los centros de gravedad y la atracción gravitatoria entre cuerpos extensos. En aquel entonces aun no había constancia de la estrecha relación que hay entre los cuatro problemas. Nos centraremos en este cuarto problema, y mostraremos los métodos más significativos para resolverlo que utilizaron los predecesores de Newton y Leibniz. Los griegos ya habían aplicado métodos exhaustivos para el cálculo de áreas y volúmenes. A pesar del hecho de que lo aplicaban para áreas y volúmenes relativamente sencillos, tenían que utilizar mucha ingeniosidad, porque al método le faltaba generalidad, y no obtuvieron respuestas numéricas muy a menudo. Fue con los trabajos de Arquímedes con los que se volvió a despertar en Europa el interés por obtener longitudes, áreas, volúmenes y centros de gravedad. El Método exhaustivo se modifico primero gradualmente, y después radicalmente por la invención del cálculo. Los trabajos del siglo XVII al respecto de este cuarto problema comienzan con Kepler, de quien se dice que se interesó por el problema de los volúmenes porque notó la falta de precisión de los métodos utilizados por los tratantes de vinos para obtener el volumen de los barriles. Este trabajo (en Stereometria Dolorium) es tosco para los niveles actuales; por ejemplo, el área de un círculo es el área de un número infinito de triángulos, cada uno con un vértice en el centro y una base en la circunferencia. De la fórmula del área de un polígono regular inscrito en una circunferencia, la mitad del perímetro por la apotema, obtenía el área del círculo. De forma análoga, consideraba el volumen de la esfera como la suma de los volúmenes de pequeños conos cuyos vértices están en el centro de la esfera y cuyas bases están en la superficie. Así demostró que el volumen de la esfera es un tercio del radio por la superficie. Consideró el cono como una suma de discos circulares muy estrechos y así pudo calcular su volumen. Galileo, en Dos nuevas ciencias, concibe las áreas de un modo parecido a Kepler; al tratar el problema del movimiento uniformemente acelerado, presentó un razonamiento para mostrar que el área de la curva tiempo-velocidad es la distancia. Supongamos que un objeto se mueve con velocidad variable v=32t representado en el dibujo por la recta OB; entonces la distancia recorrida en el tiempo OA es el área OAB. Llegó a esta conclusión considerando, por ejemplo, A´B´ como una velocidad típica en un instante y también como la distancia infinitesimal recorrida, y razonando entonces que el área OAB, que está construida con las líneas A´B´, debe ser, por tanto, la distancia total. Este razonamiento (poco claro) estaba apoyado en la mente de Galileo por consideraciones filosóficas que equivalían a considerar el área OAB como construida con un número infinito de unidades indivisibles como A´B´. Bonaventura Cavalieri (1598-1647), discípulo de Galileo y profesor en un liceo de Bolonia fue influido por Kepler y Galileo, y fue estimulado por este último para interesarse por problemas del cálculo. Cavalieri desarrolló las ideas de Galileo y otros sobre los indivisibles mediante un método geométrico, y publicó un trabajo sobre el tema, Geometría Indivisibilibus Continuorum Nova quadam Ratione Promota (Geometría superior mediante un método bastante desconocido, los indivisibles de los continuos, 1635). Considera un área como constituida por un número indefinido de rectas paralelas y equidistantes y un volumen como compuesto por un número indefinido de áreas planas paralelas; a estos elementos los llama los indivisibles de área y volumen respectivamente. En líneas generales los indivisibilistas mantenían, como expresa Cavalieri en sus Exercitationes Geometricae Sex (1647), que una línea está hecha de puntos como una sarta de cuentas; el plano está hecho de líneas, como un tejido de hebras y un sólido de áreas planas como un libro de hojas, sin embargo aceptaban un número infinito de elementos constituyentes. El método o principio de Cavalieri puede ilustrarse mediante la proposición siguiente que, por supuesto puede, demostrarse de otras formas. Para demostrar que el paralelogramo ABCD tiene área doble que cualquiera de los triángulos ABD o BCD, hace notar que cuando GD=BE, se tiene que GH=FE. Por tanto los triángulos ABD y BCD están constituidos por igual número de líneas iguales, tales como GH y EF, y por tanto tienen que tener áreas iguales. Este mismo principio está incluido en la proposición que se enseña actualmente en los libros de geometría de sólidos y que se conoce como teorema de Cavalieri. Con este método encontró el área acotada bajo funciones del tipo para n=1,2,3,4,5,6,9. Pero sin embargo, su método era enteramente geométrico. En 1634, Roberval, utilizó esencialmente el método de los indivisibles para obtener el área encerrada bajo un arco de cicloide, un problema sobre el que Mersenne había llamado su atención en 1629. Denominó a su método el “método de las infinidades”, aunque utilizó como título de su trabajo el de Traité des Indivisibles. Sea OABP el área situada bajo la mitad de un arco de cicloide. El diámetro de la circunferencia generatriz es OC y P es un punto cualquiera del arco. Se toma PQ=DF. El lugar geométrico descrito por Q se llama curva asociada a la cicloide. (La curva OQB es, en nuestra notación, y = a sen(x/a), donde a es el radio de la circunferencia generatriz, con tal que el origen esté en el punto medio de OQB y el eje OX sea paralelo a OA.) La curva OQB divide al rectángulo OABC en dos partes iguales porque a cada línea DQ en OQBC le corresponde una línea igual RS en OABQ. Entonces puede aplicarse el principio de Cavalieri. El rectángulo OABC tiene su base y su altura iguales, respectivamente, a la semicircunferencia y diámetro de la circunferencia generatriz; por lo tanto su área es el doble de la circunferencia. Entonces OABQ tiene la misma área que la circunferencia generatriz. Además el área entre OPB y OQB es igual al área del semicírculo OFC porque de la misma definición de Q se tiene que DF=PQ, de modo que estas dos áreas tienen la misma anchura en todas partes. En consecuencia, el área encerrada debajo del semiarco es una vez y media el área de la circunferencia generatriz. Además también obtuvo el área encerrada en un arco de la curva seno, el volumen generado por la revolución del arco alrededor de su base, otros volúmenes conectados con la cicloide y el centro de su área. El método más importante para calcular áreas, volúmenes y otras cantidades comenzó con modificaciones del método exhaustivo griego. Así como los griegos utilizaban diferentes tipos de figuras aproximantes rectilíneas, en el siglo XVII adoptaron un procedimiento sistemático utilizando rectángulos. Supongamos que se quiere calcular el área situada por la parábola desde x=0 hasta x=B. A medida que la anchura d de estos rectángulos se hace más pequeña, la suma de las áreas de los rectángulos se aproxima al área encerrada bajo la curva. Esta suma, si las bases son todas ellas de anchura d, y si se utiliza la propiedad característica de la parábola de que la ordenada es el cuadrado de la abscisa, es o lo que es lo mismo La suma de las potencias m-ésimas de los primeros n números naturales había sido obtenida por Pascal y Fermat precisamente para su uso en tales problemas; por ello los matemáticos pudieron sustituir fácilmente la ultima expresión por Si sustituimos d por la longitud fija OB dividida por n, el resultado es Si se considera, como lo hicieron ellos entonces, que los dos últimos términos se pueden despreciar cuando n es infinito, se obtiene el resultado correcto. El proceso de paso al límite no había sido introducido todavía (o se percibía toscamente) y por lo tanto el despreciar términos tales como los dos últimos no estaba justificado. Este enfoque que fue mostrado por Stevin en 1586 en su obra Statics fue seguido por muchos otros, incluyendo a Fermat, que ya antes de 1936 conocía para todo n racional excepto -1. En 1658 Pascal considero algunos problemas sobre la cicloide. Calculo el área de cualquier segmento de la curva cortada por una recta paralela a la base, el centroide del segmento y los volúmenes de los sólidos generados por esos segmentos al girar alrededor de sus bases (YZ en la figura) o de una recta vertical ( el eje de simetría). En este trabajo, así como en trabajos previos sobre áreas encerradas bajo curvas de la familia , sumo pequeños rectángulos en la forma del método anterior aunque su trabajo y resultados fueron enunciados geométricamente. Bajo el pseudónimo de Dettonville, proponía los problemas que había resuelto como un reto para otros matemáticos, publicando a continuación sus propias soluciones superiores (Letras de Dettonville, 1659). John Wallis (1616-1703) fue de los primeros en introducir métodos analíticos en el cálculo, así en sus esfuerzos por calcular el área del círculo analíticamente obtuvo una nueva expresión de . Calculó el área acotada por los ejes, la ordenada en x y la curva para las funciones , para n=1,2,3… y obtuvo áreas respectivamente. Cuando x=1 estas áreas son pero la circunferencia viene dada por . Por inducción e interpolación, Wallis calculó su área y, mediante complicados razonamientos posteriores llegó a que . Gregorio de San Vicent, en su Opus Geometricum (1647), proporcionó las bases para la importante conexión entre la hipérbola rectangular y la función logaritmo. Demostró, utilizando el método exhaustivo, que si para la curva y=1/x las se eligen de modo que las áreas a,b,c,d… son iguales, entonces las están en progresión geométrica. Esto significa que la suma de las áreas desde hasta , cuya suma forma una progresión geométrica, es proporcional al logaritmo de los valores de las o, en nuestra notación, . La observación de que las áreas pueden interpretarse como logaritmos se deben en realidad a un discípulo de Gregorio, el jesuita belga Alfonso de Sarasa (1618-1667) en sus Solutio Problematis a Mercenno Propositi (1649).