Initiation au béton armé. Détermination de ferraillage complet d'une poutre en flexion simple (à l’état limite ultime) 1. Principe du béton armé 1.1. Introduction et historique Le béton armé correspond à un mariage judicieux de matériaux aux caractéristiques complémentaires : l’acier pour sa capacité à résister aux contraintes de traction et le béton pour sa capacité à résister à la compression. Le béton étant lui-même un mélange intelligent de granulats, de ciment et d’eau. Le ciment et l’acier résultent quant à eux de processus de fabrication spécifiques. Les méthodes de composition de béton permettant d’obtenir les performances voulues sont très 3 élaborés. Néanmoins pour donner des ordres de grandeur disons que la "recette" pour obtenir 1 m de béton "courant" consiste à malaxer environ 1200 kg de graviers, 600 kg de sable, 400 kg de ciment et 200 litres d’eau. Cela permet d'espérer, à 28 jours d'âge du béton, une résistance à la compression de l'ordre de 30 MPa. Actuellement les bétons courants contrôlés atteignent régulièrement 25 à 40 MPa, les bétons à haute performance (BHP) 50 à 100 MPa voire plus. La résistance à la traction des bétons courants est de 8 à 12 fois plus faible et la rupture d'une pièce sollicitée est brutale. Le béton est un matériau fragile et peu résistant à la traction (comme la pierre). La pierre comme le béton ayant une très faible Fig 1.1 Le franchissement résistance à la traction ne permet pas de résoudre facilement le problème du franchissement qui pose la question de la résistance aux efforts internes de traction. Les voûtes ou les arcs sont une réponse à ce problème car leur forme permet de n’avoir que de la compression dans le matériau (reste néanmoins à résoudre la question des poussées horizontales en pied). Le bois et l’acier résistent aux efforts de compression et de traction. Mais pour que le béton résiste aussi il faut l’armer ou le précontraindre. On trouvera ci-après un bref historique du béton armé… La découverte du ciment Le mélange de Chaux, d'argile, de sable et d'eau est très ancien. Les er Égyptiens l'utilisaient déjà 2600 ans av. J.-C. Vers le I siècle, les Romains perfectionnèrent ce « liant » en y ajoutant de la terre volcanique de Pouzzole, ce qui lui permettait de prendre sous l'eau, ou en y ajoutant de la tuile broyée (tuileau), ce qui améliorait la prise et le durcissement. Un des premiers grands ouvrages en béton est le Panthéon de Rome, construit sous Adrien en 128 ap.J-C avec une coupole hémisphérique de 43,20 m de diamètre à base de béton de pouzzolane. Coupole du Panthéon de Rome Pourtant, la découverte du ciment est attribuée à Louis Vicat, jeune ingénieur de l'école nationale des ponts et chaussées. En 1818, il fut le premier au monde à fabriquer, de manière artificielle et contrôlée, des chaux hydrauliques dont il détermina les composants ainsi que leur proportion. La région Grenobloise est au début du 20°siècle un hau t lieu de production de ciment avec une cinquantaine de cimenteries autour de Grenoble. Pendant l'année 1908, Jules Bied, directeur du laboratoire de la société Pavin de Lafarge, découvre le Ciment Fondu©, fabriqué à partir de calcaire et de bauxite, alors qu'il était à la recherche d'un liant hydraulique qui ne soit attaqué ni par l'eau de mer ni par les eaux sulfatées. Le 19° siècle. Béton moulé et pierres factices de c iment moulé Le béton de ciment est apparu en architecture grâce aux bétons moulés et aux pierres factices, imitation des pierres de taille coulées en béton ; souvent du béton de ciment prompt naturel. e La pratique du moulage débuta au début du XIX siècle dans les régions où l'on connaissait déjà le banchage du pisé et grâce à la rapidité de prise du ciment prompt naturel (dit aussi ciment romain). e François Cointeraux faisait déjà des moulages à Lyon et Grenoble à la fin du XVIII siècle. François Coignet fut un des plus importants promoteur du béton moulé. Industriel lyonnais, il bâtit son usine de Saint-Denis (Paris) en 1855 en béton-pisé qu'il breveta. La pierre factice eut un véritable succès dans la région de Grenoble, grâce aux ciments prompts naturels à partir des années 1840 (Ciment de la Porte de France par Dumolard et Viallet, Ciment d'Uriol par Berthelot et Ciment de la Pérelle par la société Vicat ; aujourd'hui, seuls La Porte de France et la Pérelle, propriétés de Vicat, produisent du ciment prompt naturel en Europe) . On moulait tout, canalisation d'égouts, vases, statues, balustrades, pierres d'angles, de claveaux, corniches, modillons, etc. Cette pratique s'est répandue ensuite dans de nombreuses grandes villes d'Europe. Les villes du nord de l'Italie ont aussi utilisé le ciment moulé, grâce au prompt importé de Grenoble. Grenoble est non seulement le pays de la « houille blanche » mais aussi celui de l’ « or gris » : La Casamaures vers 1855 et La Tour Perret 1925 en témoignent. En Isère, on bâtissait au 19°s de nombreuses maisons et surtout des églises avec des éléments architectoniques de ciment moulé comme l'église de Cessieu qui date de 1850, celle de Champier de 1853 ou encore l'église Saint-Bruno de Voiron (1857-1871), SaintBruno de Grenoble (1869-1875) qui sont entièrement en pierres factices de ciment prompt moulé. Fig 1.2 La Casamaures La Tour Perret L’apparition des armatures avec le mortier armé L'armature de métal dans les mortiers provient des techniques de moulage en sculpture et fut utilisé d'abord par des jardiniers expérimentateurs. Joseph- Louis Lambot à Miraval fabriqua en 1845 des caisses pour orangers et réservoirs avec du fil de fer et du mortier, en 1849 une barque armée par un quadrillage de barres de fer, et enfin en 1855 il posa un brevet : le "ferciment", une combinaison de fer et de mortier pour les constructions navales et les caisses à fleur. Il construisit un canot en 1855 qui passa inaperçu à l'Exposition universelle de Paris. Joseph Monier déposa en 1867, à Paris, une demande pour "un système de caissesbassins mobiles en fer et ciment applicables à Dessins de J.L.Lambot l'horticulture". Il réalisa un premier pont bipoutre de 13,80m de portée à Chazelet. Après un long oubli, il fallut attendre l’extrême fin du XIXe siècle pour qu’en France, Hennebique, fasse à nouveau, usage du béton armé, lui donnant un véritable départ. La première réalisation en béton armé : Barque de Joseph Louis Lambot 1849. Musée de Brignoles Pont bi-poutre de Chazelet, 1875, Joseph Monier L'invention du béton armé En Angleterre, des entrepreneurs comme Alexander Payne et Thaddeus Hyatt, tentèrent dans les années 1870 d'apprivoiser les armatures dans les bétons mais furent désavoués par des contradicteurs et quelques infortunes. Aux États-Unis les armatures métalliques du béton furent dévoilées par William E. Ward et exploitées par Ernest Leslie Ransome, avec ses fers Ransome dans les années 1880. Il fallut attendre la maîtrise du béton armé, les réflexions techniques d'ingénieurs pour voir apparaître un véritable intérêt cimentier. François Hennebique abandonna ainsi son métier d'entrepreneur en 1892 et devint ingénieur consultant. Il eut un succès considérable. Créa une société de franchises en construction et bâtit des dizaines de milliers d'édifices. Il publia le magazine Béton armé à partir de 1898 pour faire connaître ses travaux qui permirent à la charpenterie monolithe d'éliminer le ciment armé trop mince. Edmond Coignet et Napoléon de Tedesco ont communiqué, les premiers en 1894, un mode de calcul rationnel des ouvrages en béton aggloméré et en ciment armé. Les armatures, en fer, puis en acier, revêtent des formes variées : barres cylindriques lis ses, mais aussi carrées, torsadées, crénelées, crantées, cannelées… On a aussi utilisé‚ des chaînes, des feuillards, des profilés de construction métallique. Les moules (ou "coffrages") seront longtemps en bois, en fonte parfois et aujourd'hui couramment métalliques pour les ouvrages répétitifs, voire en carton (poteaux circulaires). Ils permettent une liberté de forme et un coût par rapport à la pierre qui expliquent le fort développement du béton armé au début du siècle. Le 20° siècle… La circulaire du 20 octobre 1906 pose les premiers fondements techniques du béton armé, admis à figurer parmi les matériaux de construction classiques. De son côté, Charles Rabut, faisant ses premiers travaux théoriques sur le béton armé à l'École des Ponts et Chaussées, l'avait intégré à son programme dès 1897 (c’est le premier cours de béton armé), alors qu'il n'existait encore aucun manuel traitant du sujet. Il fait ainsi découvrir cette technique à de jeunes ingénieurs, dont Eugène Freyssinet, le père du béton précontraint. Son brevet est déposé en 1929. Mais, c'est seulement après la Seconde Guerre mondiale que la précontrainte commence à se développer. On doit aussi à Eugène Freyssinet l'idée de la vibration du béton. Pont du Sautet (Sud de Grenoble). Albert Caquot, 1928 A partir des années 30, Pier Luigi Nervi conçoit des ouvrages en exploitant un procédé constructif de son cru fondé sur l'utilisation du ferro-ciment, reprise perfectionnée du système Monnier. Le principe : des doubles rangées d'arcs se coupent à angle droit (nervures). L'allègement de structure ainsi obtenu permet de développer des portées considérables. Tout comme Freyssinet, Albert Caquot a été sensibilisé au béton armé. Il construisit en 1920 le premier pont en bow-string (arc à tirants) à Aulnoye et lance surtout le premier pont à haubans à Pierrelatte en 1952. Au cours du 20ème siècle les applications vont se multiplier : ouvrages d'art, réservoirs, châteaux d'eau, tribunes, soutènements, planchers industriels,... Aujourd’hui beaucoup de ces ouvrages se dégradent, d’où une réflexion et des recherches sur le matériau et sur la conception des ouvrages (durabilité, résistance au gel, enrobage…) Fin du 20° siècle, la recherche de hautes performan ces La fin des années 80 voit l'arrivée du Béton à Hautes Performances (BHP), d'une résistance à la compression supérieure à 50 MPa. Allié à la précontrainte, ce matériau révolutionne la construction des ouvrages d'art qui deviennent plus fins, plus élancés et plus durables. Au début des années 90, Bouygues, Lafarge et Rhodia explorent le domaine de l'ultra-haute résistance, bien au-delà des 150 MPa. Historique des règles définissant la conception et le calcul des ouvrages : • • • • • • • • • Circulaire du Ministère des Travaux Publics de 1906 (qq pages) Circulaire Ministérielle de 1934 (30 pages) Règles BA 45 (90 pages) Règles BA 60 Circulaire Ministérielle de 1964 Règles CC BA 68 Règles BAEL 80 modifiées en 83 Règles BAEL 91 (145 pages) Eurocode 2 "Règles unifiées communes pour les structures en béton" 1.2. Un exemple d’ouvrage élémentaire Membrure comprimée σbc b h L L/2 Membrure tendue σbt Fig.1.3 Poutre en béton non armé, de section droite rectangulaire b x h, franchissant une portée de L mètres de nu à nu des appuis. La poutre est sollicitée par son seul "poids propre", g, densité de charge uniformément répartie, exprimée en daN, kN ou MN par "mètre linéaire" de poutre. Elle "travaille" en flexion "simple". A mi portée, le moment de flexion est maximum, il a pour intensité : 2 Mmax = g.L /8 Si on admet une distribution plane des contraintes normales agissant sur le béton de la section droite à mi2 portée, les contraintes maximales valent σbc = - σbt = Mmax.v/L = 6.Mmax/(bh ) Si l'intensité de σbt reste inférieure à la résistance à la traction du béton, notée ftj , il n'y a pas risque de rupture. Exercice : Avec cette hypothèse de distribution des contraintes, déterminer la portée maximum L d’une poutre en 3 béton non armé ne supportant que son propre poids (γ = 25 kN/m ). Application numérique : b = 30cm, h = 60cm, ftj = 2MPa, Solution : Charge linéique uniforme g = bhγ 2 Moment fléchissant maximum M = g.L /8 2 2 2 2 Contrainte maximum de traction σbt = 6.M/(bh ) = 6.bhγ. L /(8 bh ) =3.γ. L /(4h) < ftj 1/2 1/2 D’où L < (ftj .4h/(3.γ.) = (2x4x0,6/(4x0,025) = 8m On peut aussi représenter les forces résultantes des compressions et des tractions Nbc et Nbt Fig.1.4 Couple de forces intérieures Leur intensité respective représente le volume des prismes de compression et de traction de la Fig.1.1. Soit Nbc = σbc.(h/2).(b/2) = 2 Nbc = 6.Mmax/(bh ).(h.b/4) Nbc = 3 Mmax/(2h) = Nbt Nbc Z = 2h/3 Nbt ou Mmax = Nbc (2/3).h = Nbt (2/3).h On parle de "couple des forces intérieures", de "bras de levier" Z = (2/3)h et de moment égal au moment de flexion maximum. Si on fait croître le moment de flexion en appliquant à la poutre non armée une charge d’exploitation, notée q, en daN, kN, ou MN par ml, la rupture brutale se produit si on atteint σbt = ftj La rupture se produit dans la zone où règne le moment de flexion maxi. q Fig.1.5 Poutre non armée, chargée Exercice : 1. Déterminer la charge « q » que peut supporter la poutre si b = 30cm, h = 60cm, L=6m, ftj = 2MPa 2. Calculer ensuite les forces résultantes des compressions et des tractions Nbc et Nbt D'où l'idée de disposer, préalablement à la mise en service, une (ou plusieurs) barres d'acier ("armatures") parallèlement à la direction et capable d’équilibrer cet effort. On peut imaginer d’armer ou de « précontraindre » le béton. Fig.1.6. Association d’armature et de béton, mais l’armature est dans un fourreau. Il y a rupture par traction du béton, puis glissement de la barre d'acier à l'intérieur du fourreau et ruine brutale. Fig.1.7. Association d’armature et de béton avec plaques d’appui empêchant le glissement de l’armature et écrous sur tige filetée La barre, initialement passive, devient active à la mise en service. Les deux plaques d'appui interdisent le glissement relatif de l'acier par rapport au béton. Cette solution, mécanique, n'est pas utilisée dans la pratique Fig.1.8. Association d’armature et de béton. L’armature adhère au béton. La barre d'acier, sollicitée en traction, est entourée par une "gaine" de béton. Un phénomène mécanique de frottement entre le béton et l'acier s'oppose au glissement de la barre. Cette solution est la plus économique. On parle du phénomène, naturel, d'adhérence entre le béton et acier. Fig.1.9. Béton précontraint 1. L’écrou est serré à l’aide d’une clé dynamométrique de façon à exercer un effort de traction dans la barre et par conséquent un effort de compression dans le béton. Le béton est dit « précontraint » 2. La poutre est ensuite chargée. Le chargement a pour effet de décomprimer la partie inférieure de la poutre et de comprimer la partie supérieure Ce type de précontrainte est dite par post-tension. Mais dans le domaine du bâtiment la précontrainte par fils adhérents est plus couramment utilisée. Il s’agit de couler du béton autour de câbles initialement tendus par des vérins. Lorsque le béton atteint la résistance voulue, les vérins sont relâchés, et par adhérence les câbles vont précontraindre le béton. Lors de l'étude d'une structure en béton armé, il va donc être nécessaire de connaître l'origine et l'intensité des sollicitations de traction : • • un effort normal de traction, un moment de flexion, un moment de torsion, un effort tranchant, induisent des contraintes de traction dans le béton ; ce sont les plus faciles à exprimer et à quantifier à l'aide des méthodes de la Résistance des Matériaux adaptées au matériau béton armé, mixte et hétérogène. les effets du retrait du béton, de la température (chocs thermiques, gradients de température), des tassements différentiels éventuels des sols de fondations, des chocs, des séismes, des explosions, de la grande hyperstaticité des ouvrages de bâtiment, sont connus mais difficiles à quantifier. On s'en prémunit en respectant des dispositions constructives et en prévoyant des armatures minimales réglementaires. 1.3 Actions, Combinaisons, Etats Limites Les différentes étapes d'un projet de béton armé sont les suivantes: 1. Analyse de la structure, modélisation 2. Détermination des actions ou bilan des charges 3. Descente de charges et combinaisons d'actions 4. Sollicitations (N, V et M) 5. Dimensionnement M 6. Plans de coffrage et plans de ferraillage Ce paragraphe revient sur les points 2 et 4. Fig 1.10 Etapes de l’étude Une structure en béton bien conçue doit atteindre plusieurs objectifs: • • • L'ossature ne doit pas s'effondrer La structure doit être durable La structure ne doit pas se déformer excessivement • • • • • L'ensemble doit rester en équilibre lorsque des charges sont appliquées Le béton et l'acier ne doivent pas se rompre Les éléments ne doivent pas flamber Limitation de l'ouverture de fissure Limitation des flèches Les actions sont les charges appliquées à la structure, on distingue : Actions permanentes G Actions variables Q W S FA Actions accidentelles Poids propre des superstructures et des équipements fixes (cloisons, revêtement de sol) Charge d’exploitation Vent Neige Séismes… NF P 06-004 NF P 06 001 NV 65 N 84 PS 92 Les valeurs numériques de ces actions sont définies réglementairement. Ces valeurs caractéristiques correspondent à des valeurs dont la probabilité d'être effectivement dépassées est fixée à l'avance. Comme ces actions peuvent se cumuler, on parle de combinaison d'actions. On additionne les valeurs pondérées des différentes actions (voir Annexe D du BAEL) La conception des ouvrages en béton se fait selon la théorie des Etats Limites. On distingue: Les Etats Limites de Service où E.L.S Ce sont les conditions qu'il faut respecter pour que l'exploitation normale et la durabilité de la construction soient assurées. Les états limites de service présentent deux domaines: 1. Un domaine qui nécessite des calculs : par exemple, vérifier que des contraintes ou des déformations sont admissibles 2. Un domaine qui ne nécessite aucun calcul : c'est l'ensemble des dispositions constructives qui doivent être assurées. • • • • • • Les Etats Limites Ultimes ou E.L.U. Ils font référence aux conditions de rupture. Il s'agit de s'assurer que le risque de ruine est très faible en prenant divers coefficients de sécurité (sur les matériaux) et de pondération (sur les charges). En effet les sources d'erreur sont les suivantes : - Les matériaux peuvent être moins résistants que prévu. - Les charges appliquées peuvent être plus sévères que prévu. - Les méthodes de calcul et les hypothèses peuvent ne pas correspondre exactement à la réalité. Les différents états limites en béton armé (selon BAEL) • ELU d’équilibre statique L'ensemble doit rester en équilibre lorsque des charges sont appliquées • ELU de résistance des matériaux Le béton et l'acier ne doivent pas se rompre • ELU de stabilité de forme Les éléments ne doivent pas flamber Limitation de l'ouverture de fissure • ELS de durabilité Limitation des flèches • ELS de conditions d’exploitation Perte d’équilibre statique EQU Rupture locale STR Instabilité de forme STR Fissuration ELS Déformation ELS Défaillance du sol GEO Fig.1.11 Différents états limites Vibrations ELS et charges dynamiques STR 1.4 Courbes enveloppes Selon que les différentes travées peuvent être chargées ou déchargées par la charge d’exploitation, différents cas de charges doivent être étudiés. Dans le cas d’une poutre sur deux appuis simples prolongée par un porte-à-faux on peut distinguer les 6 cas suivants : 1,5Q 1,5Q 1,35G Cas 1 1,5Q Cas 3 Cas 2 1,35G Cas 4 1,5Q 1,35G Cas 5 1,5Q G 1,5Q Cas 6 G 0,9G G Ce cas est éventuellement déterminant pour l’équilibre statique (risque de basculement). Le coefficient 0,9 est conforme à l’article B.3.2,1 du BAEL. Ce sont les cas de charges 3 et 4 qui sont éventuellement déterminant pour le moment en travée et les cas 1 et 2 pour le moment sur appui. Moments fléchissant des différents cas de charges Courbes enveloppes des moments fléchissant 1.5. Application : Etude d’une poutre Cet exemple sera repris et poursuivi dans les chapitres 4 à 6 qui suivent Données du problème Les charges appliquées sont : 3 - le poids propre du béton armé 25kN/m 2 - le revêtement de sol et les cloisons 1,2 kN/m 2 - la charge d’exploitation 1,5 kN/m La combinaison d’état limite ultime est 1,35G + 1,5Q Poutre sur deux appuis : la liaison poteau poutre est une articulation ou un appui simple (aucun moment transmis) Modélisation G Bilan des charges G, Q Q Pu = 1,35G+1,5Q poids propre de la dalle Poids propre retombée de poutre Revêtement de sol et cloisons Total Charge d’exploitation 0,18x2x25 0,20x0,32x25 1,2x2 G = 13 kN/m Q = 2x1,5 = 3 kN/m 1,35G + 1,5Q = 1,35x13 + 1,5x3 = 22,1 kN/m = 0,0221 MN/m Vu (x) = 0,0221.X -0,0663 [MN] Sollicitations Vu M u 2 Mu (x) = - 0,0221.X /2 + 0,0663.X [MN.m] Principe de ferraillage longitudinal 1.6 Application : Courbes enveloppes 2,50 Dalle épaisseur 15cm Poutre de section 20x50cm 2,00 5,00 Les seules charges à considérer sont : G : poids propre du béton armé 2 Q = 4 kN/m 1. Vérifier que l’équilibre statique de l’ouvrage est assuré pour la combinaison de charge suivante : G+1,5Q sur la partie en porte-à-faux de 2m et 0,9G sur la travée de 5m. 2. Déterminer les courbes enveloppes des moments fléchissant pour chacune des deux poutres cidessus en considérant que la charge d’exploitation Q peut se trouver indépendamment sur la travée de 5m ou sur la partie en porte-à-faux de 2m. 1,25 Solution : Chaque poutre supporte : G = poids propre de la dalle et de la poutre elle-même 2 G =( 0,15x1,25 + 0,2x0,5)x25 = 7,19 kN/m 2 Q = 1,25x4 = 6 kN/m Rb 1. Equilibre statique Ra Il suffit de vérifier que Ra et bien dirigé vers le haut. Somme des moments par rapport à l’appui ‘b’ égale à 0. 0,9.G x5x2,5 - 5xRa - (G+1,5.Q)x2x1 = 0 Soit Ra = 9,7 kN dirigé vers le haut. L’équilibre statique est assuré. 2. Courbes enveloppes Les 5 cas de charges à étudier sont ceux du § 1.4. 48,8 Moments en m.kN 37,4 1.7 Propositions de T.D A partir de ces quelques structures simples, donner : - la modélisation - le bilan des actions - les combinaisons ELS, ELU - les sollicitations M et V à l'ELU (éventuellement à l'ELS) 1 2 4 3 6 5 7 8 10 9 11 12 13 14 15 16 17 18 20 19 Annexe 1: Quelques personnages historiques... D’après http://fr.structurae.de Louis Vicat 1786- 1861 Charles Rabut 1852- 1925 Joseph Louis Lambot 1814-1887 Joseph Monier 1823-1906 Eugène Freyssinet 1879- 1962 Albert Caquot 1881-1976 François Hennebique 1842-1921 Pier Luigi Nervi 1891-1979 Louis Vicat 1856 Publication du livre "Traité pratique et théorique de la composition des mortiers, ciments et gangues à pouzzolanes et de leur emploi dans toutes sortes de travaux, suivi des moyens d'en apprécier la durée dans les constructions à la mer". Joseph Louis Lambot 1848 Barque en ciment armé de fer. 1851 Premier brevet pour une association fer- ciment. 1855 La barque est présentée à l'Exposition universelle de Paris avec un grand succès. Joseph Monier 1867 Brevet sur des caisses en ciment armé de fer pour l'horticulture. 1868 Brevet pour des tuyaux et des bassins fixes en ciment armé. 1869 Brevet pour des panneaux en ciment armé servant à la clôture des maisons. 3 1872 Construction d'un réservoir en ciment armé de 130 m à Bougival. 1873 Brevet pour la construction des ponts et des passerelles en ciment armé. 1875 Premier pont en ciment armé au château de Chazelet près de Saint-Benoît-du-Sault dans l'Indre: 13,80 m de portée et 4,25 m de largeur. 1878 Brevet sur des poutres en béton armées de fer. François Hennebique 1886 Suggère que les forces de tensions soient prise seulement par les armatures dans le béton 1894 Premier pont en béton armé à Wiggen (Suisse) 1896 Publie le journal "Béton armé" Eugène Freyssinet 1910 Pont de Veurdre sur l’Allier 1933 - 1935 Rénovation du port du Havre; première utilisation du béton précontraint 1941 - 1945 Plusieurs pont en béton précontraint en France Annexe 2. Autres matériaux composites… Un des problèmes constructif majeur est d’utiliser des matériaux locaux, largement disponibles, bon marché et performants mécaniquement. Mais la plupart des éléments de structure doivent résister à des contraintes de compression et de traction. Hélas la terre, la pierre, le béton résistent bien à la compression mais mal à la traction. Depuis des siècles on cherche à « marier » le mieux possible ces matériaux à d’autres qui eux, résistent bien à la traction. Tels l’acier, les fibres végétales ou synthétiques… Les solutions techniques peuvent être classées en deux grandes familles que l’on pourrait appeler « matériaux composites » et « système constructifs » Matériaux composites Béton armé par des armatures Métalliques en barre (acier lisse, à haute adhérence, acier inox…) Métalliques en fibre Synthétiques en fibres (polymère…) Synthétique en barre (fibre de verre) Fibre de carbone (plaque ou tissu) Fibres végétales (bambou, chanvre…) Béton précontraint Par fils adhérents : poutrelles, poutres, prédalles, dalles alvéolaires Par post contrainte (interne, externe) : poutres, voussoirs… Adabe, pisé, géobéton armé de : Fibres végétales (bambou, chanvre…) Acier Terre armé (renforcement de sol) Lanière métallique en acier galvanisé Lanière polyester Géosynthétique Systèmes constructifs Maçonnerie chaînée Chaînages verticaux et horizontaux par de l’acier, du bambou… Chaînages dans les joints Plancher à bac acier collaborant Plancher mixte bois- béton (avec connecteurs acier) Poutres mixte acier- béton (avec connecteurs acier) 2. Les Matériaux du Béton Armé 2.1 Le Béton (A.2.1) Le béton est un mélange de ciment, de granulats, d’eau et éventuellement d’adjuvants défini par des normes (y compris pour l’eau…). Ciments La production annuelle est en France d’environ 20 millions de tonnes (www.infociments.fr) On distingue différents types de ciment et différentes classes de résistance. Classes CEM I CEM II CEM III CEM IV CEM V Définition Ciment Portland Ciment Portland composé (au laitier, fumée de silice, pouzzolane, cendres volantes, schistes calcinés, calcaire) Ciment de haut fourneau Ciment pouzzolanique Ciment composé (laitier, cendres) Résistance minimale Classe 32,5 Classe 42,5 Classe 52,5 Normal (N) A 2 jours A 28 jours / 32,5 ≥ 10 42,5 ≥ 20 52,5 Rapide (R) A 2 jours A 28 jours ≥ 10 32,5 ≥ 20 42,5 ≥ 30 52,5 Bétons Un béton est défini par un certain nombre de critères et sera caractérisé par des performances dont la résistance n’est qu’un des aspects. La norme EN 206-1 s’applique à tous les bétons de structure, y compris ceux réalisés sur chantier, contrairement à la norme NF-P-18.305 qui ne s’appliquait qu’aux bétons prêts à l’emploi. Les Béton prêts à l’emploi (B.P.E) sont fabriqués industriellement avec les avantages que cela comporte (matériaux stockés correctement, dosages précis (l'ajout d'eau dépend de la teneur en eau des granulats), contrôles systématiques des composants, régularité des caractéristiques du produit…) On voit sur la marché, au travers du réseau des usines de Béton Prêt à l'Emploi, des bétons de résistance très élevée, regroupés sous le terme de Bétons à Hautes Performances. En fait ils recouvrent une vaste gamme de bétons; une classification est proposée en fonction de leur résistance, mais ne pas perdre de vue que le mot "performance" englobe des caractéristiques diverses : • • • • • • • densité porosité perméabilité ou résistance à la pénétration de l'eau résistance aux agents agressifs extérieurs (chimiques notamment) résistance aux cycles gel- dégel et au sels de déverglaçage résistance à l'abrasion tenue au feu • • • • • • • déformabilité retrait, fluage maniabilité développement accéléré de la résistance hydratation retardée teneur en air (air entraîné et occlus) résistance à la compression (qui n’est que l'une d'entre elles). Il existe au sens de la norme, trois types de béton : - Les BCP- Bétons à Composition Prescrite - Les BPS- Bétons à Propriétés Spécifiés - Les BCPN- Béton à Composition Prescrite dans une Norme Pour les BCP Bétons à Composition Prescrite, la composition et les constituants à utiliser sont spécifiés au producteur par le client prescripteur. Le fournisseur n’est responsable que du respect de la formulation donnée par l’utilisateur. Ils ne doivent donc être commandés que par des prescripteurs réellement compétents dans la formulation des bétons. Pour les BPS Bétons à Propriétés Spécifiés, les spécifications sont les suivantes : o Exigence de conformité à la norme EN 206-1 o Classe de résistance o Classe d’exposition o Dimension maximum des granulats o Classe de consistance o Classe de teneur en chlorures o Exigences complémentaires (Prise retardée, résistance à l’abrasion, au gel dégel, aspect…) Exemple : Béton à propriétés spécifiées 25MPa sur éprouvette 16-32 Dimension maxi du granulat en mm BPS - NF EN206-1 C25/30 XC1(F) Norme de référence Classe d’exposition (France) Sec ou humide en permanence (intérieur des bâtiments ou immersion permanente dans l’eau) Classe de consistance (ou d’affaissement au cône) S3 : béton plastique (100 à 150mm) Dmax16 S3 CL0,40 Classe de chlorure 0-40 : béton contenant des armatures en acier ou des pièces métalliques noyées Critères de spécification des BPS Classes de résistance Classes d’exposition Classes de consistance Classes de teneur en chlores Notée par exemple C25/30 , (C comme Concrete), 25 représente la résistance en compression en MPa à 28 jours sur cylindre 16/32 et 30 celle sur cube 15/15/15. Il existe de nombreuses classes allant de C8/10 à C100/115. Les plus courantes étant C20/25 et C25/30 Xo = Absence de risque de corrosion ou d’attaques Xc = Corrosion par carbonatation XD = Risque de corrosion par chlorures autres que sel de mer (Sels de déverglaçage, piscines …) Xs = Corrosion par chlorures provenant de la mer XA = Attaques chimiques XF = Attaques gel dégel S1 : De 10 à 40 mm (± 10 mm) S2 : De 50 à 90 mm (± 20 mm) S3 : De 100 à 150 mm (± 30 mm) S4 : De 160 à 210 mm ( ± 30 mm) S5 : > 220 mm ( ± 30 mm) CL0,20 = Pour le béton précontraint (un peu trop permissive), CL0,40 = Pour le béton armé courant, CL0,65 = Pour le béton avec ciment CEM III, CL1,00 = Pour le béton non armé. Où 0,20 correspond au % de chlorures autorisés par rapport au poids de ciment Caractéristiques mécaniques. Le béton est caractérisé par une bonne résistance à la compression fcj et une résistance médiocre en traction ftj. Un module d'Young qui prend deux valeurs selon que l'on considère des déformations instantanées Eij ou des déformations à long terme, déformations différées, Evj. Essais de laboratoire Expérimentalement la résistance à la compression se mesure le plus souvent sur des éprouvettes cylindriques de diamètre 16cm et de hauteur 32cm. La résistance à la traction s’obtient soit par essai de traction par fendage (dit essai Brésilien) soit par un essai de flexion sur éprouvette prismatique. Fig.2.1 Essais de compression et de traction sur éprouvettes 16x32 Résistance à la compression (A.2.1,1) Dans les cas courants, un béton est défini par une valeur de sa résistance à la compression, à l'âge de 28 jours, dite "valeur caractéristique requise". Cette résistance se mesure par des essais de 2 compression simple sur éprouvettes cylindriques de section 200 cm et de hauteur double de leur diamètre (les éprouvettes sont dites "16-32"). Elle est notée fc28 et s'exprime en MPa et correspond dans la norme à la valeur de la résistance au dessous de laquelle peuvent se situer au plus 5% de la population de tous les résultats des essais sur éprouvette 16x32. Cette résistance caractéristique est donc bien inférieure à la valeur moyenne des résultats d’essai. Cette résistance varie en fonction de l'âge du béton et le règlement donne des lois d'évolution de fcj (résistance en compression à j jours) en fonction de l'âge "j" en jours. fcj résistance en compression fc28 Fig.2.1.b Evolution de la résistance en compression d’un béton en fonction de son âge Age (jours) 28 Pour des bétons non traités thermiquement, on admet (BAEL): J ≤ 28 J = 28 28 < J < 60 J > 60 fc28 ≤ 40 MPa fc28 > 40 MPa fc28 ≤ 40 MPa fcj = j.fc28/(4,76+0,83j) fcj = j.fc28/(1,40+0,95j) fcj = fc28 fcj = j.fc28/(4,76+0,83j) fcj = 1,1.fc28 pour les calcul de résistance pour les calculs de déformation pour les calculs de déformation Résistance à la traction du béton (A.2.1,12) La résistance à la traction du béton à j jours, notée ftj et exprimées en MPa est définie conventionnellement par la relation ftj = 0,6 + 0,06. fcj si fc28 < 60MPa et ftj = 0,275.fcj2/3 si 60< fc28 < 80MPa Quelques valeurs fc28 [MPa] ft28 [MPa] 20 1,8 25 2,1 30 2,4 40 3 60 4,2 80 5,1 Déformations longitudinales du béton (A.2.1,2) Un essai de compression simple sur éprouvette 16x32 permet d'obtenir le diagramme expérimental "contrainte - déformation" du béton ci-dessous. Réglementairement, on applique des coefficients de sécurité sur la résistance du béton et le diagramme qui sera utilisé pour les calculs à l'ELU (Etats Limites Ultimes) sera le diagramme dit "de calcul" (voir chapitre 4, § 4.1). La résistance de calcul à la traction sera négligée. Le béton est un matériau fragile (par opposition à ductile), il se déforme peu avant rupture. La loi de comportement fait apparaître une zone élastique (quasiment linéaire) et une zone plastique. σbc Diagramme réel fcj Diagramme réglementaire de calcul à l’ELU fbu= 0,85.fcj/(θ.γb) Faible résistance en traction ftj -3 2.10 εbc2 εbc εbc2 = 3,5.10-3 si fcj < 40MPa et εbc2 = (4,5 – 0,025.fcj).10-3 si fcj > 40MPa Fig.2.2 Diagramme expérimental et diagramme de calcul du béton fbu = 0,85.fcj/(θ θ.γγb) est la résistance en compression pour le calcul à l’ELU avec : θ = 1 pour les charges appliquées plus de 24h (0,9 entre 1 et 24h et 0,85 si < 1h) γb = 1,5 à l’ELU normal et 1,15 à l’ELU accidentel. Un élément de béton comprimé admet dès l'application de la charge une déformation instantanée. Mais au cours du temps, cette déformation va continuer à croître du fait du fluage (déformation dans le temps, sous charge constante) et sera même trois fois plus importante que la déformation instantanée. εbc Retour élastique 3 Déformation de fluage Retour de fluage Déformation instantanée 1 Déformation permanente Temps Fig.2.3 Déformations instantanée et différée (due au fluage) Déformations instantanées Déformations différées Sous des contraintes normales d'une durée d'application inférieure à 24 heures, on admet à l'âge de j jours, un module de déformation instantanée du béton de: Les déformations différées du béton comprennent le retrait et le fluage. Le module de déformation différée correspondant à des charges de longue durée d'application (réglementairement plus de 24 heures) est: Eij = 11000.fcj1/3 Evj = 3700.fcj1/3 si fcj < 60MPa Evj = 4400.fcj1/3 si 60< fc28< 80MPa, sans fumée de silice Evj = 6100.fcj1/3 si 60< fc28< 80MPa, avec fumée de silice avec fcj en MPa et pour les bétons à haute résistance, sous réserve que la proportion volumique de granulat soit supérieure à 66%. Quelques valeurs en MPa fc28 Eij 25 32160 30 34180 40 37620 60 43060 80 47400 Evj 10820 11500 12650 17220 18960 Retrait Le raccourcissement unitaire (ε) du au retrait, dans le cas de pièces non massives à l'air libre est estimé à : (ces valeurs tiennent compte d'un pourcentage moyen d'armatures). -4 1,5.10 -4 2.10 -4 3.10 -4 4.10 -4 5.10 Dans les climats très humides Dans les climats humides (France sauf quart Sud Est) Dans les climats tempérés secs (quart Sud Est de la France) En climat chaud et sec En climat très sec ou désertique Remarque 1. Pour limiter les effets du retrait dans les dalles de grandes dimensions la phase de bétonnage s’effectue parfois en laissant des lacunes de coulage qui seront coulé plusieurs semaines plus tard, une fois l’essentiel du retrait effectué. Remarque 2. Dans les dallages des joints (parfois sciés) sont réalisés pour que les fissures de retrait se trouvent localisés en fond de joint, et donc invisibles. 2.2 L'Acier (A.2.2) Au cours des premières décennies de l’histoire du béton armé, les armatures étaient constituées de barres d’acier doux, lisses, de section circulaire dont la limite d’élasticité était habituellement comprise entre 215 et 235 MPa. Ce type d’acier n’est pratiquement plus utilisé. On utilise désormais des aciers de limite d’élasticité plus élevée afin de réduire les sections d’armatures. Pour améliorer l’adhérence des armatures au béton on crée à la fabrication des aspérités en saillie ou en creux. Les aspérités en saillie inclinées par rapport à l’axe de la barre sont appelées « verrous ». Les aspérités en creux sont appelées « empreintes ». Ces aciers sont dits à Haute Adhérence (HA) et ont couramment une limite élastique de 500MPa. Production des aciers pour béton La haute limite d’élasticité peut être obtenue par différents moyens : – en jouant sur la composition chimique, en particulier en augmentant la teneur en carbone. Ce type d’acier présente des inconvénients notamment dans les domaines de l’aptitude au façonnage et au soudage. Il est maintenant abandonné en Europe; – par écrouissage, par étirage et ou laminage à froid de barres ou fils d’acier doux ; – par traitement thermique (trempe et autorevenu) de barres ou fils d’acier doux. Les aciers se présentent sous forme de barres de grande longueur (souvent 12 m) ou de fils en couronnes. 17Les cycles de productions utilisés aujourd’hui sont en annexe. Les diamètres commerciaux des barres indépendantes sont (en mm) 6 8 10 12 14 16 20 25 32 40 En barres droites, les longueurs courantes de livraison sont comprises entre 12 et 18 m. Les treillis soudés sont livrés sous forme de panneaux de dimensions 2,40x6,00 pour la plupart. (voir annexe). Pour les barres de diamètre 6, 8, 10 et 12 mm, la livraison est également possible en couronne. Dans ce cas les armatures sont redressées à l'aide d'une machine appelée "redresseuse". Normes et documents de définition Les produits en acier pour béton armé sont essentiellement définis par des normes. Les nuances définies dans ces normes sont désignées par des lettres Fe E, Fe TE (acier tréfilé), TLE (acier à très haute limite élastique) suivies d'un nombre indiquant la valeur spécifiée de limite d'élasticité exprimée en MPa. Exemples : Fe E 235 ou Fe E 500. De plus les barres et fils à haute adhérence, bénéficiant d'une homologation font l'objet d'une fiche d'identification. Caractéristiques mécaniques Les caractéristiques mécaniques servant de base aux calculs des éléments de béton armé sont: La limite élastique garantie notée fe : Fe E 500 pour fe = 500 MPa Suivant les types d'acier, cette limite peut être apparente (acier doux, naturellement durs) ou -3 fixée conventionnellement à 2.10 d'allongement rémanent (fils tréfilés lisses). Le module d’élasticité de l’acier est pris égal à Es = 200.000 MPa Le diagramme contrainte déformation de l'acier. Comme pour le béton, il faut distinguer le diagramme contrainte - déformation réel du diagramme conventionnel de calcul à l'ELU qui sera utilisé pour le dimensionnement des éléments de béton armé. σs σs = Es. εs d’où εs = σs /Es soit pour la limite εL εL = [fe/γs]/Es d’où pour fe = 500MPa εL = [500/1,15]/200000 = 2,17.10-3 Diagramme réel fe fe/γs Diagramme réglementaire de calcul à l’ELU εL εs -3 10.10 A l’ELU normal γs = 1,15 et à l’ELUU accidentel γs = 1 Fig.2.5 Diagramme expérimental contraintes – déformations en traction simple et diagramme conventionnel de calcul. 2.3. Application. Déformation d’un poteau en compression. Un poteau en béton armé de section 30x40 supporte une charge verticale de 0,7 MN. Sa hauteur est de 2,50m. La résistance du béton est prise égale à fc28 = 25 MPa. Quel sera le raccourcissement à long terme de ce poteau (situé à Grenoble et dont le béton a plus de trois mois) ? Fig 2.4 Solution : La résistance du béton à j > 60 est prise, pour le calcul des déformations, égale à fcj = 1,1x 25 = 27,5 MPa Le module d'Young à considérer est le module de déformation différée 1/3 1/3 Evj = 3700.fcj = 3700x27,5 = 11168 MPa On applique la loi de Hooke (sans tenir compte de la présence des aciers) σbc = Evj.εbc avec σbc = 0,7/(0,3x0,4) et εbc = dh/2,50 -3 d'où dh = 1,3.10 m soit 1,3 mm de déformation due à la charge. Pour le retrait, le raccourcissement sera -4 -4 3.10 = dh/2,50 d'où dh = 7,5.10 m = 0,75 mm Le raccourcissement global est donc de 1,3 + 0,75 = 2,05 mm Annexe 1 Tableau des sections des barres indépendantes HA 6 HA 8 HA 10 HA 12 HA 14 HA 16 HA 20 HA 25 HA 32 HA 40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0,28 0,57 0,85 1,13 1,41 1,70 1,98 2,26 2,54 0,50 1,01 1,51 2,01 2,51 3,02 3,52 4,02 4,52 0,79 1,57 2,36 3,14 3,93 4,71 5,50 6,28 7,07 1,13 2,26 3,39 4,52 5,65 6,79 7,92 9,05 10,18 1,54 3,08 4,62 6,16 7,70 9,24 10,78 12,32 13,85 2,01 4,02 6,03 8,04 10,05 12,06 14,07 16,08 18,10 3,14 6,28 9,42 12,57 15,71 18,85 21,99 25,13 28,27 4,91 9,82 14,73 19,63 24,54 29,45 34,36 39,27 44,18 8,04 16,08 24,13 32,17 40,21 48,25 56,30 64,34 72,38 12,57 25,13 37,70 50,27 62,83 75,40 87,96 100,53 113,10 La masse volumique de l’acier est 7800kg/m 3 Annexe 2. Treillis soudés L : Longueur du panneau l : Largeur du panneau D : Diamètre du fil de chaîne d : Diamètre du fil de trame E : Espacement fil de chaîne e : Espacement fil de trame AR : About arrière AV : About avant ad = ag : About de rive (doc. ADETS) Annexe 3 Longueurs développées des cadres, étriers, épingles et U Longueurs développées pour des longueurs hors tout a, b, c, d, e, f en mm HA 6 8 10 12 14 16 20 d= 32 92 40 108 50 135 63 164 80 194 80 216 160 300 L = 2(a+b)+ 113 124 156 187 217 249 307 e= 72 78 85 104 124 136 200 L = 2(a+b)+ 103 102 103 125 151 164 248 f= c= L = 2b + f= c= L=b+ 72 44 191 72 44 175 78 56 214 78 56 195 85 70 243 85 70 218 104 87 299 107 87 269 124 108 367 124 108 327 136 112 388 136 112 350 200 200 648 200 200 565 L = 2a + b 28 37 46 56 68 73 117 d Cadre avec retour à 90° Cadre avec retour à 135° Etrier b a e a b f c b Epingle f c b b U a Les crochets normalisés ont des retours droits de 10Φ pour un angle à 90° et de 5 Φ pour un angle ≥ 135° Longueurs développées des barres avec crochets Longueurs développées L (en mm) pour un retour droit de 5Φ (minimum normalisé) HA Mandrin d=e=f= c 6 63 65 75 8 80 84 96 10 100 105 120 12 125 129 149 14 160 157 188 16 160 168 192 20 200 210 240 25 250 263 300 32 320 336 384 40 400 420 480 d a L=a+ 47 61 76 93 113 122 153 191 244 306 e a L=a+ 74 96 120 147 181 191 239 299 383 478 a L=a+ 101 130 163 201 249 260 326 407 521 651 d a L=a+ 93 122 153 186 225 244 306 382 489 611 e a L=a+ 148 191 239 294 362 383 478 598 765 957 L=a+ 202 260 326 401 499 521 651 814 1042 1302 f c c f a Annexe 4 Façonnage et assemblage des armatures Images Cimbéton Cintreuse 3 galets Dresseuse Cadreuse Façonnage des aciers transversaux Plieuse en cours de façonnage Cintreuse 2 têtes Façonnage des aciers longitudinaux Assemblage et soudage Annexe 5 Armatures de béton armé Images Cimbéton Acier en barres Aciers coupés et façonnés Armatures sur plans façonnées et assemblées Acier en couronnes Acier en treillis soudés Armatures sur catalogue Boîte d’attente (acier à déplier) Manchons (Coupleurs) Cales et distanciers Annexe 6 Fabrication des aciers Ferrailles de récupération Fusion à 1600° (four à coulée continue) Billettes Réchauffage à 1200° (four) Laminage à chaud Demi-produit : Fil machine lisse et en couronnes Demi-produit : Ebauche pour étirage en couronnes Trempe et autorevenu Laminage à froid Etirage à froid Acier pour béton armé FeE500-3 en barres et en couronnes Acier pour béton armé FeE500-2 en couronnes Dressage et coupe (dresseuse) Barres dressées Soudage par résistance (machine à souder) Treillis soudés FeE500-2 ou FeE500-3 Acier pour béton armé FeE500-3 en barres et en couronnes 3. Adhérence Acier- Béton 3.1 Contrainte d’adhérence (A.6) L'adhérence est un phénomène de liaison tangentielle à l'interface acier béton due au frottement et à l'arcboutement des bielles de béton. Les règles à respecter sont relatives à l'Etat Limite Ultime. Supposons une barre scellée dans un massif en béton. Si on exerce un effort d'arrachement suivant l'axe de la barre, on peut avoir trois modes de rupture : τs F σs F F σbt Glissement relatif de l'acier par rapport au béton (extraction de la barre dans une gaine de béton) Rupture par traction de l'acier (scellement parfait) Destruction du béton par arrachement d'un cône de béton Fig.3.1 Essai d’arrachement d’une barre scellée dans un massif en béton Dans le premier cas l'action du béton sur l'acier peut se décomposer en : • Un effort perpendiculaire à la barre. • Une composante tangentielle : la contrainte d'adhérence notée τs. Dans le premier cas, si l'on suppose une répartition uniforme des contraintes tangente τs le long de la barre, l’équation d’équilibre s’écrit : F = τs .π.Φ.L La valeur limite ultime réglementaire de la contrainte d'adhérence est notée τsu et vaut d’après le BAEL 91 A 6.1,21 τsu = 0,6.Ψs2.ftj avec ftj = 0,6+0,06.fcj et ftj et fcj exprimés en MPa Ψs est le coefficient de scellement relatif à l’acier, selon sa nature lisse ou HA Ψs = 1 pour les aciers lisse Ψs = 1,5 pour les aciers HA Exemple: Pour une barre HA dans du béton de fc28 = 25 MPa, calculer ftj = 0,6+0,06x25 = 2,1 MPa τsu = 0,6.1,52.2,1 = 2,84 MPa τsu . 3.2 Longueur de scellement droit τsu (A.6.1,221) τsu F fe Φ Ls Fig.3.2 Ancrage droit et répartition des contraintes La longueur de scellement droit, notée Ls, est la longueur sur laquelle il faut associer l'acier et le béton pour qu'à la sortie de l'ancrage, l'acier puisse travailler en traction à sa limite élastique fe. 2 L'effort de traction dans la barre en traction simple est : F = section x contrainte = [π.Φ /4].fe Les contraintes d'adhérence supposées maximum et constantes le long de la barre ont pour résultante : F = π.Φ.Ls.τsu 2 L’équilibre de la barre se traduit par π.Φ.Ls.τsu = [π.Φ /4].fe Soit Ls = Φ fe / 4ττsu Exemple : Calculer la longueur de scellement droit d'une barre HA de limite élastique fe = 500 MPa dans un béton de résistance fc28 = 25 MPa. Pour une barre HA dans un tel béton τsu = 2,84 MPa d’où Ls = Φ 500 / 4.2,84 = 44Φ Soit pour une barre HA20, un scellement de 88cm Ls = 50Φ est une valeur forfaitaire adoptée généralement pour les aciers HA à défaut de calculs plus précis (A.6.1,221) Longueur de scellement droit dans le cas de PAQUET de BARRES Une barre doit toujours être ancrée individuellement (A 6.1.21) Ls Ls 1,5.Ls Ls Fig.3.3 Disposition d’ancrage droit dans le cas de paquet de 2 ou 3 barres Ls 3.3. Longueur de recouvrement des armatures tendues (A.6.1,223) Dans certains cas, pour assurer la continuité de la transmission des efforts, il faut réaliser une jonction par recouvrement entre deux barres identiques sur une certaine longueur appelée "longueur de recouvrement" et notée "Lr". Effort Si les barres sont espacées d'une distance « c » inférieure à 5 fois leur diamètre, la longueur de recouvrement est égale à la longueur de scellement droit. - Effort repris par l’ensemble des deux barres Effort repris par la barre de droite Effort repris par la barre de gauche Lr longueur de recouvrement Ls longueur de scellement droit Si c < 5Φ Lr = Ls Si c > 5Φ Lr = Ls+c Φ c Lr Fig 3.4 Recouvrement de barres Si les barres sont espacées de plus de 5 fois leur diamètre, la transmission de l'effort d'une barre à l'autre se fait à travers des bielles de béton à 45° situées d ans le plan des deux barres. La longueur de recouvrement est égale à la longueur de scellement droit plus la distance "c" entre les deux barres : Lr = Ls + c Fissures à 45° Bielle de béton comprimé Armatures de « couture » des fissures Analyse des contraintes sur les 3 faces d’un prisme de béton Fig.3.5 « Couture » des fissures dans le cas de barres espacées L'équilibre d’un prisme de béton à 3 faces montre qu'il y a un effort de cisaillement longitudinalement. Que cet effort est à l’origine de traction à 45°, et do nc d’une distribution de bielle de béton comprimé à 45° qu’il faut coudre entre elles par des armatures capables de résister à un effort F (A.6.1,23). Exception : pas de couture dans les poutres si l'on recouvre moins d'un quart des aciers sur la longueur de scellement droit et si la longueur d'ancrage est égale à Ls. Ancrage des treillis soudés à haute adhérence La longueur de l'ancrage rectiligne d’un treillis soudé constitué de fils ou de barres HA s’obtient soit par calcul de la longueur de scellement droit soit en considérant l’"obstacle" des fils transversaux. Chaque soudure peut équilibrer un effort égal au plus au tiers de l'effort maximal de calcul s'exerçant sur un fil porteur et à la moitié pour un fil de répartition. L'ancrage total rectiligne est donc assuré par trois soudures pour un fil porteur et deux soudures pour un fil de répartition Recouvrement des fils porteurs Recouvrement des fils de répartition associés Solution A Solution B Solution C Fig 3.6 Recouvrement des panneaux de treillis soudés 3.4 Ancrage par courbure (A.6.1,25) Si on exerce un effort de traction sur un élément de barre courbe scellé dans le béton, la courbure de la barre donne naissance à un effort de frottement, fonction de la courbure de la barre et du coefficient de frottement acier sur béton, pris égal à 0,4. Cet effet est connu sous le nom "d'effet de courroie". Fig.3.7 Equilibre d'un petit élément Fig.3.8 Ancrage par courbure L1 r x dθ/2 F2 F θ dN dθ/2 dθ δ Φ F1 dT L2 y τ F+dF dθ/2 Θ Φ r L1 L2 F1 F2 τ Angle au centre diamètre de la barre rayon de la fibre moyenne longueur rectiligne effort à l’entrée de la courbure effort à la sortie de la courbure contrainte d’adhérence Si l'on isole un petit élément (voir Fig.3.6 et 3.7), le bilan des actions qu'il subit est le suivant: F+dF F dN et dT π.Φ. r.dθ.τsu un effort axial de traction un effort axial de traction les composantes normale et tangente de l'action de contact du béton sur l'acier, inclinée de δ tel que tg δ = 0,4 = dT/dN l'effet d'adhérence acier – béton, de contrainte τsu et qui s’exerce le long de l'élément sur une aire égale à π.Φ. r.dθ L'équilibre du petit élément donne le système d'équation suivant: Equilibre sur X π.Φ. r.dθ.τsu + 0,4.dN + F.cos dθ/2 – (F+dF).cos dθ/2 = 0 Equilibre sur Y dN – F.sin dθ/2 – (F+dF).sin dθ/2 = 0 dθ étant très petit, les cosinus sont approximés à 1 et les sinus à la valeur de l'angle en radian, d’où π.Φ. r.dθ.τsu + 0,4.dN + F – (F+dF) = 0 dN – F.dθ/2 – (F+dF).dθ/2 = 0 dF.dθ est un infiniment petit du second ordre que l’on néglige devant les autres termes, d’où π.Φ. r.dθ.τsu + 0,4.dN = dF dN – F.dθ = 0 Soit dN = Fdθ π.Φ. r.dθ.τsu + 0,4.Fdθ = dF dF/dθ – 0,4F = π.Φ. r.τsu Equation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre dont les conditions aux limites sont F=F1 à l'entrée de la courbure et F=F2 à la sortie de la courbure. La solution de cette équation est: F2 = F1.e-0,4θ - π.Φ. r.τsu [1- e-0,4 θ]/0,4 F2 F1 Θ r Φ τsu avec effort de traction à la sortie de l’ancrage courbe effort de traction à l’entrée de l’ancrage courbe angle au centre de la zone courbe de l’effort rayon de courbure à l’axe de la barre diamètre de la barre contrainte d’adhérence acier-béton à l’ELU Pour les valeurs courantes de Θ on donne les valeurs suivantes : Θ e-0,4θ (1- e-0,4 θ)/0,4 90° π/2 0,53 1,17 120° 2π/3 0,43 1,42 135° 3 π/4 0,39 1,53 180° π 0,28 1,79 Application: Crochet à 135° D Déterminer la longueur droite CD pour que la barre soit totalement ancrée au point A Θ = 135°, r = 5,5. Φ, Barre HA16, AB = 6cm Fig.3.9 Crochet à 135 C 135° fe = 500 MPa; fc28 = 25 MPa; τsu = 2,84 MPa HA16 Solution : Il y aura ancrage total si en A l'acier travaille en traction à fe. L'effort à reprendre sera donc de 2 2 FA = [π. Φ /4].fe = π.0,016 .500 /4 = 0,100 MN B A L'effort en B sera plus faible du fait de l'adhérence le long de AB FB = FA - π. Φ.LAB. τsu = 0,100 - π. 0,016. 0,06. 2,84 = 0,092 MN L'effort en C est déterminé par l'équation de l'ancrage courbe -0,4θ -0,4 θ FC = FB.e - π.Φ. r.τsu [1- e ]/0,4 = 0,092. 0,39 - π. 0,016. 5,5. 0,016. 2,84. 1,53 = 0,0166 MN La longueur droite CD doit donc permettre d'ancrer cet effort π. Φ. LCD. τsu = π. 0,016. LCD . 2,84 = 0,0166 soit LCD = 0,12 m = 12 cm La longueur développée de l'ancrage courbe est 6 + 5,5. 1,6. 3. π /4 + 12 = 39 cm A comparer à la longueur nécessaire à un scellement droit 44 Φ = 44. 1,6 = 70 cm. Cette économie est due à l'effet de courroie. Rayons de courbure minimaux. (A.6.1,251) Le rayon de courbure des ancrages courbes ne doit pas être inférieur à une valeur minimum pour deux raisons : d’une part ne pas avoir un allongement plastique trop important de la fibre la plus tendue de l'acier et d’autre part limiter la compression sur le béton dans la partie intérieure du crochet (composante dN précédente). Valeurs des diamètres minimaux des mandrins de façonnage HA Cadre, étriers, épingles Ancrages Coudes 4 20 40 5 20 50 6 7 8 30 30 30 70 70 70 Sans objet 9 40 100 10 40 100 150 12 50 100 200 14 70 150 200 16 100 150 250 20 150 200 300 Mandrin de cintrage de diamètre défini dans le tableau ci-dessus) Fig.3.10 Coudes et ancrages Coudes = Façonnage en partie courante d’un élément d’armature permettant la transmission intégrale de l’effort de traction entre les deux parties droites adjacentes 25 32 40 Sans objet 250 300 400 400 500 500 Ancrage : Extrémité d’un élément d’armature comportant un façonnage prolongé d’une partie droite de longueur réglementaire et dans laquelle l’effort de traction décroît progressivement Les angles courants sont 90° (crochet dit à retour d'équerre), 120°,135° et 180°. Il existe ce que l'on appelle le crochet normal qui par définition comporte une partie en demi-cercle suivie d'un retour rectiligne d'une longueur égale à deux fois le diamètre de la barre (voir Fig.3.9). A défaut de calculs plus précis, on peut admettre que l'ancrage d'une barre rectiligne terminée par un crochet normal est assuré lorsque la longueur de la partie ancrée, mesurée hors crochet est au moins égale à : - 0,6.Ls pour une barre lisse de classe Fe E 215 ou 235 - 0,4.Ls pour une barre à haute adhérence de classe Fe E 500 2.Φ R=5,5.Φ 0,4.Ls Fig.3.11 Le crochet normal L’encombrement d’un ancrage à 180° pour une barre H A 20 en Fe E 500 est : 0,4. 50. 2 = 40 cm. L1 Dimensions des barres façonnées. Rayon de courbure à l’axe de la barre : R Longueur développée de l'ancrage (θ en rad) Ld = L1 + R.θ + L2 Longueur d'appui D2 = L2 + R + Φ/2 Fig.3.12 Dimensions des barres façonnées θ R D2 L2 Ancrage des Cadres, Etriers, Epingles (A.6.1,255) On admet que les ancrages des extrémités de barres façonnées en cadres, étriers, épingles sont assurés par courbure suivant le rayon minimal, si les parties courbes sont prolongées par des parties rectilignes au moins égales à: 5. Φ à la suite d'un arc de 180° 10. Φ à la suite d'un arc de 135° 15. Φ à la suite d'un arc de 90 10.Φ 5.Φ 15.Φ 135° Fig.3.13 Ancrage des aciers transversaux 3.5. Cas des constructions en zone sismique PS92 art.11.312 L’emploi de coudes ou crochets dans les pièces comprimées ou les parties comprimées des pièces fléchies est interdit. Toutefois en cas de nécessité (liaison avec une semelle de fondation, voisinage d’une surface libre, etc.), les ancrages d’extrémité peuvent être assurés au moyen de coudes à 90°. PS92, art 11.313 Toutes les longueurs de recouvrement ou d’ancrage sont à majorer de 30% pour la part située hors zone critique et de 50% pour la part située dans la zone critique. Rq : Les zones critiques sont le plus souvent les zones près des appuis (voir détails dans PS92). Fig 3.14 Ancrages en zone sismique 3.6. Problème de mise en oeuvre Ancrage difficile… Enrobage et adhérence très difficile… Images Victor Davidovici 3.7. Applications 1. Ferraillage d'un tirant 0,88 0,88 0,88 Fig 3.15 Tirant Cette section de béton (fc28 = 25MPa) est ferraillée par 10 barres HA20 disposées comme indiqué sur le schéma. Justifier qu’elle est capable de résister à un effort de traction de 2 2 9.[π.Φ /4].fe/ γs = 9xπ.0,02 /4.500/1,15 = 1,23MN Solution : A la traction seul l’acier travaille. A la jonction des barres disposées bout à bout, l’effort transite d’une barre à sa voisine sur une longueur de recouvrement. Les recouvrements sont décalés, pour que dans une section donnée de l’élément il n’y ait qu’un « recouvrement ». Le recouvrement est bien de 44 fois le diamètre de la barre. Il y a donc dans chaque section de l’élément toujours l’équivalent de 9 barres qui travaillent. R=5,5.Φ 2. Chercher la longueur minimum d’encombrement du crochet 180° équivalent à un scellement droit. Barre HA et fc28 = 25MPa. ? Fig 3.16 Ancrage à 180° Solution : Contrainte de scellement droit τsu = 0,6.1,52.(0,6+0,06x25) = 2,84 MPa Efforts au point A, B, C et D : FD = 0 (extrémité libre de la barre) FC = = π.Φ.X.τsu (ancrage droit entre D et C) 2 FA = [π.Φ /4].fe (effort de traction = section x contrainte) FB = FA - π.Φ.X.τsu (ancrage droit entre A et B) Relation entre l’effort à la sortie et l’effort à l’entrée de la courbure: -0,4θ -0,4 θ - π.Φ.r.τsu [1- e ]/0,4 FC = FB.e FC = FB.0,28 - π.Φ. r.τsu .1,79 2 π.Φ.X. τsu = 0,28.([π.Φ /4].fe - π. Φ.X.τsu) - π.Φ. 5,5Φ.τsu .1,79 2 π.Φ.X .2,84 = 0,28.π.Φ .500/4 – 0,28.π.Φ.X.2,84 - π.Φ. 5,5Φ.2,84.1,79 en simplifiant par π.Φ X .2,84 = 0,28.Φ.500/4 – 0,28.X.2,84 - 5,5Φ.2,84.1,79 X (2,84 + 0,28.2,84) = 0,28.Φ.500/4 - 5,5Φ.2,84.1,79 X = 2Φ Encombrement = (6+2).Φ = 8Φ Longueur développée = (2+2+5,5π).Φ = 21Φ < 44Φ X D C B X+6Φ R=5,5.Φ A 3. Scellement d'une barre à la résine On veut sceller une barre HA32 dans un massif en béton tel que fc28 = 25MPa. Pour cela on fore avec une caroteuse un trou de diamètre 40mm et de profondeur 30cm. La barre y est ensuite scellée avec de la résine. Le fournisseur de la résine indique qu’à l’état limite ultime la contrainte d’adhérence entre l’acier à haute adhérence et la résine est de 5MPa et entre la résine et ce béton de 3MPa. 30cm HA32 F 40mm Fig 3.17 Fig.3.18 Photo d’une caroteuse Quels sont les différents modes de rupture possible ? Déterminer la force maximum applicable à la barre. Solution : F1 fe/γs F Rupture par traction de l'acier. L’équilibre de la barre s’écrit : 2 F1 = [π.Φ /4].fe/ γs 2 F1 = [π.0,032 /4].500/1,15 = 0,350 MN Fig 3.19 Rupture de l’acier τs résine béton Glissement relatif de la résine par rapport au béton. Equation d’équilibre F2 = π.Φrésine.L.τsu résine béton F2 = π. 0,040. 0,30. 3 = 0,113 MN F2 Fig 3.20 Glissement béton- résine τs résine acier HA Glissement relatif de l'acier par rapport au béton. Equation d’équilibre F3 = π.Φacier.L.τsu acier résine F3 = π. 0,032. 0,30. 5 = 0,151 MN F3 Fig 3.21 Glissement acier - résine F4 σbt Destruction du béton par arrachement d'un cône de béton. F4 = surface du cône x projection horizontale de σbt D’après le cours la fissure est à 45°. 1/2 2 1/2 F4 = 2 . π. 0,3 . [2,1/1,5].[ 2 /2] =0,396 MN Remarque : Surface d’un cône à 45° de rayon R = 2 Fig 3.22 Rupture du béton 1/2 . π. R 2 4. Appui d’about de poutre Sachant que le poteau fait une largeur de 30cm, et que chaque barre HA20 arrivant sur l’appui doit y ancrer un effort de 100kN, et que le béton est tel que fc28=30MPa, l’ancrage droit est il satisfaisant ? Solution : ftj = 0,6+0,06.fcj = 0,6+0,06. 30 = 2,4 MPa 2 2 τsu = 0,6.Ψs .ftj = 0,6. 1,5 . 2,4 = 3,24 MPa Soit L la longueur nécessaire pour ancrer 0,100MN F = π. Φ. L. τsu 0,100 = π. 0,02. L.. 3,24 L = 0,49m > 0,30-0,03 donc un ancrage courbe est nécessaire 3cm 5. QCM L Fig 3.23 Appui d’about de poutre • La longueur développée d’un ancrage courbe qui assure un ancrage total est comparativement à la longueur de scellement droit: - Supérieur □ Inférieur □ Egale □ • Le diamètre du mandrin de façonnage est supérieur à une valeur minimum pour : - limiter le risque de fissuration de l’acier □ - limiter la déformation plastique de l’acier □ - limiter la compression du béton dans la courbure de la barre □ • L’ordre de grandeur de la longueur de scellement droit d’une barre de diamètre 20mm est : 10cm □ 50cm □ 1m □ 2m □ • La valeur ultime de la contrainte d’adhérence réglementaire dépend de : La nature lisse ou HA de l’acier □ La résistance du béton en traction □ La limite élastique de l’acier □ • Pour assurer la continuité mécanique du ferraillage ci-dessous, on peut ‘recouvrir’ les barres sur un longueur de : L1 < Lscellement droit □ L1 = Lscellement droit □ L1 = 2xLscellement droit □ L1 L2 < Lscellement droit L2 = Lscellement droit L2 = 2.Lscellement droit □ □ □ L2 Fig 3.24 Recouvrement de barres 6. Abou Simbel. Egypte Dans les années 60 le déplacement du temple d’Abou Simbel en haute Egypte nécessita le démontage et remontage d’éléments en grés. Le risque d’endommagement du parement n’a pas permis le soulèvement des blocs avec des sangles (voir fig. Solution A). Il est alors envisagé de forer le grés à un diamètre légèrement supérieur à celui d’une barre de scellement à haute adhérence (acier cranté). Puis de sceller la barre avec de la résine. Des essais sur la résine ont permis de définir les valeurs de contrainte limite d’adhérence à l’état limite ultime suivantes : - entre l’acier à haute adhérence et la résine : 4 MPa - entre le grés et la résine : 2,5 MPa Autres données du problème : 3 - Volume du bloc 6,5 m 3 - Masse volumique du gré 2 tonnes par m - Diamètre de la barre en acier 40mm - Diamètre du trou 50mm - Longueur du scellement 50 cm - Limite élastique de l’acier 400 MPa (valeur courante dans les années 60) Barre HA Fig 3.24 Abou Simbel Egypte Fig 3.25 Déplacement des blocs Résine Bloc de gré 50 cm Solution A Solution B Solution C 1. Expliquer pourquoi la faible résistance du grés en traction ne permet pas de retenir la solution B. La solution C, finalement adoptée, consiste à forer un trou sur pratiquement toute la hauteur du bloc et de ne sceller la barre que sur les 50 premiers cm au fond du trou. 2. Vérifier que l’on peut ainsi effectivement soulever le bloc, en prenant un coefficient de sécurité de 1,5 sur la charge et 1,15 sur la limite élastique de l’acier (les coefficients de sécurité sur l’adhérence étant déjà intégrés dans les valeurs 1,5 et 5 MPa). Solutions : 1. Il peut y avoir arrachement d’un cône de béton (voir figure ci contre)). 2. Vérification Poids du bloc de béton -6 1,5x Poids du bloc = 1,5.6,5.2000.9,81.10 = 0,191 MN Effort maximum de traction dans la barre 2 2 F1 = [π.Φ /4].fe/ γs = [π.0,04 /4].400/1,15 = 0,437 MN Glissement entre résine et béton F2 = π.Φrésine.L.τsu résine béton = π. 0,050. 0,5. 2,5 = 0,196 MN Glissement entre acier et béton F3 = π.Φacier.L.τsu acier béton = π. 0,04. 0,50. 4 = 0,251 MN On vérifie que 0,191 est inférieur à la plus petite des 3 valeurs F1 , F2 et F3 F3 F2 F1 4. Calcul des Aciers Longitudinaux à l’ELU en Flexion Simple 4.1 Hypothèses de calcul (A.4.3,2) Nous nous intéresserons à une poutre de section rectangulaire, sollicitée en flexion simple et à l'ELU. L'ELU est dans notre cas, l'état limite ultime de résistance des matériaux acier et béton. σbc fbu = 0,85.fcj/(θ.γb) 1. Hypothèse de Navier-Bernoulli (les sections droites restent planes pendant la déformation) Diagramme réglementaire 2. Pas de glissement relatif entre acier et béton -3 2.10 3. Résistance du béton en traction négligée σs 4. Diagramme contrainte -déformation du béton (A.4.3,41) La limite de la résistance des matériaux est déterminée à partir d'un critère de ruine minorée par des coefficients de sécurité γs pour l’acier et γb pour le béton. fe/γs -3 3,5.10 εbc Diagramme réglementaire εL fbu= 0,85.fcj/(θ.γb). L'origine de γb vient des dispersions des résistances réelles par rapport à fcj, ainsi que des défauts localisés. θ dépend de la durée d'application des charges. Lorsque celles-ci sont appliquées plus de 24h, θ est égal à 1. εs -3 10.10 As d h 5. Diagramme contrainte -déformation de l'acier La valeur de Es module d'élasticité longitudinale est 200000 MPa. L'origine de γs est la prise en compte du mauvais positionnement des barres dans le coffrage et des dispersions possibles entre les essais de laboratoire et la réalité. As b -3 3,5.10 B 6. Concentration de la section d'acier au centre de gravité 7. Diagrammes des déformations limites de la section (A4.3,3) Les diagrammes possibles résultent des déformations limites fixées pour le béton et l'acier, définis à partir de " 3 pivots": A, B et C. Pivot A : Traction simple puis flexion simple ou composée Pivot B : Flexion simple ou composée Pivot C : Flexion composée avec compression puis compression simple C A -3 10.10 -3 2.10 Diagramme dit "des 3 pivots" Fig 4.1 à 4.4 Hypothèses de calculs -3 Fig. 4.5 Différentes déformations d’une section de poutre selon le diagramme des trois pivots 3,5.10 B C A -3 10.10 -3 2.10 Traction simple Flexion composée avec traction Flexion en pivot A ou B εS = 10.10-3 10.10-3 εbc = 3,5.10-3 10.10-3 Flexion composée avec compression 3,5.10-3 Compression simple 10.10-3 3,5.10-3 εL 10.10-3 < 10.10-3 3,5.10-3 2.10-3 4.2. Essais de poutres. Modes de rupture Cas 1. Surcompression du béton Cas 2. Rupture ou allongement excessif de l'acier Cas 3. Rupture du béton sous sollicitation d'effort tranchant Cas 4. Vérification des appuis Fig.4.6 Modes de rupture d’une poutre sur 2 appuis sollicitée en flexion Si l'on mène des essais jusqu'à rupture de poutres armées sollicitées en flexion simple, on constate trois modes de rupture principaux. Deux sous l'effet du moment fléchissant et un sous l'effet de l’effort tranchant. Cas 1. C'est une rupture par excès de compression du béton sur les fibres supérieures de la poutre. C'est le cas le plus fréquent. Il y a épuisement de la résistance en compression du béton. Cas 2. Il s'agit d'une rupture par épuisement de la résistance de l'acier dans la partie tendue de la poutre, sur les fibres inférieures. Il y a allongement excessif de l'acier, voire rupture complète. ème mode de rupture que l'on rencontre concerne l'effet de l'effort tranchant V. C'est une rupture Cas 3. Le 3 par cisaillement au voisinage d'un appui, avec fissure voisine de 45°. Ce cas sera étudié dans le chapitre 5 (Calcul des aciers transversaux) Cas 4. Dans le chapitre 6 seront abordés les problèmes de l’appui d’about de poutre où l’on peut avoir un ferraillage insuffisant ou insuffisamment ancré et une bielle de béton sur-comprimé L'E.L.U est un état fictif représentatif de ces modes de rupture (critère de ruine) par rapport auxquels on prend une sécurité - au niveau des sollicitations par des coefficients de pondération sur les charges. - au niveau des matériaux par les coefficients partiels de sécurité. Si cette sécurité n'existait pas, à l'E.L.U sous l'effet des charges appliquées, la section serait théoriquement dans un état de rupture. Dans la suite de ce chapitre, nous nous intéresserons au cas de rupture 1 et 2 et nous verrons comment construire les diagrammes "Contraintes - Déformations" correspondants, pour les matériaux acier et béton. Surcompression du béton Fissures verticales dues au moment Fig.4.6b Essai de laboratoire sur une poutre Fissures à 45° dues à l’effort tranchant 4.3 Déformations, état de contraintes Fig.4.7 Géométrie de la section droite Le long de la poutre, à l'abscisse "x", au centre de gravité d'une "coupure" plane, perpendiculaire à l'axe longitudinal de la poutre, on a évalué à partir d'une combinaison des actions (1,35.G +1,5.Q le plus souvent), un moment fléchissant ultime d'intensité Mu (exprimé en m.MN). b h d est la largeur de la section droite est la hauteur de coffrage de la poutre est la hauteur utile de la section droite (du CdG des aciers tendus à la fibre de béton la plus comprimé) est l’aire totale d’acier du groupe de plusieurs barres As a. Si le moment fléchissant Mu a une intensité "faible". Pivot A εbc y = α.d σbc Mu εs Fig.4.8 σs Déformée et contraintes d'une section droite La membrure comprimée de la poutre va subir des raccourcissements relatifs, les fibres supérieures du -3 béton, les plus sollicitées, vont subir un raccourcissement relatif εbc valant au plus 3,5.10 . La hauteur de béton comprimé vaut y = α.d La membrure tendue de la poutre va subir des allongements relatifs. La résistance du béton à la traction étant négligée, on l'arme avec des aciers longitudinaux, de section globale As, qui vont donc subir un -3 allongement relatif limité à la valeur 10.10 . -3 Si le béton est faiblement sollicité, il supporte des raccourcissements relatifs εbc faibles et inférieurs à 2.10 . Le coefficient α est donc aussi "faible". Pour déduire l'état de contrainte de la membrure comprimée du béton, il faut établir la relation déformation -contrainte. (voir "diagramme de calcul du béton"). - Au niveau de l'axe neutre, pas de déformation donc les contraintes normales sont nulles. - Puis les raccourcissements croissent linéairement, il leur correspond donc une variation parabolique des -3 contraintes σbc tant que εbc est inférieur à 2.10 . Dans la membrure tendue, on souhaite disposer une section d’acier As minimale, il faut donc que l’acier travaille au mieux de ses possibilités. On admet qu’il subit un allongement relatif de 10.10-3 et que sa contrainte de traction vaut σs = fe/γs Si l’on fait croître l’intensité de Mu, la hauteur de béton comprimé croît, le raccourcissement relatif du béton croît, le diagramme des contraintes de compression du béton devient "parabole -rectangle". La contrainte maximum plafonne à la valeur fbu. b. Cas particulier : La droite des déformations passe par les pivots A et B εbc = 3,5.10-3 σbc = fbu y = 0,259.d Fig 4.9 Déformations et contraintes d’une section droite Mu εs= 10.10-3 σs = fe/γs Dans ce cas la membrure comprimée a une hauteur "y" telle que : ε bc ε bc ε s + ε bc 3,5.10 −3 .d = soit y = d = 0,259d = α.d = ε bc + ε s y d 3,5.10 −3 + 10.10 −3 D’où la valeur particulière α = 0,259 c. Si l'on fait croître de nouveau l'intensité de Mu. Pivot B εbc = 3,5.10-3 σbc = fbu y > 0,259.d Fig 4.10 Déformations et contraintes Mu εs < 10.10-3 σs = fe/γs La hauteur de la membrure comprimée continue à croître. L'allongement relatif de l'acier supérieur à εL (voir diagramme de calcul des aciers) entraîne une contrainte de traction dans l'acier toujours égale à fe/ γs. d. Cas particulier et limite supérieure de l’intensité du moment. εbc = 3,5.10-3 σbc = fbu Fig 4.11 Déformations et contraintes y = αL.d Mu εs = εL σs = fe/γs Dans ce cas la membrure comprimée a une hauteur y = α L .d = fe / γ s 3,5.10 −3 d avec ε = L Es 3,5.10 −3 + ε L Dans le cas particulier où fe = 500MPa on obtient εL = 3,5.10 −3 500 / 1,15 = 2,17.10 −3 et α L = = 0,616 200000 3,5.10 −3 + 2,17.10 −3 Vouloir augmenter encore l'intensité du moment ultime Mu conduirait à une aberration économique: En effet si εs < εL la contrainte de traction des aciers va valoir σs = Es.εεs < fe/γγs, (on est alors sur la "droite de Hooke") et cela conduira à une section d'acier énorme que l'on ne pourra, raisonnablement disposer dans la poutre (Voir Fig.4.17). σs Fig 4.12 Rappel du diagramme "Contraintes f /γ e s -Déformations" de l'acier εs εL σs = Es. εs d’où εs = σs /Es soit pour la limite εL εL = [fe/γs]/Es d’où pour fe = 500MPa εL = [500/1,15]/200000 = 2,17.10-3 -3 10.10 4.4 Méthode de calcul simplifiée, diagramme rectangulaire des contraintes On admet, pour justifier la section d'acier As nécessaire pour équilibrer un moment ultime Mu, de remplacer les diagrammes "réels" (fraction de parabole ou parabole -rectangle) par un diagramme "rectangulaire" de hauteur 0,8.y = 0,8.α.d et d'intensité fbu. εbc ≤ 3,5.10-3 fbu 0,4.α.d 0,8.α.d y = α.d z Nbc d Mu εL ≤ εs ≤ 10.10-3 Ns σs = fe/γs Fig 4.13 Déformations, contraintes, résultantes Le vecteur effort normal résultant des compressions Nbc = 0,8.α.d.b.fbu passe donc par le centre de gravité du volume des contraintes, soit à la distance 0,4.α α.d des fibres supérieures du béton. Le vecteur effort normal résultant des tractions Ns = As.fe/γγs passe lui par le centre de gravité du groupe des barres disposées dans la membrure tendue. Le moment ultime Mu appliqué à la section équivaut donc au couple (Nbc, Ns) présentant un bras de levier z = (1-0,4.α α).d L’équation de moment par rapport aux aciers tendus permet d’écrire : Nbc.z = Mu (0,8.α.d.b.fbu).(d – 0,4. α.d) = Mu 2 0,8. α.(1 - 0,4. α) = Mu/(b.d .fbu) 0,8. α - 0,32. α - µ = 0 en posant µ = Mu/(b.d .fbu) moment réduit 2 0,32. α - 0,8. α + µ = 0 2 0,4.α - α + µ/0,8 = 0 équation du second degré en α ∆ = 1 – 4x0,4. µ/0,8 = 1 – 2. µ 1/2 La racine (<1,25) est α = (1 - ∆ )/0,8 soit 2 2 α = 1,25.[1 – (1-2 µ)1/2] L’équation de moment par rapport à la fibre supérieure Nst.z = Mu As.fe/γs.z = Mu en effet si α ≤ αL alors σs = fe/γs d’où la valeur de As avec z = (1-0,4α).d As = Mu/[(1-0,4α)d. fe/γs] Dans la pratique du calcul, on limite la valeur de α en deçà de la valeur α limite, pour des raisons d'utilisation optimale des caractéristiques mécaniques de l'acier. Rappel : Si fe = 500MPa alors α limite= 0,616 et L = 0,371 0 0 0,259 αlimite 0,186 limite 1 α 0,48 Pivot A Pivot B Pivot B Acier bien utilisé. Béton moins bien utilisé (sauf pour les dalles) Acier et béton bien utilisé. Zone prioritaire de dimensionnement des poutres Acier travaillant en deçà de ses capacités. Béton trop sollicité. 4.5 Condition de Non- Fragilité (A.4.2,1) "Par définition est considérée comme non fragile, une section tendue ou fléchie telle que la sollicitation provoquant la fissuration du béton dans le plan de la section considérée entraîne dans les aciers une contrainte au plus égale à leur limite d'élasticité garantie". "pour évaluer la sollicitation de fissuration, les calculs sont conduits dans l'hypothèse d'un diagramme des contraintes linéaire sur toute la hauteur de la section supposée non armée et non fissurée, en prenant sur la fibre la plus tendue une contrainte égale à ftj ‘’ Dans le cas d'une section rectangulaire sollicitée en flexion simple, le calcul est le suivant : Valeur du moment qui crée la première fissure 2 2 ftj = Mfiss/[bh /6] soit Mfiss=[bh /6].ftj Mfiss ftj Fig.4.14 Diagramme linéaire des contraintes Armons maintenant la section avec des aciers longitudinaux capables d'équilibrer le moment Mfiss tout en travaillant à une contrainte de traction égale à fe. Admettons une hauteur utile d = 0,9.h et un "bras de levier" z = 0,9.d. D’où z ≈ 0,81h 2 As = Mfiss/[z.fe] = [bh /6].ftj / [0,81hfe] = bh.ftj / [6x0,81fe] = b[d/0,9].ftj / [6x0,81fe] = 0,23bdftj/fe As > As min = 0,23bdftj/fe Quelle que soit la sollicitations, la section d’armatures longitudinales dans un poutre de section rectangulaire ne sera pas inférieure à cette valeur. 4.6. Organigrammes Poutres en flexion simple à l’ELU On donne ci-après deux organigrammes. Le premier permet le dimensionnement des aciers connaissant le moment ultime de la poutre en flexion simple. Le second permet de calculer le moment résistant d'une section, connaissant la section d'acier mise en place. Vérification des cotes de coffrage d’une poutre et Calcul des aciers longitudinaux d’une poutre en flexion simple à l’ELU Géométrie : b[m] h[m] d[m] Matériaux fc28 [MPa] fe [MPa] γb γs Moment ultime Mu [m.MN] fbu = 0,85.fc28/ θ.γb µ = Mu/bd2fbu α = 1,25.[1 – (1-2 µ)1/2] < αL Z = [1-0,4α].d As = Mu/[z.fe/ γs] Condition de non fragilité As > As min = 0,23bdftj/fe Pour les poutres de hauteur courante d = 0,9h. Pour les dalles d = h – 4 cm γb = 1,5 et γs = 1,15 à l’ELU normal Θ = 1 pour les charges habituelles γb = 1,5 à l’ELU normal αL = 0,616 et L = 0,371 si fe = 500 MPa Si cette condition n’est pas vérifiée, il faut généralement redimensionner la poutre en augmentant h. En prévision de l’ELS, si la fissuration est préjudiciable, on peut se limiter à αL = 0,46 et L = 0,30 Si cette condition n’est pas vérifiée, prendre As min Calcul du moment résistant d’une poutre en flexion simple à l’ELU Géométrie : b[m] h[m] d[m] Matériaux fc28 [MPa] fe [MPa] γb γs Section acier As [m2] fbu = 0,85.fc28/ θ.γb α = [As fe/γs] / [0,8bd fbu] < αL Z = [1-0,4α].d Mru = z.As fe/ γs Prendre dréel γb = 1,5 et γs = 1,15 à l’ELU normal Θ = 1 pour les charges habituelles γb = 1,5 à l’ELU normal Ns = Nbc soit As fe/γs = 0,8αbd fbu d’où α αL = 0,616 si fe = 500 MPa Si cette condition n’est pas vérifiée, cette méthode de calcul ne s’applique pas car σs < fe/ γs Programme pour Casio =ELU= ‘’ B = [m] ‘’ ? → B : ‘’ D = [m] ‘’ ? → D : ‘’ FBU = [Mpa]” ? → F : ‘’ MU = [m.MN]’’ ? → M : M B D2 F→N: ‘’ALPHA ‘’ :1.25x (1- (1-2N)) → A ‘’AS [cm2]’’ :M (1-0.4xA) D 500x1.15x10000 =ELS= ‘’ B = [m] ‘’ ? → B : ‘’ D = [m] ‘’ ? → D : ‘’ AS = [cm2]” ? → A : ‘’ MSER = [m.MN]’’ ? → M : A x10^-4 → A : ‘’ Y= [m] ‘’ : (-15xA+ (225xA2+30xAxBxD)) B→ Y ‘’ I= [m^4] ‘’: BxY^3 3+ 15xAx(D-Y)2 → I ‘’SIGMA BETON [MPa]’’ :MxY I ‘’SIGMA ACIER [MPa]’’ :15xMx(D-Y) I+ Programme pour Texas Instrument =ELU= =ELS= Disp ‘’ B = [m] ‘’ Input B Disp ‘’ D = [m] ‘’ Input D Disp ‘’ FBU = [Mpa]” Input F Disp ‘’ Mu = [M.MN] ‘’ Input M Clear Home M/B/D^2/F→N 1.25x (1- (1-2N)) → A Disp ‘’Alpha’’ Disp A M/(1-0,4xA)/D/500x1,15x10000→ X Disp “AS [cm2]’’ Disp X Disp ‘’ B = [m] ‘’ Input B Disp ‘’ D = [m] ‘’ Input D Disp “AS [cm2]’’ Disp A Input A Ax10^-4→ A Disp ‘’ Mser = [m.MN] ‘’ Input M Clear Home (-15xA+ (225xA^2+30xAxBxD))/B→ Y Disp ‘’Y [m]’’ Disp Y BxY^3/ 3+ 15xAx(D-Y)2 → I Disp ‘’Y [m^4]’’ Disp I Pause MxY/I→X Disp ‘’SIGMA BETON [MPa]’’ Disp X 15xMx(D-Y)/I →Z Disp ‘’SIGMA ACIER [MPa]’’ Disp Z 4.7 Application 1 : Suite de la poutre étudiée au chapitre 1 Largeur de poutre Hauteur de poutre Hauteur utile Matériaux : béton Acier Moment ultime b = 0,20m h = 0,50m d = 0,9h = 0,45m fc28 = 25 MPa γb = 1,5 à l’ELU normal fe = 500 MPa γs = 1,15 2 Mu = 0,0221x6 /8 = 0,0995 m.MN Contrainte de calcul du béton Moment réduit Position de l’axe neutre Bras de levier fbu = 0,85.fc28/ θ.γb = 0,85x25/(1x1,5) = 14,17 MPa 2 2 µ = Mu/bd fbu = 0,0995/(0,20x0,45 x14,17) = 0,173 1/2 α = 1,25.[1 – (1-2 µ) ] = 0,239< αL = 0,616 z = [1-0,4α].d = (1-0,4x0,239) .0,45 = 0,407m Section d’armature As = Mu/[z.fe/ γs] = 0,0995/(0,407x500/1,15) m As = 5,62 cm 2 2 2 Condition de non fragilité As min = 0,23bdftj/fe = 0,23x0,20x0,45x2,1/500 m 2 As min = 0,87 cm Choix d’un ferraillage : La poutre fait 20cm de largeur, on peut prendre 2 barres par lit. Soit 4 HA14 sur 2 lits. Application 2 : Poutre Dans un bâtiment à usage industriel la structure est faite de poteaux en béton armé coulés en oeuvre, de poutres béton armé préfabriquées au sol, levées et clavetées en tête des poteaux. Les poutres ont une portée de 12,00 m, elles supportent en leur milieu une ferme triangulée en bois massif par l'intermédiaire d'un sabot mécano -soudé "spité" sur le flanc de la poutre. Pour chaque ferme le charpentier bois annonce les réactions d’appui suivantes : G = charge permanente = 60 kN S = charge de neige = 50 kN. Combinaison de charges à étudier à l’ELU : 1,35G+1,5S Le béton utilisé est tel que fc28 = 25MPa Les aciers sont à haute adhérence fe = 500MPa La poutre est de section 25cmx85cm La note de calcul des aciers longitudinaux sera rédigée selon le plan type suivant : a. Modélisation b. Bilan des charges c. Sollicitations d. Acier longitudinaux Solution a. Modélisation On suppose que chaque travée de poutre de portée 12m est indépendante de la travée suivante (non continuité de poutres) et qu’elle repose simplement sur ses appuis. b. Bilan des charges Les seules charges qui font fléchir la poutre sont représentées sur le schéma ci-contre c. Calcul du moment Les charges sont pondérées par 1,35 et 1,5. Les moments sont calculés en appliquant le principe de superposition. Poids propre de la poutre 0,25.0,85.1,00.25 = 5,3 kN/m charge uniformément répartie charge ponctuelle à mi travée G = 60 kN S = 50 kN 2 Mu max du au pp de la poutre Mu max du aux charges ponctuelles Mu max total 1,35x5,3x12 /8 = 129 m.kN (1,35x60+1,5x50)12/4 = 468 m.kN 129+468 = 597 m.kN d. Calcul des aciers Largeur de poutre Hauteur de poutre Hauteur utile Matériaux : béton Acier Moment ultime b = 0,25m h = 0,85m d = 0,9h = 0,765m Cette valeur est à ce stade prise approximativement et sera vérifiée. fc28 = 25 MPa γb = 1,5 à l’ELU normal fe = 500 MPa γs = 1,15 Mu = 0,597 m.MN Contrainte de calcul du béton Moment réduit Position de l’axe neutre Bras de levier fbu = 0,85.fc28/ θ.γb = 0,85x25/(1x1,5) = 14,17 MPa 2 2 µ = Mu/bd fbu = 0,597/(0,25x0,765 x14,17) = 0,288 1/2 α = 1,25.[1 – (1-2 µ) ] = 0,436< αL = 0,616 z = [1-0,4α].d = (1-0,4x0,436) .0,765 = 0,632m Section d’armature As = Mu/[z.fe/ γs] = 0,597/(0,638x500/1,15) m As = 21,8 cm Condition de non fragilité 2 2 As min = 0,23bdftj/fe = 0,23x0,25x0,765x2,1/500 m 2 As min = 1,86 cm 2 2 As = 21,5 cm > = 1,86 cm 2 Choix d’un ferraillage : La poutre fait 25cm de largeur, on peut prendre 3 barres par lit. Soit 5 HA16 et 4 HA20 2 = 22,62cm sur 3 lits. Vérification dcalcul ≥ dréelle 0,765 ≥ 0,78m 3 HA16 2 HA16 + 1HA20 3 HA20 Calcul de dréelle : (6,03x10,6 + 4,02x6,6 + 3,14x6,8 + 9,42x4,8) / 22,62 = 7 dréelle = 85 – 7 = 78cm Application 3 : Diagrammes de contraintes et déformations Pour la section poutre étudiée dans l’application 2 précédente, on s’aperçoit que dréelle = 0,78 > dcalcul = 0,9.h = 0,765. Ce qui est sécuritaire, on peut donc recommencer le calcul avec dréelle, ce qui donnera une section d’acier plus faible, d’où une économie. Dans le cas étudié, la section d’acier réellement mise en place sera 2 6HA16+3HA20 =21,48cm (au lieu de 5HA16 et 4HA20). On souhaite déterminer les diagrammes de contraintes et de déformations de cette section. Rappel des données : 2 b = 0,25m, h = 0,85m, d = 0,78m, As = 6HA16+3HA20 = 21,48cm , Mu = 0,597m.MN, fc28 = 25 MPa, γb = 1,5, fe = 500 MPa, γs = 1,15 σbc= σbc= εbc= Mu σst= εst= Nbc= Placer sur les diagrammes contraintes- déformations les points représentatifs des états de contraintes et déformations des armatures et du béton comprimé. σbc fbu Nst= -3 2.10 σs -3 3,5.10 εbc fe/γs εL -3 10.10 εs Solutions εbc= 3,5.10-3 Mu= 0,597m.MN σbc= 14,17 MPa σbc= 14,17 MPa b= 0,25m 0,8y = 0,26m y = 0,33m y = 0,33m d= 0,78m εst= 4,8.10-3 σst= 435MPa Nbc= 0,934 m.MN 0,4αd = 0,13m σbc fbu z = 0,65m -3 σs εbc -3 2.10 3,5.10 fe/γs Nst= 0,934 m.MN εL 4,8.10 Contraintes fe /γs = 500/1,15 = 435MPa fbu = 0,85.fc28/ θ.γb = 0,85x25/(1x1,5) = 14,17 MPa Résultantes -4 Ns = As. fe /γs = 21,48.10 .435 = 0,934 MN Nbc = 0,8αddfbu = 0,8. α. 0,25.0,78.14,17 Ns = Nbc d’où 0,934 = 0,8. α. 0,25.0,78.14,17 soit α = 0,423 Hauteur de béton comprimé y = αd = 0,423.0,78 = 0,33m 0,8αd = 0,26m Bras de levier z = [1-0,4α].d = (1-0,4x0,423) .0,78 = 0,65m Déformations -3 α = 0,423 ce qui correspond à un pivot B, soit εbc = 3,5.10 et εs tel que : -3 -3 -3 αd/ 3,5.10 = d/(εs + 3,5.10 ) soit εs = 4,8.10 -3 -3 10.10 εs Application 4 : Hauteur économique On souhaite déterminer la hauteur économique de la poutre précédente. Sachant que plus la hauteur de béton est importante, plus le bras de levier z est grand, donc plus la quantité d’acier As est faible. Mais à contrario le poids propre de la poutre augmente et donc le moment ultime aussi. De plus si on augmente la hauteur de béton, le volume et le coût du matériau béton augmente, alors que jusqu’à un certain point la quantité et le coût de l’acier diminue. Il s’agit de reprendre les données de l’application 2 précédente, mais pour des valeurs de h variable de 0,70m à 1,30m. 1. Déterminer la section d’acier nécessaire pour chaque valeur de h. On prendra d = h – 7cm. 2. En déduire le coût en matériau ’un mètre de poutre armée seulement par As, en considérant le prix du m3 de béton égal à 100.X et le prix du kg d’acier égal à 1,25.X Solutions : Pour X= 1euro h m 0,72 0,75 0,80 0,85 0,90 0,95 1,00 1,05 1,10 1,15 1,20 1,25 Coût Euros 44,96 43,71 42,46 41,84 41,61 41,64 41,87 42,25 42,75 43,33 44,00 44,72 Mu m.MN 0,577 0,582 0,590 0,597 0,605 0,612 0,620 0,627 0,635 0,643 0,650 0,658 mu / 0,386 0,355 0,312 0,277 0,248 0,223 0,202 0,184 0,169 0,156 0,144 0,133 alpha / 0,653 0,578 0,484 0,415 0,362 0,320 0,286 0,257 0,233 0,213 0,195 0,180 z m 0,48 0,52 0,59 0,65 0,71 0,77 0,82 0,88 0,93 0,99 1,04 1,10 As cm2 27,6 25,6 23,0 21,1 19,6 18,4 17,3 16,4 15,6 15,0 14,4 13,8 46 Hauteur économique 45 Coût [Euro/m] 45 44 44 43 43 42 42 41 0,70 Hauteur [m] 0,80 0,90 1,00 1,10 1,20 1,30 Application 5 : Dalle sur deux appuis Une dalle pleine en béton armé, d'épaisseur 12cm, couvre une galerie enterrée de 3,00m de largeur. Elle 2 supporte une charge d’exploitation de 5kN/m et repose dans des feuillures que l'on assimile à des appuis simples. On prendra un enrobage des armatures de 2cm. Déterminer le ferraillage longitudinal en treillis soudé de la dalle. Le béton choisi est tel que fc28 =25MPa. La note de calcul des aciers longitudinaux sera rédigée selon le plan type suivant : a. Modélisation b. Bilan des charges c. Sollicitations 1,00 d. Acier longitudinaux 0,12 3,00 Etude d’une bande de 1m de dalle pleine en béton armé Solution : a. Modélisation On étudie la flexion d'une "bande" courante de 1,00 m de largeur et de 3,00 m de portée et reposant simplement sur deux appuis b. Bilan des charges Charges permanentes: Poids propre de la dalle (1,00x1,00x0,12)x25 = G = 3 kN/m Charge d'exploitation : 1x5 = Q = 5 kN/m Combinaison des actions à l'ELU:1,35.G + 1,5.Q = 1,35x3+1,5x5 = 11,55 kN/ml c. Moment fléchissant Mu La valeur maximum, à mi-travée, vaut à l'ELU : 2 2 Mu = pL /8 = 11,55x3 = 13m.kN Ce moment sollicite la membrure inférieure en traction . d. Aciers longitudinaux Largeur de poutre Hauteur de poutre Hauteur utile .Matériaux : Moment ultime Mu max = 13 m.kN b = 1,00m h = 0,12m d = On choisit d'armer cette zone avec un panneau de treillis soudé on adopte une hauteur utile de 9 cm (enrobage 2cm), soit d = 0,09 m. béton fc28 = 25 MPa γb = 1,5 à l’ELU normal Acier fe = 500 MPa γs = 1,15 Mu = 0,013 m.MN Contrainte de calcul du béton Moment réduit Position de l’axe neutre Bras de levier fbu = 0,85.fc28/ θ.γb = 0,85x25/(1x1,5) = 14,17 MPa 2 µ = Mu/bd fbu = 0,013/(1x0,09x14,17) = 0,113 1/2 α = 1,25.[1 – (1-2 µ) ] = 0,150< αL = 0,616 z = [1-0,4α].d = (1-0,4x0,15) .0,09 = 0,084m Section d’armature nécessaire pour armer, à l'ELU de résistance, la bande de 2 1,00 m de poutre dalle, est As = Mu/[z.fe/ γs] = 0,013/(0,084x500/1,15) m As = 3,53 cm2 On choisit un panneau de treillis soudé ST 35 (Voir doc. ADETS) qui présente 2 une section résistante de 3,85 cm par mètre. 1,00m 0,09m Fil de répartition 0,12m Ferraillage de la dalle 2 Fil porteur HA7 tous les 10cm. As réelle = 3,85 cm /m Pour maintenir en position le panneau de treillis soudé pendant le coulage du béton on peut utiliser: - Des cales en béton dont l'épaisseur « e » correspond à l'enrobage souhaité du panneau de treillis soudé. - Des distanciers en matière plastique dont l'épaisseur e correspond à l'enrobage souhaité. Certains estiment que ce produit serait à l'origine de l'éclatement du béton (gel, variation de température,...) Remarque. Si l'enrobage e = 2,5 cm, la hauteur utile réelle de la section droite vaut d = 120 - 25 - 7/2 = 91,5 mm = 9 cm cette valeur serait alors cohérente avec d = 9 cm initialement choisie. Si l'on avait souhaité un enrobage plus important il eut fallu calculer As à partir d'une valeur de d plus faible. Application 6 : Balcon Le balcon "filant" représenté ci-contre se justifie comme une poutre en porte à faux par rapport à la façade de l'immeuble. Il est ici dans le prolongement du plancher de l'étage considéré. On admet de n'étudier qu'une "bande" de 1,00 mètre linéaire de balcon. Déterminer le ferraillage du balcon armé avec des barres indépendantes à haute adhérence de limite élastique fe = 500 MPa. Le béton a une résistance à 28 jours de 30MPa 2 La charge d’exploitation sur le balcon est de 3,5 kN/m Le revêtement de sol de 4cm d’épaisseur a un poids 2 volumique de 22 kN/m . A l’ELU la combinaison à étudier est 1,35G+1,5Q Solution. 3,85 kN a. Modélisation Poutre en console encastrée à une extrémité et libre de l’autre 11,16kN/m b. Bilan des charges pour une bande de 1m Charge uniformément répartie sur 1,4m de long : Poids propre de la dalle 0,14x1x25 = 3,5 kN/m Poids propre du revêtement de sol 0,04x1x22 = 0,88 kN/m Charge d’exploitation 1x3,5 = 3,5 kN/m Total pondéré 1,35g +1,5q 1,35.(0,88+3,5)+1,5x3,5 = 11,16kN/m Charge concentrée à l’extrémité Poids propre pondéré du garde corps 1,35x1,14x0,10x25 = 3,85 kN/m c. Sollicitations maximums Vu = 11,16x1,40+ 3,85 = 19,5 kN 2 Mu = 11,16x1,40 /2 + 3,85x1,45 = 16,5 mkN Mu 16,5 kN/m d. Aciers longitudinaux Le sens du moment entraîne une mise en traction de la membrure supérieure de la dalle du balcon, les aciers longitudinaux porteurs seront donc à disposer en partie haute de la dalle, on dira "en chapeaux". La section droite à armer est donc une section rectangulaire dans laquelle les aciers tendus occupent la partie supérieure: Il n'est pas ici conseillé de surestimer la hauteur utile d, en cours de chantier, les aciers "supérieurs" ont une fâcheuse tendance à se retrouver plus bas que prévu. Largeur de poutre Hauteur de poutre Hauteur utile .Matériaux : Moment ultime b = 1,00m h = 0,14m d = 0,10m. béton fc28 = 30 MPa γb = 1,5 à l’ELU normal Acier fe = 500 MPa γs = 1,15 Mu = 0,0165 m.MN Contrainte de calcul du béton Moment réduit Position de l’axe neutre Bras de levier fbu = 0,85.fc28/ θ.γb = 0,85x30/(1x1,5) = 17 MPa 2 µ = Mu/bd fbu = 0,0165/(1x0,09x17) = 0,116 1/2 α = 1,25.[1 – (1-2 µ) ] = 0,154< αL = 0,616 z = [1-0,4α].d = (1-0,4x0,154) .0,10 = 0,094m Section d’armature nécessaire pour armer, à l'ELU de résistance, la bande de 2 1,00 m de poutre dalle, est As = Mu/[z.fe/ γs] = 0,0165/(0,094x500/1,15) m As = 4,04 cm2 Cela correspond à 5,15 HA 10 par mètre, soit une barre HA10 tous les 19 cm. On évitera le contact d'un éventuel retour de l'armature avec la sous-face du balcon. (risque d'oxydation et d'éclatement du béton) Le balcon n'est pas encastré dans la façade mais prolonge le plancher. Aussi équilibre-t-on le balcon en prolongeant les aciers porteurs sur une distance équivalente à celle du porte à faux. Au stade de la mise en oeuvre il faut adopter les dispositifs conduisant à maintenir en position supérieure les aciers porteurs (distanciers, cage d'armature carrée ou triangulaire…). L'usage de panneaux de treillis soudé comme aciers porteurs de balcon a conduit à des accidents mortels. Constitués de fils relativement fins, ils sont plus "écrasables" sous les pieds des ouvriers... Application 7 : Poutre sur 3 appuis Une poutre de section 10x20 et de 3,50m de longueur est posée sur trois appuis de 10cm de largeur. Cette poutre franchit donc deux travées de longueur 1,60m de nu à nu et est chargée par deux charges ponctuelles P appliquées au milieu de chaque travée. En négligeant le poids propre et pour une valeur pondérée de 1,5x30 = 45 kN pour chaque force ponctuelle, déterminer le ferraillage longitudinal. P On donne les réactions d’appui et la courbe de moment fléchissant 0,31.P L P 1,375.P L 0,31.P -3PL/16 Les barres sont à haute adhérence fe = 500 MPa. Le béton a une résistance à 28 jours de 30MPa. 5PL/32 5PL/32 M Solution : Géométrie Matériaux Moment Fraction de hauteur comprimée Aciers longitudinaux Choix d’armatures En travée Sur appui b =0,10 m h = 0,20 m d = 0,17m fc28 = 25 MPa γb = 1,5 fbu = 14,17MPa fe = 500 Mpa γs = 1,15 Mu = (5/32).(1,5x30).1,60 Mu = (3/16).(1,5x30).1,60 Mu = 11,25 m.kN Mu = 13,5 m.kN Mu = 0,01125 m.MN Mu = 0,0135 m.MN α = 0,411 < αL α = 0,520 < αL 2 2 As = 1,82 cm As = 2,31 cm 2 2 4xHA8 = 2,01 cm 2xHA8 + 2xHA10 = 2,58 cm Principe de ferraillage : 4xHA8 2xHA8 + 2xHA10 2xHA8 + 2xHA10 5. Calcul des Aciers Transversaux 5.1 Etat des contraintes dans une poutre en flexion simple Y p Rappels de RdM : Etudions une poutre en flexion simple, soumise à une charge uniformément répartie. Pour un point donné de la poutre, et pour une facette en ce point, l'état de contrainte est représenté par un couple (σ, τ) de contraintes normale σ et de cisaillement τ (ou contrainte tangente). Cet état de contraintes admet des directions particulières de contraintes qu'on appelle contraintes principales. Les directions des contraintes principales de traction et de compression permettent de tracer les trajectoires des contraintes ou isostatiques. Ce sont les lignes suivant lesquelles s'exercent les plus fortes contraintes de traction et de compression. On comprend ainsi qu'il est nécessaire d'armer le béton suivant les directions des contraintes principales de traction. Dans la pratique la poutre est armée par un réseau d'armatures longitudinales qui reprend les contraintes normales et un réseau d'armatures transversales qui reprend la traction induite par les contraintes de cisaillement. 3 1 2 X V Effort tranchant M Moment fléchissant σ Contraintes normales τ Contraintes tangentes Fig.5.1 Charges, sollicitations et contraintes Directions principales des contraintes de : - Compression - Traction Fig.5.2. Rappels de RdM. Analyse des contraintes autour de 3 points de la poutre Cercle de Mohr de l’état des contraintes autour du point étudié τ Facette horizontale Position du point étudié Point 1 situé dans la zone comprimée σ2 α τ σ1 σ2 2α τ 1 1 σ1 τ Direction des tractions principales σ 1 τ Facette verticale Point 2 situé dans la zone tendue τ Facette horizontale τ σ2 σ1 2 σ2 α σ1 2α τ σ τ τ Facette verticale Facette horizontale σ1 Point 3 situé sur l’axe neutre α = 45° 3 τ Direction des tractions principales 2 σ2 τ σ2 α 2 3 α σ1 τ τ Facette verticale Convention de signe 2α = 90° τ 3 Direction des tractions principales σ2 τ>0 σ>0 Propriétés: Si la facette tourne de α, le point représentatif sur le cercle de Mohr tourne de 2 α Les diagrammes de contraintes normales et tangentes des figures précédentes sont modifiés dans le cas d'une poutre en béton armé. On néglige en effet la résistance en traction du béton. y z d h As b0 y Axe neutre Mu Nbc σ(x,y) z Ns As X Efforts résultant des contraintes normales X Contraintes normales Fissuration due aux contraintes normales y y Axe neutre Vu X τ(x,y) Effort tranchant X Contraintes de cisaillement Fissuration d’effort tranchant Fig.5.3 Sollicitations, contraintes, fissurations Cette fissure est l'amorce d'une rupture qui séparerait la poutre en deux parties. Il est donc nécessaire de coudre la fissure par plusieurs cours d’armatures. 5.2 Calcul des contraintes tangentes D’après le cours de RdM : τ(x,y) = Vu(x).S(y)/[b(y).Igz] avec τ(x,y) Vu(x) S(y) b(y) Igz La contrainte tangente régnant à l’abscisse x de la poutre et à l’ordonnée y de la section L’effort tranchant à l’ELU à l’abscisse x de la poutre Le moment statique de la section au dessus de y et par rapport à Gz La largeur à l’ordonnée y de la section d’abscisse x Le moment quadratique (dit d’inertie) de la section homogène réduite Remarque. Dans une section d'abscisse x, τ(x,y) varie comme S(y): Dans un premier temps S(y) varie de 0à τmax, puis S(y) est constant puisque le béton tendu est négligé enfin S(y) est nul puisque le moment statique du béton comprimé est égal et opposé à celui des aciers tendus. Calcul de la contrainte tangente maxi. τu max(x) = Vu(x).SG/[b.Igz] 2 SG = b.yg /2 = nA(d-yg) σS = n.M(d-yg)/Igz avec n coefficient d’équivalence acier béton (voir chapitre sur l’ELS) M = z.Ns = z.A .σS D’où z = M/ A .σS = M/ [A .n.M(d-yg)/Igz] = Igz /SG Soit τu max(x) = Vu(x)/[b.z] Par ailleurs le règlement définit une contrainte tangente conventionnelle. τu(x) = Vu(x)/[b.d] avec d = 0,9h en général Le règlement donne une valeur limite à τu. Il faut donc vérifier que :τu max = Vu maxi /[b.d] < τu limite Avec τu limite définit dans le tableau ci-joint : τu limite [MPa] Fissuration peu préjudiciable Cadre droit Cadre à 45° Cadre à 22,5° Min [0,2.fcj/γb ; 5] Min [0,27.f cj/γb ; 7] Min [0,235.f cj/γb ; 6] Fissuration préjudiciable ou très préjudiciable Min [0,15.fcj/γb ; 4] Min [0,27.fcj/γb ; 7] Min [0,21.fcj/γb ; 5,5] On remarque que les cadres inclinés sont plus efficaces (Voir le paragraphe 1). Cadre droit Exemple : Valeur de τu limite à l’ELU normal si fc28 = 30 MPa Fissuration peu préjudiciable Fiss. préjudiciable ou très préjudiciable 4 MPa 3 MPa 5.3 Calcul des armatures transversales Nous venons de voir la nécessité de coudre les fissures par des armatures. Ce que précise l'Article A 5.1,22.du BAEL 91 : "Toute âme de poutre comporte une armature transversale composée d'aciers parallèles au plan moyen de l'âme et ancrés efficacement dans les deux membrures. Ces aciers font avec l'axe longitudinal de la poutre un angle α compris entre 45 et 90°, leur inclinaison étant de même sens que celle de la contrainte principale de traction au niveau du centre de gravité de la section de la poutre supposée non fissurée." Vu/sin α α Vu z α st z z/tan α d h b0 Fig.5.5 Couture d’une fissure d’effort tranchant Soit m le nombre de cours de section At travaillant à σst pour équilibrer un effort global Vu(x)/sin α m = z.(1+ 1/tan α)/ st et m.At. σst = Vu (x)/sin α d’où At = s t Vu ( x ) [1] z.σ st .(cos α + sin α ) D'autre part pour que la couture soit efficace, il faut limiter supérieurement l'espacement st des armatures. Voyons les dispositions réglementaires et la forme de l'équation [1] dans l'article A 5.1,23. Reprenons l'expression [1] en considérant que: σ st = fe γs et τu = Vu d’où A t = b0d s t .τ u .b 0 .d z.. fe .(cos α + sin α ) γs soit γ s .τ u At = b 0 .s t z .f e .(cos α + sin α ) d Le règlement considère à juste titre que z = 0,9.d. D’autre part le béton équilibre une partie de l'effort tranchant du fait que sa résistance à la traction n’est pas nulle un terme 0,3.ftj.k est introduit dans la formule réglementaire. Cette portion d'effort tranchant équilibrée par le matériau béton est d'autant plus grande que celui-ci est comprimé. Elle n'est effective que s'il n'y a pas de reprise de bétonnage non traitée. La formule réglementaire est en fait: γ s .[ τ u − 0,3.f tj .k ] At = avec ftj ≤ 3,3 MPa et k = 0 ou 1 en flexion simple b 0 .s t 0,9.f e .(cos α + sin α ) At b0 τu ftj fe γs k 2 m m MPa MPa MPa / / Section globale d’un cours d’armatures transversales Largeur de la poutre Contrainte tangente conventionnelle Contrainte de rupture en traction du béton Limite élastique de l’acier Coefficient de sécurité partiel sur l’acier (1,15 à l’ELU normal) - k = 1 s’il n’y pas de reprise de bétonnage ou si celle-ci est traitée - k = 0 s’il y a une reprise de bétonnage non traitée - k peut être > 1 ou < 0 dans les cas de flexion composée (voir A 5.1,23) La valeur de st est limitée réglementairement: st ≤ Min [0,9.d ; 40cm] (A 5.1,23) Un pourcentage minimum est exigé pour les poutres : la section d’acier par unité de longueur At/st doit être telle que : At/st ≥ 0,4.b0/ fe avec At en m2, st en m, b0 en m et fe en MPa Cette condition de pourcentage minimal ne concerne pas les dalles. Voir pour cela le chapitre traitant des dalles. Il existe des dérogations aussi pour les poutres secondaires de planchers. Voir le paragraphe B.6.7,1. 5.4 Détermination pratique des armatures transversales : Géométrie b h d Matériaux : acier fe béton ftj armatures longitudinales ΦL, nombre Effort tranchant Vu Il faut la courbe enveloppe des efforts tranchant à l’ELU Choix du diamètre des aciers transversaux dans la pratique prendre Φt = ΦL/3 Le BAEL indique pour le diamètre des aciers transversaux (A7.2.2) Φt <Min[h/35 ; ΦL mini; b/10] Les diamètres courants sont en bâtiment 6, 8, 10 éventuellement 12 ou 14 At est la section droite totale d’un cours d’armatures transversales. Exemple pour un 2 cadre et épingle HA6 : 3 brins HA6 = 0,848 cm Calcul de At Vérification de la contrainte de cisaillement τmax = Vu/bd < τu limite = Min[deux valeurs] Calcul de l’écartement maxi St max = Min[0,9d ; 0,40m ; At.fe /(0,4b)] A.1,22 0,9.fe .A t .(cos α + sin α) st ≤ V b0 .γ s .[ u − 0,3.ftj .k] b0 .d - - Voir valeurs de τu limite =Min[deux valeurs] fonction de ftj et de l’orientation des cadres A5.1,21 En flexion simple k =0 si reprise de bétonnage non traitée et k=1 sinon. Si cadres verticaux et reprise de bétonnage non traitée St = 0,9.fe.At.d/[γs .Vu ] Calculer le premier espacement St0 pour Vu0 à x = 0 et placer le premier cadre à St0/2 Si St0< 6 ou 7cm augmenter At et si St0 > St max diminuer At Répéter ensuite l’espacement n fois (avec « n » nombre de mètres dans la 1/2 portée par ex.) Continuer par l’une des deux méthodes suivantes Méthode analytique calculer l’effort tranchant pour cette nouvelle abscisse x = st0/2 + n.st0 Calculer le nouvel espacement st pour ce nouveau Vu Répéter l’opération jusqu’à atteindre Vu = 0 ou stmax - - Méthode de Caquot Applicable seulement pour les poutres uniformément chargées, de section transversale constante Après avoir répéter n fois st0 , se raccorder à la suite des valeurs suivantes sans dépasser Stmax 7- 8- 9- 10- 11- 13- 16- 20- 25- 35- 40 [cm] 5.5 Application : Suite de la poutre étudiée aux chapitres 1 et 4 Déterminer le ferraillage transversal de la poutre étudiée aux chapitres 1 et 4. P = 1,35G+1,5Q = 0, 0221 MN/m Vu (x) = 0,0221.X -0,0663 MN Solution. Géométrie : b = 0,20m h = 0,50m d = 0,9h = 0,45m Matériaux : fe = 500MPa fc28 = 25 MPa ft28 = 0,6+0,06x25 = 2,1MPa armatures longitudinales 4HA14 Fissuration peu préjudiciable Choix du diamètre des aciers transversaux Φt = ΦL/3 = 14/3 on choisit un cadre vertical HA6 Pour un cadre il y a 2 brins pour coudre la fissure d’effort tranchant 2 At = 2HA6 = 0,57 cm Vérification de la contrainte de cisaillement. Cadre verticaux, fissuration peu préjudiciable τmax = Vu/bd ≤ τu limite = Min[0,2fc28/γb ;5MPa] 0,663/(0,20x0,45) ≤ Min[0,2x25/1,5 ;5MPa] 0,731 MPa ≤ 3,33MPa OK Calcul de l’écartement maxi St max = Min[0,9d ; 0,40m ; At.fe /(0,4b)] -4 St max = Min [0,9x0,45; 0,40; 0,57.10 x500/(0,4x0,2) = 0,35m st ≤ 0,9.fe .A t .(cos α + sin α) V b0 .γ s .[ u − 0,3.ftj .k ] b0 .d X [m] 0 0,15/2+3x0,15 = 0,52 0,52+3x0,18 = 1,06 1,06+3x0,23 = 1,75 k = 0 car on considère une reprise de bétonnage entre retombée de poutre et dalle. Cadre verticaux, d’où St = 0,9.fe.At.d/[γs .Vu ] -4 St ≤ 0,9x500x0,57.10 x0,45/(1,15.Vu) = 0,0100/Vu Vu [MN] 0,0663 0,0548 0,0429 0,0276 St ≤ 0,0100/Vu 0,151 0,183 0,234 0,36 > st max St retenu [m] 0,15 0,18 0,23 0,35 nombre 3 3 / Le premier cadre est placé à st0/2 pour coudre la première fissure. Pour simplifier le calcul et la mise en œuvre, on garde ‘n’ fois le même espacement (en général 3 ou 4 fois). Mais pour la méthode de Caquot ‘n’ est le nombre entier de mètres dans la demi portée. Répartition des armatures transversales : Les calculs conduisent à la répartition théorique suivante des cours successifs d'armatures transversales. L'intervalle "x", auquel on parvient ici, vaut 40 cm. On peut le partager en 2 x 20 cm et laisser la répartition ainsi. Cependant, il est plus judicieux de revoir l'ensemble de la répartition et de partager l'intervalle x de chaque coté de manière à l'intégrer à la suite des espacements. 5.6 Méthode de Caquot Reprendre l’exercice précédent, mais déterminer les espacements de cadre par la méthode de Caquot. Solution. Cette méthode ne permet que d’obtenir rapidement la répartition des espacements le long de la poutre après avoir calculé st0. Dans notre cas la méthode de Caquot s’applique car la poutre est uniformément chargée et de section constante. On a calculé st0 = 15cm. Les autres espacements sont d’après la série de Caquot 16, 20, 25 et 35 (car stmax = 35cm). Ces espacements seront répétés n fois, avec n nombre de mètre dans la demi portée. Ici n = 3. D’où le plan de ferraillage suivant. Dans la partie centrale, on ne peut mettre ‘n’x 35cm, donc on répartit par exemple les cadres comme indiqué. On remarque que cette méthode simplifiée consomme dans notre cas deux cadres de plus que la méthode analytique. 9 5.7 Si aucune reprise de bétonnage Reprendre l’exercice précédent, mais en considérant qu’il n’a pas de reprise de bétonnage Solution. Dans ce cas k = 1. D’où s t ≤ 0,9.fe .A t .(cos α + sin α) 0,9x500x0,57.10 −4 = 1,04m > 0,35m soit s t ≤ Vu 0,0663 0,20.1,15.[ − 0,3x2,1x1] b0 .γ s .[ − 0,3.ftj .k] 0,20x0,45 b0 .d L’espacement calculé est important du fait de la capacité du béton à résister à la traction. Les cadres seront donc espacés de 35cm au maximum avec des premiers cadres à 35/2 = 17cm du nu de l’appui. Soit le schéma de ferraillage suivant compte tenu des dimensions de la poutre. 9 9 9 6. Epure d’Arrêt de barre et Vérification des appuis 6.1 Treillis de Ritter Mörsch Afin de mieux comprendre le fonctionnement d'une poutre en béton armé, commençons par étudier la nature et l'intensité des efforts sollicitant les barres d'une poutre en treillis dont les diagonales sont à 45°. Soit à analyser le cas de figure ci-dessous, en négligeant le poids propre: P/2 P P P P P P/2 Fig.6.1 Poutre treillis La mise en équilibre des noeuds conduit à la détermination des efforts axiaux sollicitant chacune des différentes barres avec la convention suivante : + compression et – traction. +3,53P 0 - 2,12P 0 +3,53P P P P P/2 +4P +0,71P -0,71P - 0,5P +2,12P - 4,5P - 4P - 3,53P +4P Fig.6.2 Analyse des efforts dans les barres Les graphes des efforts tranchants et des moments fléchissant le long de la poutre sont les suivants : Vu 0,5P - 2,5P - 1,5P 2,5P - 0,5P 4Pz Mu 1,5P 4,5Pz 2,5Pz Fig.6.3 Sollicitations V (effort tranchant) et M (moment fléchissant) dans la poutre Dans le cas d'une poutre en béton armé, il est possible de faire l'analogie avec la poutre en treillis précédente. Après fissuration d'effort tranchant la poutre peut être représentée comme ci-après : bielle d'about de béton comprimé membrure horizontale de béton comprimé zone sollicitée par un effort de traction d'intensité Vappui suspente (cadre, étrier) sollicitée en traction membrure horizontale d’acier tendu Fig.6.4 Treillis équivalent de Ritter-Mörsch 6.2 Vérification pour un appui simple d’about (A.5.1,31) Vu.21/2 Fig.6.5 Equilibre de la bielle d’about soumise à trois forces Vu effort de traction dans la section d’acier sur appui Vu/n Vu Réaction d’appui Vu Vu/n Vu.21/2 Compression dans la bielle de béton ‘n’ nombre de barres (supposées identiques) à l’appui Vu effort tranchant à l’appui L’analyse précédente montre que la bielle d’appui d’about de poutre inclinée à 45°, est soumise à l’ac tion de trois forces : la réaction d’appui Vu appui, l’effort de la section d’acier ancrée à l’appui et la circulation des efforts à 45°. L’équation d’équilibre de la bielle (somme de ces trois forces = 0) montre que : 1/2 a. Le béton de la bielle doit résister à un effort de compression Vu.2 b. L’acier doit résister à un effort de traction Vu. La section d’acier sur appui doit être suffisante. c. Les aciers doivent être ancrés pour résister à cet effort. L’ancrage droit ne suffit pas toujours. article A.5.1,31, "on doit prolonger au-delà du bord de l'appui y ancrer une section d'armatures longitudinales inférieures suffisante pour équilibrer l'effort tranchant Vu". a. 1/2 Vu.2 Compression dans la bielle 1/2 1/2 L’effort est Vu.2 . La section de bielle perpendiculaire à l’effort incliné de 45° a/2 1/2 est b.a/ 2 . La vérification réglementaire exige : enrobage a Contrainte dans le béton = Effort / Section < 0,8.fcj/γb. Soit 2 σ bc = Vuappui . 2 2 a. b 2 = 2.Vuappui a.b d’où 2.Vuappui a.b ≤ 0,8. fcj γb avec a ≤ 0,9.d Fig.6.5b Bielle comprimée Dans la pratique, cette condition est généralement vérifiée, excepté lorsque l'appui est peu long : appui d'une poutre sur un mur de refend par exemple. b. Effort Vu dans la section As sur appui La section d’acier As doit résister à l’effort Vu. Soit As > Vu/ (fe/γs) En pratique, la moitié des aciers nécessaires en travée est prolongée jusqu'aux appuis (on prolonge en général le premier lit inférieur). c. As fe/γs Vu Fig.6.6 Vérification de la section d’acier Ancrage L’ancrage droit suffit il pour que n barres (n le nombre de barres à l’appui) puissent ancrer l’effort Vu appui. La contrainte de scellement droit vaut à l’ELU : 2 τsu = 0,6.ψs .ftj Vu/ n < Π.Φ.L.τsu d’où L = Vu/[n Π.Φ.τsu] < a τsu enrobage Vu a 2 Si cette condition n’est pas respectée, il est nécessaire de faire un ancrage courbe. Fig.6.7 Ancrage 6.3 Vérification d’appui intermédiaire (art 5.1,31) De même dans le cas d’un appui de continuité entre deux travées de poutres, il convient de vérifier la compression dans la bielle, la section d’armature et son ancrage de chaque coté de l’appui. 1/2 1/2 Vu droite. 2 Vu gauche. 2 a. Vérification de la compression dans le béton Vu gauche Ru/(ab) ≤ 1,3.fcj/γb avec a ≤ 0,9d Vu droite 2 cm a 2 cm b. Vérification de la section d’acier à gauche et à droite de l’appui. R = │Vu gauche│+ │Vu droite│ Le moment sur appui crée généralement une traction en partie haute de la poutre d’où les Fig.6.7bis Appui intermédiaire aciers en chapeau et une compression dans le béton en partie inférieure. L’effort de compression Nbc vaut, de chaque coté de l’appui, Mu/z et s’oppose aux efforts de traction Vu gauche ou droite dans l’acier. Si Vu gauche ou droite < Mu/z (avec z = 0,9d), il n’est théoriquement pas nécessaire de prolonger les aciers sur appui, mais il est de bonne construction de le faire. A s _ gauche _ droite ≥ c. Vu _ gauche _ ou _ droite − fe Mu _ appui 0,9d γs Vérification de l’ancrage La vérification se fait se fait comme pour l’appui d’about de poutre mais avec l’effort Vu gauche ou droite - │Mu│/0,9d 6.4 Organigramme résumé Vérifications d’appui Appui d’extrémité Appui intermédiaire Vu a enrobage Vu droite Vu gauche a 2 cm Vu est l’effort tranchant à l’appui Ru f cj 2.Vu ≤ 0,8. a.b γb Vérification de la compression dans la bielle de largeur a (vérifier a ≤ 0,9d) As > Vu/ (fe/γs) Vérification de la section d’acier sur appui L = Vu/[n Π.Φ.τsu] 2 cm 2 cm A s _ gauche _ droite ≥ Vérification de l’ancrage droit : Si cette condition n’est pas vérifiée faire un ancrage courbe. - n nombre de barres à l’appui - Φ diamètre des barres - L longueur de l’ancrage droit nécessaire - L= Ru/(ab) ≤ 1,3.fcj/γb Vu _ gauche _ ou _ droite − fe Mu _ appui 0,9d γs Vu _ gauche _ ou _ droite − nΠΦτ su Mu _ appui 0,9d 6.5 Epure d’arrêts de barres F F Fig.6.8 Traction dans les aciers longitudinaux de la poutre La fissuration d'effort tranchant a une influence sur l'intensité de la traction sollicitant les armatures longitudinales de la membrure tendue. Dans le cas d'un treillis simple, l'effort F de traction qui sollicite la membrure longitudinale à l'abscisse "x", a même intensité à l'abscisse "x + z ". Cette particularité conduit à l'article A.4.1,5., "Sollicitation des membrures tendues :pour évaluer l'effort agissant sur une membrure tendue, on prend en compte le moment fléchissant agissant à une distance 0,8.h de la section considérée dans la direction où le moment augmente en valeur absolue. Cette règle conduit à décaler de 0,8.h, dans le sens défavorable, les courbes enveloppes des moments fléchissant". Cette règle, dite du "décalage des moments", ne majore pas le moment maximum. Elle va essentiellement s'appliquer aux arrêts du second (voire du troisième) lit d'armatures. Dans le cas d'une poutre sur deux appuis et uniformément chargée, on obtient : ème Ls du 2 ème Ls du 2 lit lit MU 0,8h 0,8h 0,8h MRU du ème 2 lit 0,8h MRU des 2 lits Courbe décalée de 0,8h Courbe enveloppe des moments Fig.6.9 Epure d’arrêt de barres MRU du er 1 lit Pour obtenir l’épure d’arrêt de barres ci-dessus l’ordre des opérations est le suivant : 1. 2. 3. 4. Déterminer la courbe enveloppe des moments fléchissant Décaler de 0,8h cette courbe des moments Calculer les moments résistant de chaque lit d’armature Tracer la courbe des moments résistant en tenant compte de la longueur de scellement droit des lits d’armatures et en ayant toujours des moments résistant supérieur aux moments ‘décalés’. 5. En déduire la longueur du ou des lits d’armatures qui ne vont pas jusqu’aux appuis. 6.6 Application : Suite de la poutre étudiée aux chapitres 1, 4 et 5 Suite de l’application traitée au chapitre précédent. P = 1,35G+1,5Q = 0, 0221 MN/m Vu (x) = 0,0221.X -0,0663 MN Vérifications des appuis La poutre reposant sur deux appuis en béton de largeur 30cm. L'article A 5.1,313 conduit, avec un enrobage de 3 cm en bout du premier lit, à une longueur d'appui de la bielle d'about : a = 25 cm. a. Vérification de la contrainte de compression du béton dans la bielle: 2.Vu _ appui a.b = fcj 2x0,0663 25 = 2,65 ≤ 0,8. = 0,8. = 13,3MPa 0,25 x0,20 γb 1,5 b. Vérification de la section d’acier sur appui. As ≥ Vu/ (fe/γs) soit 2 HA14 = 3,08 cm2 ≥ 0,0663/(500/1,15) m2 = 1,53 cm2 c. L’ancrage droit suffit il ? Pour un barre HA avec et fc28 = 25MPa τsu = 2,84 MPa (voir chapitre 3) Chaque barre HA14 reprend un effort Vu/ n = 0,0663/2 MN L’ancrage droit nécessaire à pour longueur L telle que : Vu/ n = 0,0663/2 < Π.Φ.L.τsu = Π.0,014.L.2,84 soit L > 0,265 m Ce qui est légèrement supérieur au 25 cm disponible. Il est donc nécessaire de faire un ancrage courbe. Epure d'arrêts de barres. 2 a. La courbe des moments fléchissant est donnée par l’équation Mu(x) = 0,0663.X - 0,0221X /2 b. Cette courbe des moments est décalée de 0,8h = 0,8x50 = 40cm c. Calcul des moments résistant de chaque lit d’armature (voir détails chap 4) er Pour le 1 lit (jusqu’aux appuis) -4 α = [As fe/γs] / [0,8bd fbu] = 3,08.10 x(500/1,15)/[0,8x0,2x0,457x14,17] = 0,129 < αL = 0,616 z = [1-0,4α].d = 0,433m Mru = z.As fe/ γs = 0,058 m.MN Pour les 2 lits -4 α = [As fe/γs] / [0,8bd fbu] = 6,16.10 x(500/1,15)/[0,8x0,2x0,45x14,17] = 0,263 < αL = 0,616 z = [1-0,4α].d = 0,402m Mru = z.As fe/ γs = 0,108 m.MN d. Tracer la courbe des moments résistant La longueur de scellement droit des HA14 est 44x1,4 = 62cm . e. On en déduit graphiquement ou analytiquement la longueur du lit d’armatures qui s’arrête 0,66 MU m.MN 0,62 Ls = 0,62 0,108 0,099 0,40 = 0,8h 0,058 0,40 0,40 MRU du ème 2 lit 0,40 MRU des 2 lits Courbe décalée de 0,40 Courbe des moments MRU du er 1 lit Epure d’arrêt de barres - - Analytiquement le calcul est le suivant : On exprime l'équation de la courbe des moments décalée de 0,8.h valable dans la zone à droite de l'appui de rive gauche: 2 2 Mu(x) = 0,0663.(x+0,40) - 0,0221.(x+0,40) /2 = - 0,01105.x + 0,0575.x + 0,0247 Le point d’intersection entre les deux courbes de moments décalés et résistant s’obtient en égalant : 2 0,0580 = - 0,01105.x + 0,0575.x + 0,0247 soit ème x = 0,66m abscisse à partir de laquelle doit débuter le 2 lit de 2 HA 14. On remarque la montée linéaire en résistance du second lit d'armatures: le moment résistant de 0,108 m.MN est atteint lorsque le second lit est ancré par scellement droit sur Ls = 0,62m La zone entre les deux courbes est un surplus de résistance. D'où, enfin le plan de ferraillage de la poutre.