UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ UNIVERSIDADE ABERTA DO PIAUÍ Programa de Educação a Distância FIGURA (se for o caso) ELEMENTOS DE MATEMÁTICA I João Xavier da Cruz Neto Copyright © 2007. Todos os direitos desta edição estão reservados à Universidade Federal do Piauí (UFPI). Nenhuma parte deste material poderá ser reproduzida, transmitida e gravada, por qualquer meio eletrônico, por fotocópia e outros, sem a prévia autorização, por escrito, do autor. B726c DACRUZNETO, João Elementos de Matemática I / João Xavier da Cruz Neto – Teresina: UFPI/UAPI 2007. ?p. Inclui bibliografia 1 - Matrizes. 2 - Determinantes. 3 – Sistemas Lineares. 4 Trigonometria. 5- Números Complexos. I. Universidade Federal do Piauí/Universidade Aberta do Piauí. II. Título. CDU: 32 Catalogação na publicação por: PRESIDENTE DA REPÚBLICA Luiz Inácio Lula da Silva MINISTRO DA EDUCAÇÃO Fernando Haddad UNIVERSIDADE FEDERAL DO PIAUÍ REITOR Luiz de Sousa Santos Júnior SECRETÁRIO DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA DO MEC Carlos Eduardo Bielschowsky DIRETOR DE POLITICAS PUBLICAS PARA EAD Hélio Chaves UNIVERSIDADE ABERTA DO BRASIL COORDENADORA GERAL Celso Costa CENTRO DE EDUCAÇÃO ABERTA A DISTÂNCIA DA UFPI Coordenador Geral de EaD na UFPI Gildásio Guedes Fernandes CENTRO DE CIENCIAS DA NATUREZA DIRETOR Helder Nunes da Cunhao COORDENADOR DO CURSO de Licenciatura em Matemática na Modaliade de EaD João Benício de Melo Neto DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA CHEFE DO DEPARTAMENTO Jurandir de Oliveira Lopes EQUIPE DE APOIO Renan Maurício Lino(CT) Aluno (CT) Cleidinalva Oliveira Apresentação Este texto é destinado aos estudantes aprendizes que participam do programa de Educação a Distância da Universidade Aberta do Piauí (UAPI) vinculada ao consórcio formado pela Universidade Federal do Piauí (UFPI) Universidade Estadual do Piauí (UESPI), Centro Federal de Ensino Tecnológico do Piauí (CEFET-PI), com apoio do Governo do estado do Piauí, através da Secretaria de Educação. O texto é composto de cinco unidades, contendo itens e subitens, que discorrem sobre: Matrizes, Determinantes, Sistemas Lineares, Trigonometria e Números Complexos. Na Unidade 1, apresentamos conceito de matriz e como podemos organizar dados sem perda de simplicidade. Conhecemos vários tipos importantes delas, suas características e suas particularidades. No seu conjunto, aprenderemos as operações de adição, de multiplicação e suas propriedades principais. Na Unidade 2, apresentamos como associar uma matriz quadrada a um número real. A essa associação damos o nome de determinante. Aprenderemos como calcular o determinante de matrizes (quadradas) de qualquer ordem, através dos métodos de Laplace, Chió, Sarrus e outros. Estabeleceremos uma condição necessária e suficiente para determinar se uma dada matriz admite inversa. Vários conceitos importantes, como o de cofator, matriz adjunta, polinômio característico, e outros são apresentados. Na Unidade 3, aprendemos a resolver sistemas de equações lineares. Começamos com os casos 2×2 e 3×3 aprendemos métodos para resolvê-los e discuti-los. Vimos as suas interpretações geométricas a relação desta com a classificação deles. Após aprendermos os casos mais usuais e triviais, vimos uma rápida exposição sobre sistemas lineares do tipo n × n. Como prosseguimento do que tíınhamos já visto, revimos os métodos para a sua solução e discussão. Na Unidade 4, apresentamos os seis elementos de um triângulo e como determiná-los a partir do conhecimento de três deles (conhecendo pelo menos a medida de um dos lados). Usamos as relações em triângulo para definir as funções trigonométricas. Aplicamos as Leis do Seno e Cosseno para determinar a distância entre dois pontos inacessíveis. Estabelecemos algumas medidas em locais presentes em Teresina. Na Unidade 5, apresentamos o corpo dos números complexos. Usamos a representação trigonométrica de um número complexo para estabelecer a fórmula de De Moivre. Finalizamos com o cálculo das raízes da unidade. ÍNDICE UNIDADE 1. Matrizes 1.1 Introdução 1.2 Conceito de matriz . 1.3 Alguns tipos de matrizes importantes 1.4 Operações com matrizes 1.4.1 Multiplicação por escalar 1.4.2 Adição de matrizes 1.4.3 Multiplicação de matrizes 1.4.4 Propriedades da multiplicação de matrizes 1.5 A transposta de uma matriz 1.5.1 Propriedades da transposta de uma matriz 1.6 O traço de uma matriz 1.6.1 Propriedades do traço de uma matriz 1.7 A inversa de uma matriz 1.7.1 Propriedades da inversa de uma matriz 1.8 Escalonamento de uma matriz 1.9 Saiba mais 1.10 Exercícios 1.11 Respostas 1.12 Referência Bibliográfica UNIDADE 2. Determinantes 2.1 Introdução 2.2 Determinante de uma matriz de ordem 2 × 2 2.3 Determinante de uma matriz de ordem 3 × 3 2.4 Propriedades dos determinantes 2.5 Determinantes de matrizes de ordem arbitrária 2.5.1 Teorema de Laplace 2.5.2 Regra de Chió 2.6 Matriz Adjunta 2.7 Polinômio característico 2.8 Saiba mais 2.9 Exercícios 2.10 Respostas 2.11 Referência Bibliográfica UNIDADE 3. Sistemas Lineares 3.1 Introdução 3.2 Sistemas lineares com duas incógnitas 3.2.1 Solução de um sistema linear 3.2.2 Resolução de um sistema linear 2 × 2 3.2.3 Regra de Cramer 3.2.4 Discussão de um sistema linear 2 × 2 3.2.5 Interpretação geométrica 3.3 Sistemas lineares com três incógnitas 3.3.1 Resolução de um sistema linear 3 × 3 3.3.2 Regra de Cramer 3.3.3 Discussão de um sistema linear 3 × 3 3.3.4 Interpretação geométrica 3.4 Sistemas lineares com n incógnitas 3.4.1 Resolução de um sistema linear n × n 3.4.2 Discussão de um sistema linear n × n 3.5 Saiba mais 3.6 Exercícios 3.7 Respostas 3.8 Referência bibliográfica UNIDADE 4. Trigonometria 4.1. Introdução 4.2 Trigonometria no triângulo retângulo 4.2.1 Relações métricas no triângulo retângulo 4.2.2 Cálculo do seno de alguns ângulos sem a ajuda de calculadora 4.3 Lei dos senos e dos Cossenos 4.3.1 Lei dos senos 4.3.2 Lei dos cossenos 4.4 Funções trigonométricas 4.5 As fórmulas de adição 4.6 Saiba mais 4.7 Exercícios 4.8 Respostas 4.9 Referência Bibliográfica UNIDADE 5. Números Complexos 5.1 Introdução 5.1 O corpo dos números complexos 5.1.1 Adição de números complexos 5.1.2 Representação geométrica de um número complexo 5.1.3 Multiplicação de números complexos 5.2 Forma trigonométrica de um número complexo 5.3 Fórmula de De Moivre 5.4 Raízes da unidade 5.5 Saiba mais 5.6 Exercícios 5.7 Respostas 5.8 Referência bibliográfica Unidade 1 Matrizes Resumo Apresentamos conceito de matriz e como podemos organizar dados sem perda de simplicidade. Conhecemos vários tipos importantes delas, suas características e suas particularidades. No seu conjunto, aprenderemos as operações de adição, de multiplicação e suas propriedades principais. Esperamos que o leitor passe a ver matrizes como algo familiar e que passe a trabalhar com elas mais confiante. Incentivamos a procura de livros mais avançados para o aprofundamento de conteúdo. ÍNDICE UNIDADE 1. Matrizes 1.1 Introdução 1.2 Conceito de matriz . 1.3 Alguns tipos de matrizes importantes 1.4 Operações com matrizes 1.4.1 Multiplicação por escalar 1.4.2 Adição de matrizes 1.4.3 Multiplicação de matrizes 1.4.4 Propriedades da multiplicação de matrizes 1.5 A transposta de uma matriz 1.5.1 Propriedades da transposta de uma matriz 1.6 O traço de uma matriz 1.6.1 Propriedades do traço de uma matriz 1.7 A inversa de uma matriz 1.7.1 Propriedades da inversa de uma matriz 1.8 Escalonamento de uma matriz 1.9 Saiba mais 1.10 Exercícios 1.11 Respostas 1.12 Referência Bibliográfica Unidade 1 MATRIZES 1.1 INTRODUÇÃO Começaremos esta unidade ilustrando a importância do uso de matrizes na resolução de problemas de nosso dia-a-dia. Vejamos os: Problema 1. Certa empresa composta de três lojas, numeradas de 01 a 03, tem o seguinte relatório de faturamento para cada uma nos três primeiros dias de março: LOJA 01: R$ 1950,00; R$ 1840,00; R$ 3000,00 LOJA 02: R$ 1172,53; R$ 1235,00; R$ 2000,00 LOJA 03: R$ 2830,00; R$ 2789,00; R$ 1234,67. 1. Qual o faturamento da loja 01 no segundo dia? 2. Qual o faturamento das lojas 01 e 02 no terceiro dia? 3. Qual o faturamento total no primeiro dia? Problema 2. Certo corretor de imóveis pôs à venda seus apartamentos em Teresina. Ele possuı́a, em alguns prédios, mais de um apartamento. Ao colocar o anúncio das vendas num jornal, ele recebeu oferta de três empresas do ramo de locação de imóveis. Para analisar melhor as propostas, o corretor montou as seguintes tabelas: 12 Tipo I Tipo II Tipo III Tipo IV Tipo V Empresa 01 180.000 240.000 257.000 125.000 334.000 Empresa 02 195.000 228.000 226.000 132.000 321.000 Empresa 03 179.900 217.000 249.000 146.000 330.000 Apartamento Quantidade disponı́vel Tipo I 3 Tipo II 2 Tipo III 1 Tipo IV 3 Tipo V 1 . a) A primeira tabela diz que a empresa 01 está oferecendo R$ 180.000,00 por um apartamento do tipo I, que a empresa 02 está oferecendo R$ 226.000,00 por um apartamento do tipo III, etc. b) A segunda tabela diz que existem três apartamentos do tipo I disponı́veis, um do tipo III, etc. Se o corretor decidir fazer uma venda casada, isto é, vender todos os apartamentos para uma só empresa, para qual empresa ele deve vender? Se no problema 1 a quantidade de lojas fosse muito grande, ficaria mais difı́cil a visualização dos dados apresentados. Imagine o trabalho que terı́amos se, ao invés de três, o número de lojas fosse igual a mil. Caso fossem organizados em tabelas, o entendimento do problema ficaria mais acessı́vel. Assim surge a necessidade de se trabalhar com matrizes, quando temos que armazenar muitos dados sem abrir mão da clareza. Vejamos como ficaria o problema 01 organizado em forma de tabela: 13 LOJA 1◦ Dia 2◦ Dia 2◦ Dia 01 1950,00 1840,00 3000,00 02 1172,53 1235,00 2000,00 03 2830,00 2789,00 1234,67 . Algumas caracterı́sticas das tabelas acima são bem claras, como a quantidade de linhas e de colunas, por exemplo. É fácil ver que o faturamento de uma dada loja num certo dia é dado pelo cruzamento da linha referente à loja pela coluna referente ao dia. A associação entre linhas e colunas é de fácil aprendizado. 1.2 CONCEITO DE MATRIZ Mais O conceito de matriz remonta ao século XIX, mas a idéia de ma- informações sobre a origem triz remonta à antigüidade. Há hipóteses de que na China Antiga os do matemáticos chineses da época já esboçavam desenhos de matrizes, termo ma- triz podem ser encontradas na Revista número 21, em www.rpm.org.br. quando resolviam problemas relacionados a sistemas lineares. Definição 1.2.1. Dados os números naturais m e n, chamamos matriz do tipo m × n (lemos m por n) toda tabela A composta de m.n elementos dispostos em m linhas e n colunas. Podemos representar tal tabela com parênteses ( ), colchetes [ ], ou barras duplas

. Aqui e em todo o resto deste livro, os elementos tratados sempre serão números reais. Mas a definição de matriz não se restringe apenas a tabelas compostas de números reais. Podemos ter matrizes com números complexos, e com outros tipos de elementos. Costumamos designar uma matriz genérica A do tipo m × n por A = (aij )m×n , onde cada aij é o elemento da i-ésima linha e j-ésima 14 coluna, onde 1 ≤ i ≤ m e 1 ≤ j ≤ n. A matriz pode ser escrita (desenhada) assim: ⎞ ⎛ a a12 ⎜ 11 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎜ .. .. ⎜ . . ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ am1 am2 . . . a1n . . . a2n .. . .. . . . . amn ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . m×n O leitor deve construir várias matrizes para se familiarizar com esse novo conceito. Deve, também, colocar os dados dos problemas 1 e 2 da seção anterior em formato de matriz. Vejamos alguns exemplos de matrizes: ⎛ 1. A = ⎝ ⎛ 1 2 3 2 0 0 −19 ⎜ ⎜ 3. C = ⎜ ⎜ ⎝ ⎠ é uma matriz 2x4. 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 1 0 ⎜ ⎜ 2. B = ⎜ 0 0 1 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎝ 0 0 0 ⎛ 4 ⎞ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟ é uma matriz 5x10. ⎟ ⎟ 0 0 0 ⎟ ⎠ 0 0 0 √ ⎞ 1 − 2 ⎟ ⎟ ⎟ é uma matriz 2x2. √ ⎟ 3 ⎠ 1 − 2 5 15 √ ⎤ 5 91 1 − 2 ⎥ ⎢ − 23 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ π 3 ⎥ ⎢ 4. D = ⎢ 0 −10 ⎥ é uma matriz 3x3. ⎥ ⎢ 2 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 0 0 ⎡ 1 5. M = 2 77 −18 0 −51 −17 2 26 −12 0 é uma matriz 3x4. −12 Neste livro usaremos parênteses ( ) para designarmos as matrizes daqui em diante. Mas o leitor deve encontrar em outros livros matrizes designadas por colchetes [ ] ou por barras duplas || ||. 1.3 ALGUNS TIPOS DE MATRIZES IMPORTANTES O leitor atento já deve ter deduzido que existem infinitos exemplos O leitor não deve de matrizes, de vários tipos e formas. Alguns desses tipos ocorrem preocupar-se em problemas de Matemática com uma enorme freqüência, devendo com os termos então ser estudados com mais afinco. A Álgebra Linear é a parte em negrito que da Matemática que estuda as propriedades das matrizes com mais aparecem neste profundidade. parágrafo. Serão Nela, aprendemos a associar uma matriz a uma transformação abordados em linear e podemos então estudar o comportamento da transformação disciplinas do analisando a matriz e vice-versa. No estudo de funções de várias curso. variáveis, aprenderemos que dada uma função diferenciável f : U ⊂ Rm −→ Rn definida num conjunto aberto U ⊂ Rm , a sua derivada num ponto a ∈ U pode ser vista como uma matriz, chamada de matriz jacobiana. 16 Devemos nos acostumar com os tipos mais importantes de matrizes, de forma que eles se tornem familiares daqui em diante.Como não poderı́amos citar todos os tipos, citaremos apenas alguns: 1. (Matriz linha e matriz coluna) Dizemos que uma matriz A = (aij )m×n é uma matriz linha quando m = 1. Ela é dita matriz coluna quando n = 1. Exemplos: ⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜   ⎜ 3 ⎟ ⎟ são matriz linha e coluna, reJ = 1 5 8 eB =⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 78 ⎟ ⎠ ⎝ −2 spectivamente. 2. (Matriz quadrada) É quando m = n. Quando m = n a matriz A = (aij )m×n é dita não-quadrada. São exemplos de matrizes quadradas as matrizes C e D da seção anterior. ⎛ ⎞ a11 a12 . . . a1n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a21 a22 . . . a2n ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A=⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ .. .. ⎟ .. . . . . ⎟ ⎜ . . ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ an1 an2 . . . ann n×n é uma matriz quadrada, ∀n ∈ N. Numa matriz quadrada A = (aij )n×n , o conjunto D = {ajj ; 1 ≤ j ≤ n} é chamado de diagonal principal. Já o conjunto F = {aij ; i + j = n + 1} é chamado de diagonal secundária. Por 17 exemplo, na matriz ⎛ 1 5 3 7 8 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 4 8 9 7 6 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ B = ⎜ 1 0 32 47 17 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 29 25 73 47 58 ⎟ ⎝ ⎠ 69 93 21 10 40 a diagonal principal é D = {1, 8, 32, 47, 40}, enquanto que a diagonal secundária é F = {8, 7, 32, 25, 69}. 3. (Matriz triangular) Uma matriz A = (aij )n×n é dita triangular quando os elementos acima ou abaixo da diagonal principal são nulos. Quando aij = 0 para i > j, dizemos que A é uma matriz triangular superior. Quando aij = 0 para i < j, ela é dita triangular inferior. ⎛ ⎞ 2 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Exemplo 1.3.1. A matriz A = ⎜ 1 5 0 ⎟ é uma matriz trian⎠ ⎝ 3 2 5 gular inferior. ⎞ ⎛ 1 2 3 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 3 5 6 ⎟ ⎟ é triangular supe⎜ Exemplo 1.3.2. A matriz B = ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 4 2 ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 0 1 rior. Exemplo 1.3.3. O leitor deve assimilar bem a definição de matriz triangular. Note que a matriz ⎛ 0 ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎜ ⎜ C=⎜ 2 ⎜ ⎜ ⎜ 5 ⎝ 1 0 0 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ 0 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 3 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 4 2 0 0 ⎟ ⎠ 1 1 1 0 é triangular inferior, embora os elementos da diagonal principal sejam todos nulos. 18 4. (Matriz diagonal) Chamamos de matriz diagonal toda matriz quadrada que é triangular superior e triangular inferior. ⎞ ⎛ 1 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 2 0 0 ⎟ ⎟ é diagonal. Exemplo 1.3.4. A matriz A = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 −4 0 ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 0 2 5. (Matriz nula) Quando todos os elementos da matriz são nulos, isto é, iguais a zero, dizemos que a matriz é nula. Por exemplo, as matrizes ⎛ ⎛ M =⎝ 0 0 0 0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎜ ⎜ T =⎜ 0 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 ⎝ 0 0 0 ⎞ ⎠ 0 0 0 0 0 e 2×3 ⎞ ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎠ 0 0 5×5 são matrizes nulas. 6. (matriz identidade) É uma matriz quadrada M = (mij )n×n tal que mij = 1 sempre que i = j e mij = 0 sempre que i = j; i, j ∈ {1, . . . , n}. A notação mais usual para designarmos uma matriz identidade de ordem n é In . Adotaremos esta notação. Exemplo: ⎞ ⎛ 1 0 0 0 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ I5 = ⎜ 0 0 1 0 0 ⎟ . ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 0 1 0 ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 0 0 1 7. (Igualdade de matrizes) Duas matrizes A = (aij )m×n e B = (bij )m×n são iguais se, e somente se, aij = bij , ∀i ∈ {1, . . . , m}, ∀j ∈ {1, . . . , n}. Escreveremos A = B, neste caso. Exemplo: ⎛ A=⎝ 1 0 5 0 12 −15 −2 0 ⎞ ⎛ ⎠= B = ⎝ 1 0 5 0 12 −15 −2 0 ⎞ ⎠. 19 1.4 OPERAÇÕES COM MATRIZES Podemos considerar cada matriz como um elemento de um conjunto, o conjunto das matrizes. Designamos tal conjunto por Mm×n (R), ou por Rm×n . Assim, Mm×n (R) = {A = (aij )m×n / aij ∈ R; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n}. Existem algumas operações importantes definidas neste conjunto. Passaremos a listá-las: 1.4.1 MULTIPLICAÇÃO POR ESCALAR Muitas vezes ao trabalharmos com matrizes não estamos interessados em manusear a própria matriz, mas sim seus múltiplos. Nessas ocasiões, necessitamos saber da seguinte definição: Definição 1.4.1. Dada a matriz A = (aij )m×n ∈ Mm×n (R) e o número α ∈ R (que chamaremos de escalar), a multiplicação de α por A é dada por: α × A = α.A = (α.aij )m×n . ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 5×3 5×4 3 4 ⎠ ⎠ =⇒ 5.B = 5B = ⎝ Exemplo 1.4.1. B = ⎝ 5 × 1 5 × (−1/2) 1 −1/2 ⎛ ⎞ 15 20 ⎠. =⎝ 5 −5/2 ⎛ c c12 ⎜ 11 ⎜ ⎜ c21 c22 Exemplo 1.4.2. C = ⎜ ⎜ .. .. ⎜ . . ⎝ cm1 cm2 ⎞ . . . c1n . . . c2n .. .. . . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =⇒ −C = (−1)C = ⎟ ⎟ ⎠ . . . cmn 20 ⎛ (−1)c11 (−1)c12 ⎜ ⎜ ⎜ (−1)c21 (−1)c22 =⎜ ⎜ .. .. ⎜ . . ⎝ (−1)cm1 (−1)cm2 1.4.2 . . . (−1)c1n . . . (−1)c2n .. .. . . . . . (−1)cmn ⎛ ⎞ −c11 −c12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ −c21 −c22 ⎟=⎜ ⎟ ⎜ .. .. ⎟ ⎜ . . ⎠ ⎝ −cm1 −cm2 . . . −c1n . . . −c2n .. .. . . . . . −cmn ADIÇÃO DE MATRIZES Definição 1.4.2. Dadas as matrizes C = (cij )m×n e D = (dij )m×n , ambas em Mm×n (R), a adição de C e D, representada por C + D, é dada por: C + D = (cij ) + (dij ) = (cij + dij ). Ou seja: ⎛ ⎛ ⎞ c c12 ⎜ 11 ⎜ ⎜ c21 c22 C=⎜ ⎜ .. .. ⎜ . . ⎝ cm1 cm2 . . . c1n . . . c2n .. .. . . . . . cmn d d12 ⎜ 11 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ d ⎟ d22 ⎟ , D = ⎜ 21 ⎜ .. ⎟ .. ⎜ . ⎟ . ⎝ ⎠ dm1 dm2 ⎛ ⎞ c c12 ⎜ 11 ⎜ ⎜ c21 c22 =⇒ C + D = ⎜ ⎜ .. .. ⎜ . . ⎝ cm1 cm2 ⎛ c11 + d11 . . . c1n . . . c2n .. .. . . . . . cmn c12 + d12 ⎞ ... . . . d1n . . . d2n .. .. . . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ =⇒ ⎟ ⎟ ⎠ . . . dmn ⎛ ⎞ d d12 ⎟ ⎜ 11 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ d21 d22 ⎟+⎜ ⎟ ⎜ .. .. ⎟ ⎜ . . ⎠ ⎝ dm1 dm2 c1n + d1n ⎜ ⎜ ⎜ c21 + d21 c22 + d22 . . . c2n + d2n =⎜ ⎜ .. .. .. .. . ⎜ . . . ⎝ cm1 + dm1 cm2 + dm2 . . . cmn + dmn . . . d1n . . . d2n .. .. . . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟= ⎟ ⎟ ⎠ . . . dmn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ Obviamente, a matriz E = C + D é ainda uma matriz com m linhas e n colunas. É importante que o leitor entenda que a soma de matrizes só é possı́vel entre matrizes que possuem o mesmo número de linhas e de colunas. ⎛ Exemplo 1.4.3. C = ⎝ 3 −2 34 0 ⎞ ⎛ ⎠, D = ⎝ 2 1 −20 1 ⎞ ⎠ =⇒ C + D = 21 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ ⎛ =⎝ 3+2 −2 + 1 34 − 20 0+1 ⎞ ⎛ ⎠=⎝ 5 −1 14 1 ⎞ ⎠. ⎛ Exemplo 1.4.4. Tente agora somar as matrizes D = ⎝ ⎛ 1 ⎞ 2 1 −20 1 ⎞ ⎠e ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 ⎟ ⎟ E=⎜ ⎜ ⎟ . Não é possı́vel, não é mesmo? (Por quê?) ⎜ 0 ⎟ ⎝ ⎠ 0 1.4.3 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES Como os elementos das matrizes com que trabalhamos são números reais, é natural que as propriedades da adição de matrizes herdem as propriedades de adição de números reais. Destacaremos tais propriedades: Dadas as matrizes A = (aij )m×n , B = (bij )m×n e C = (cij )m×n em Mm×n (R), e os escalares α e β em R, temos: • Comutatividade A + B = (aij + bij ) = (bij + aij ) = B + A. Exercı́cio. Verifique a propriedade da comutatividade para o exemplo 1.4.3. • Associatividade (A+B)+C = ((aij + bij ))+(cij ) = (aij )+((bij + cij )) = A+(B+C). Exercı́cio. Verifique a propriedade da associatividade para o exemplo 1.4.3 tomando as matrizes C , D e E = C + D. • Inverso aditivo Para toda matriz A ∈ Mm×n (R), existe uma matriz M ∈ Mm×n (R), chamada de inverso aditivo de A, tal que A + M = M + A = 0, 22 onde o 0 é a matriz nula com m linhas e n colunas. Exercı́cio. Verifique que o inverso aditivo de A = (aij ) ∈ Mm×n (R) é −A = (−aij ) ∈ Mm×n (R). (Faça exemplos para convencer-se). • Distributividade (α + β)A = αA + βA e α(A + B) + αA + αB. ⎛ ⎞ 12 −5 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Exercı́cio. Dada a matriz M = ⎜ 1 0 18 ⎟ , calcule primeiro ⎠ ⎝ 0 2 25 (2 + 3)M e depois 2M + 3M. 1.4.4 MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Definição 1.4.3. Sejam A = (aij )m×n , B = (bij )n×p duas matrizes, com o número de colunas de A igual ao número de linhas de B. O produto entre A e B, que será denotado por AB é dado por: n  AB = C = (cij )m×p , onde cij = aik bkj = ai1 b1j + ai2 b2j + . . . + ain bnj . k=1 Uma pergunta natural é:por que o produto é assim definido? Uma resposta muito interessante pode ser encontrada visitando o sı́tio da Revista do Professor de Matemática e consultando o artigo do www.rpm.org.br. professor Cláudio Possani na Revista número 21. Retomando o problema do corretor de imóveis, colocando os dados das tabelas em formato de matriz de maneira que ⎛ ⎞ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 ⎟ 180.000 240.000 257.000 125.000 334.000 ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ A = ⎜ 195.000 228.000 226.000 132.000 321.000 ⎟ e B = ⎜ 1 ⎟ , ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎜ ⎟ ⎜ 3 ⎟ 179.900 217.000 249.000 146.000 330.000 ⎝ ⎠ 1 onde: ⎛ ⎞ 23 a) Cada aij significa que o i-ésimo comprador está oferecendo aij reais para comprar um apartamento do tipo j; b) Cada bi1 significa a quantidade de apartamentos disponı́veis do i-ésimo tipo. Se designarmos por C a matriz do total pago pelas empresas referente aos apartamentos, teremos: C = AB. Daı́, teremos que: ⎛ 180.000 × 3 + 240.000 × 2 + 257.000 × 1 + 125.000 × 3 + 334.000 × 1 ⎜ ⎜ C = ⎜ 195.000 × 3 + 228.000 × 2 + 226.000 × 1 + 132.000 × 3 + 321.000 × 1 ⎝ 179.900 × 3 + 217.000 × 2 + 249.000 × 1 + 146.000 × 3 + 330.000 × 1 ⎛ 1.986.000 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 1.984.000 ⎟ . ⎝ ⎠ 1.890.700 Concluimos que a primeira empresa ofereceu mais pelos apartamentos do corretor, obtendo êxito na compra. Notemos que caso a venda não fosse casada, o problema seria mais complexo e sua resolução fugiria ao escopo do nosso texto. Antes de descrever as propriedades da mutliplicação de matrizes, convidamos o leitor a fazer o seguinte exercı́cio: Verifique que: a) dada uma matriz A = (aij )m×n , é verdade que AIn = A e Im A = A; b) dada qualquer matriz quadrada M = (mij )n×n , MIn = In M = M. 24 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1.4.5 PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES Assim como no caso da adição, a multiplicação de matrizes também tem suas propriedades. Passaremos a destacá-las e prová-las: • Associatividade (AB)C = A(BC), A = (aij )m×n , B = (bij )n×p e C = (cij )p×q . Demonstração. Chamando de G = AB a matriz AB ∈ Mm×p (R), de H = BC a matriz BC ∈ Mn×q (R), de F = (AB)C a matriz (AB)C ∈ Mm×q (R), e sabendo manusear somatórios, ganhamos: fik = = p  n  gil clk = l=1  aij j=1 p  l=1  n p   l=1 bjl clk  aij bjl j=1 n  = clk =  n p   l=1  aij bjl clk = j=1 aij hjk . j=1 Assim, (AB)C = A(BC). • Distributividade em relação à adição Existem dois tipos de distributividade em relação à adição, a saber: à esquerda e à direita. A distributividade da multiplicação de matrizes em relação à adição à esquerda é dada por: C(A + B) = CA + CB, A, B ∈ Mm×n , C ∈ Ml×m . E à direita é dada por: (A + B)C = AC + BC, A, B ∈ Mm×n , C ∈ Mn×l . Demonstração. Exercı́cio para o leitor. 1.5 A TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ Definição 1.5.1. Dada uma matriz A = (aij ) ∈ Mm×n , a sua trans  posta, denotada por At (ou por AT ), é obtida por: At = aij = (aji ) ∈ 25 Mn×m . Ou seja: ⎛ ⎞ a11 a12 . . . a1n ⎜ ⎜ ⎜ a21 a22 . . . a2n A=⎜ ⎜ .. .. .. .. . ⎜ . . . ⎝ am1 am2 . . . amn ⎛ ⎞ a11 a21 . . . am1 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ a ⎟ a . . . am2 ⎟ =⇒ At = ⎜ 12 22 ⎜ .. ⎟ .. .. . . . ⎜ . ⎟ . . ⎝ ⎠ a1n a2n . . . amn ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎛ 1 2 5 121 1 56 13 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 2 34 21 3 ⎟ 56 34 6 3 ⎟. ⎟ =⇒ At = ⎜ Exemplo 1.5.1. A = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 3 21 90 0 ⎟ ⎜ 5 6 90 12 ⎟ ⎠ ⎝ ⎝ ⎠ 0 3 12 0 121 3 0 0 Lembrando que duas matrizes A = (aij )m×n e B = (bij )m×n são iguais se, e somente se, aij = bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n, e que o inverso aditivo de A = (aij )m×n é −A = (−aij )m×n , podemos definir o seguinte: Definição 1.5.2. Uma matriz quadrada A = (aij )n×n é simétrica se, e somente se, At = A. Ou seja, A = (aij )n×n é simétrica se, e somente se, aij = aji , i, j ∈ {1, . . . , n}. Definição 1.5.3. Uma matriz quadrada A = (aij )n×n é anti-simétrica se, e somente se, At = −A. Ou seja, A = (aij )n×n é anti-simétrica se, e somente se, aij = −aji , i, j ∈ {1, . . . , n}. 1.5.1 PROPRIEDADES DA TRANSPOSTA DE UMA MATRIZ A transposta de uma matriz possui algumas propriedades interessantes. Algumas são bem simples e de fácil constatação. Outras nem tanto... • (At )t = A, para toda matriz A = (aij )m×n . 26 Demonstração. Exercı́cio para o leitor. • (A + B)t = At + B t , A = (aij )m×n , B = (bij )m×n . Demonstração. Exercı́cio para o leitor. • (αA)t = αAt , A = (aij )m×n e α ∈ R. Demonstração. Exercı́cio para o leitor. • (AB)t = B t At , A = (aij )m×n , B = (bij )n×l . Demonstração. Façamos um raciocı́nio parecido com o que fizemos anteriormente para provar a associatividade da multiplicação de matrizes. Para isso, tomemos D = AB, D ∈ Mm×l (R). Pode  mos deduzir que dij l×m = (dji)l×m . Tomemos também C = B t At , C ∈ Mm×l (R). Ou seja, C = (cij )l×m . Da multiplicação n n   de matrizes sabemos que cij = bik akj . Mas bik akj = n  k=1 bki ajk . Melhorando, temos que cij = k=1 n  k=1 ajk bki (∗). Agora, k=1 olhemos para os (dij ) s: n n   aik bkj . Sabendo disso, fica claro ver que dji = ajk bki . dij = k=1 Ou seja, dij = dji = n  k=1 (∗) ajk bki = cij . k=1 Provamos que dij = cij , isto é, que D t = C. 1.6 O TRAÇO DE UMA MATRIZ Já vimos várias propriedades importantes das matrizes. Algumas serão vistas com bastante freqüência no decorrer desta obra. O leitor deverá encontrar também o uso de tais propriedades com bastante freqüência em textos mais avançados. 27 Dentro do conjunto das matrizes quadradas de ordem n, temos um conceito muito importante, que é o conceito de traço de uma matriz. Relembremos que dada uma matriz quadrada A = (aij )n×n ∈ Mn×n (R), a sua diagonal principal é o conjunto D = {ajj / 1 ≤ j ≤ n}. O próximo conceito é de suma importância no estudo de matrizes: Definição 1.6.1. Dada uma matriz A = (aij )n×n ∈ Mn×n (R), o traço n  aii = a11 + a22 + . . . + ann . de A é dado por tr(A) = i=1 ⎛ ⎞ 1 −3 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Exemplo 1.6.1. Seja a matriz M = ⎜ 2 5 0 ⎟. O seu traço é ⎠ ⎝ 9 18 0 dado por: tr(M) = 1 + 5 + 0 = 6. ⎛ ⎞ 9 −10 ⎠ e P = Exemplo 1.6.2. Dadas as matrizes O = ⎝ −4 18 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 13 −13 4 −3 ⎠ = 48, ⎠, temos que tr(O + P ) = tr ⎝ ⎝ −27 35 −23 17 ⎛ ⎛ ⎞ ⎞ 4 −3 9 −10 ⎠ + tr ⎝ ⎠= e também tr(O)+ +tr(P ) = tr ⎝ −23 17 −4 18 27 + 21 = 48. Exercı́cio. Construa mais matrizes quadradas e calcule seus traços. Calcule o traço das suas somas e compare com a soma dos seus traços. 1.6.1 PROPRIEDADES DO TRAÇO DE UMA MATRIZ O leitor já deve estar desconfiado de que o último exemplo não foi uma mera coincidência. Também deve ter visto através do último exercı́cio que a coincidência acontece com certa freqüência. Na verdade, o último exemplo serviu para ilustrar uma das propriedades do traço de uma matriz. Passaremos a listar as mais conhecidas, mas se convença de que existem muitas propriedades envolvendo o traço de 28 uma matriz, e que várias dessas propriedades fogem do escopo desse texto. Mas sempre devemos pesquisar em textos mais avançados tais coisas. O leitor curioso tende a ser um grande matemático. Sejam A = (aij ), B = (bij ), C = (cij ), D = (dij ) matrizes em Mn×n e α ∈ R. Então: • tr(αA) = αtr(A); Demonstração. Procediremos de maneira simples: Sabemos que ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ αa11 αa12 . . . αa1n ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ αa21 αa22 . . . αa2n a21 a22 . . . a2n ⎟ ⎟ =⇒ αA = ⎜ .. . ⎟ ⎜ .. .. . . .. .. .. . . .. ⎟ ⎜ . . . . . ⎝ ⎠ αan1 an1 an2 . . . ann αan2 . . . αann n  Daı́, teremos que tr(αA) = αaii = αa11 + . . . + αann = α(a11 + ⎜ ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a11 a12 . . . a1n . . . + ann ) = α n  i=1 aii = αtr(A). i=1 • tr(At ) = tr(A); Demonstração. Basta notarmos que a diagonal principal de uma matriz quadrada é igual à diagonal principal da sua transposta. • tr(A + B) = tr(A) + tr(B); Demonstração. tr(A + B) = tr(A) + tr(B). n  i=1 (aii + bii ) = n  i=1 aii + n  bii = i=1 • tr[(A + B)t ] = tr(At ) + tr(B t ); 29 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ Demonstração. Ora, sabemos que tr(C t ) = tr(C), ∀C ∈ Mn×n . Daı́: tr[(A + B)t ] = tr(A + B) = tr(A) + tr(B) = tr(At ) + tr(B t ). • tr(AB) = tr(BA). Demonstração. Lembremos que dadas as matrizes A = (aij ), B = n  aik bkj . (bij ) em Mn×n , a matriz produto C = AB é tal que cij = Logo, tomando D = BA, temos que dij = mos que tr(C) = n  dii = i=1 n  n  i=1 l=1 n  cii = i=1 bil ali = n  n  n  k=1 bil alj . Ganha- l=1 aik bki . Por outro lado, tr(D) = i=1 k=1 n  n  ail bli . Assim, tr(C) = tr(D). l=1 i=1 1.7 A INVERSA DE UMA MATRIZ O uso das matrizes é muito importante para a resolução de sistemas lineares, como veremos na unidade 3. Podemos escrever um sistema linear na forma AX = B, onde A, X, B são matrizes com suas caracterı́sticas prôprias. Quando A for invertı́vel, no sentido em que vamos definir, a última igualdade fica na forma X = A−1 B e temos a solução do sistema. Definição 1.7.1. Dada uma matriz quadrada A ∈ Mn×n (R), se existir uma matriz B ∈ Mn×n (R) tal que AB = BA = In , então dizemos que A é invertı́vel. Exercı́cio. Mostre que a inversa de uma matriz quadrada A, quando existe, é única. Denotamos a inversa de A por A−1 . Definição 1.7.2. Se A ∈ Mn×n (R) não é invertı́vel, então dizemos que A é singular. 30 ⎡ Exemplo 1.7.1. A inversa de A = ⎣ 5 2 ⎤ ⎡ ⎤ 3 −2 ⎦ é A−1 = 1 ⎣ ⎦. 13 1 3 −1 5 (Verifique!) ⎛ Exemplo 1.7.2. A matriz B = ⎝ 1 3 3 9 ⎞ ⎠ não possui inversa. Exemplo 1.7.3. Sabendo que as matrizes A, B, C, D são invertı́veis e de mesma ordem, obter X: AXC = BD. Sol.: Como A e C são invertı́veis, podemos multiplicar a expressão por A−1 à esquerda e por C −1 à direita. Daı́, teremos: AXC = BD ⇒ A−1 (AXC) = A−1 (BD) =⇒ (A−1 A)(XC) = A−1 (BD) =⇒ I(XC) = A−1 (BD) =⇒ XC = A−1 (BD). Analogamente, multiplicando a última expressão por C −1 à direita, teremos que X = A−1 (BD)C −1 . 1.7.1 PROPRIEDADES DA INVERSA DE UMA MATRIZ Listaremos algumas propriedades da inversa de uma matriz. A prova, verificação, delas é um exercı́cio para o leitor. • (A−1 )−1 = A. • (In )−1 = In , ∀n ∈ N. • (AB)−1 = B −1 A−1 , A e B são matrizes quadradas invertı́veis de mesma ordem. • (At )−1 = (A−1 )t . Pergunta: Qual é a inversa de uma matriz A =  a11  , onde a11 = 0? 1.8 ESCALONAMENTO DE UMA MATRIZ 31 É de grande utilidade em Matemática sabermos escalonar uma matriz. Só para citar algumas, mencionemos o fato de que é mais fácil calcular o determinante de uma matriz quadrada triangular (esAcessando o sı́tio tudaremos determinantes na unidade 2 ). Também é mais fácil re- www.google.com.br solver um sistema de equações lineares quando sua matriz princi- e por pal está escalonada. Outra utilidade é calcular a inversa de uma leitor matriz quadrada invertı́vel usando o método de Gauss-Jordan. De mais grande utilidade e de fácil aprendizado, aprenderemos a escalonar sobre a vida deste uma matriz utillizando o método da eliminação de Gauss, que faz grande matemático. uso de operações elementares. Assim, o método de escalona- buscando Gauss, conhecerá o mento também é conhecido como método da eliminação. Comecemos com a seguinte definição: Definição 1.8.1. Seja A = (aij ) ∈ Mm×n (R) uma matriz. Dizemos que A é escalonada se o primeiro elemento não-nulo de uma linha estiver à esquerda do primeiro elemento não-nulo de cada uma das linhas subseqüentes. Caso A tenha linhas compostas somente de zeros, então essas linhas ficam abaixo das demais. ⎛ ⎞ ⎛ 1 −9 7 0 ⎞ ⎟ ⎜ 2 9 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 2 1 1 ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Exemplo 1.8.1. As matrizes A = ⎜ 0 5 7 ⎟ e B = ⎜ ⎟ ⎠ ⎝ ⎜ 0 0 0 4 ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 1 0 0 0 0 estão escalonadas. ⎞ ⎛ 1 3 −8 0 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Exemplo 1.8.2. A matriz C = ⎜ 0 2 −3 2 0 ⎟ não está escalon⎠ ⎝ 2 0 0 19 10 ada, pois o elemento c31 é diferente de zero. Após aprendermos a definição de matriz escalonada, passaremos a descrever o método de eliminação de Gauss. Para isso, começaremos explicando o que são operações elementares em uma matriz. O adjetivo elementar se deve ao fato de que realmente são operações muito simples, como veremos a seguir: • Permutar linhas da matriz; 32 • Adicionar a uma linha o múltiplo de outra linha, ou • Substituir uma linha pela combinação linear de outras linhas. Definição 1.8.2. Dada uma matriz A, chamamos de equivalente a A a matriz obtida de A através de operações elementares. Denotaremo-la  por A. Passaremos a exemplificar tais operações elementares: ⎛ ⎞ 0 3 ⎠, obtemos a matriz Exemplo 1.8.3. Dada a matriz M = ⎝ 1 4 ⎛ ⎞ 1 4 =⎝ ⎠ através da permutação das duas linhas de M. M 0 3 ⎛ ⎞ 2 4 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Exemplo 1.8.4. A matriz D = ⎜ 0 5 2 ⎟ é equivalente à matriz ⎝ ⎠ 1 3 2 ⎞ ⎛ 1 3 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜  foi obtida de D através da permutação da  D = ⎜ 0 5 2 ⎟ pois D ⎠ ⎝ 2 4 4 sua primeira e da sua terceira linha. Exemplo 1.8.5. Adicionando à primeira linha o quı́ntuplo da terceira, ⎛ ⎞ 6 7 0 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ obtemos uma matriz equivalente para a matriz E = ⎜ 9 3 1 ⎟: ⎠ ⎝ 5 2 1 ⎛ ⎞ 31 17 5 ⎜ ⎟ ⎜ =⎜ 9 3 1 ⎟ E ⎟. ⎝ ⎠ 5 2 1 O leitor deve treinar o uso das operações elementares em várias matrizes. Elas serão muito úteis na resolução de sistemas lineares. 33 Só para citar, muitos programas de computador utilizam o método do escalonamento para resolver sistemas lineares. Descreveremos agora o processo de eliminação gaussiana de uma matriz. Conscientize-se de que o nosso objetivo é obter uma matriz escalonada, e que os exemplos acima serviram apenas para a fixação da matéria. No último exemplo, não foi uma boa operação adicionar à primeira linha o quı́ntuplo da terceira, já que a matriz E é visivel Não devemos, mente mais fácil de ser trabalhada do que a matriz E. portanto, tomar operações que não tornem a matriz equivalente mais simples do que a original. Dada uma matriz A = (aij ) ∈ Mm×n (R) qualquer, temos dois casos a analisar. O primeiro é que a11 = 0. O outro, claramente, é a11 = 0. Se a11 = 0, podemos passar ao próximo passo. Mas se a11 = 0, então permutamos a primeira linha de A com uma que possua o primeiro termo não nulo. Foi isso que fizemos no exemplo 1.7.3. Mas se A não possuir uma linha em que o primeiro termo for nãonulo, então passemos a analisar a sua segunda coluna da mesma maneira que analisamos a primeira (e que acabamos de descrever). Caso aconteça com a segunda linha o mesmo que com a primeira, passemos para a terceira e assim sucessivamente. Assumindo que a11 = 0 (ou que a1j = 0 para algum j ∈ {1, . . . , n}, caso aconteça que a11 = 0), somemos a cada linha restante de A o termo −ai1 /a11 (ou −aij /a1j ). Após esse passo, a matriz possuirá a primeira (ou a j-ésima) coluna com os elementos abaixo de a11 (ou de a1j ) iguais a zero. Agora passemos a analisar a coluna subseqüente à primeira (ou à j-ésima). Nela, nos preocupemos com a segunda linha. Façamos o mesmo raciocı́nio que fizemos no caso anterior, ou seja, vejamos se a22 (ou a2(j+1) ) é não-nulo e procedamos analogamente. Assim, depois que adicionarmos às outras linhas o termo −ai2 /a22 (ou −ai(j+1) /a2(j+1) ), a segunda (ou (j + 1)-ésima) coluna ficará com os elementos abaixo de a22 (ou de a2(j+1) ) iguais a zero. 34 Continuemos assim até termos a matriz escalonada. ⎞ ⎛ 0 9 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Exemplo 1.8.6. Dada a matriz A = ⎜ −1 2 −6 ⎟, procedamos da ⎠ ⎝ 1 3 4 seguinte maneira: 1. Como a11 = 0, mas a21 = 0 e a31 = 0, podemos escolher a linha com a qual permutaremos a primeira. Neste caso, escolhamos a terceira (Por quê?). Daı́, teremos a seguinte matriz: ⎞ ⎛ 1 3 4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ −1 2 −6 ⎟ . ⎠ ⎝ 0 9 3 2. Agora, adicionemos à segunda linha a primeira multiplicada por −(−1)/1 = 1: ⎛ ⎞ 1 3 4 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 5 −2 ⎟ . ⎝ ⎠ 0 9 3 3. Como (nesse exemplo) já possuı́mos o primeiro elemento desta última matriz nulo, passemos para a segunda coluna. Analisemos o elemento a22 . Como ele é não-nulo, adicionemos à terceira linha a segunda multiplicada por −9/5: ⎛ 1 3 4 ⎜ ⎜ ⎜ 0 5 −2 ⎝ 0 0 33/5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ Esta última matriz está, evidentemente, escalonada. Adotaremos a seguinte notação a partir de agora: 35 • Quando quisermos nos referir a uma determinada linha de uma matriz, chamaremo-la de Li , ou seja, Li representa a i-ésima linha; • Para designar um múltiplo de uma linha, usaremos αLi , que significa que a i-ésima está multiplicada por α; • Quando quisermos somar duas linhas (ou múltiplos delas), usaremos αLi + βLj , que significa que a i-ésima linha multiplicada por α foi somada à j-ésima multiplicada por β. • Quando permutarmos duas linhas, usaremos Li ←→ Lj , que significa que a i-ésima linha foi permutada com a j-ésima. Queremos com isso transcrever matematicamente as operações elementares que acabamos de aprender. Exemplo 1.8.7. Nesse raciocı́nio, o exemplo anterior pode ser escrito desta maneira: ⎛ 0 9 ⎛ ⎞ 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L1 ↔L3 A = ⎜ −1 2 −6 ⎟ −→ ⎝ ⎠ 1 3 4 ⎛ L3 +(−9/5)L2 −→ 1 3 4 ⎜ ⎜ ⎜ 0 5 −2 ⎝ 0 0 33/5 1 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L2 +L1 ⎜ −1 2 −6 ⎟ −→ ⎝ ⎠ 0 9 3 ⎛ 1 3 4 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 5 −2 ⎟ ⎝ ⎠ 0 9 3 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ 1.9 SAIBA MAIS 1. O leitor poderá acessar, no sı́tio http://strato.impa.br/, excelentes vı́deos produzidos pela equipe Coordenada pelo Professor Elon Lages Lima, do Programa de Formação de Professores do Ensino Médio. Acessando janeiro de 2002 e janeiro de 2006, o leitor encontrará vı́deos sobre o ensino de matrizes. 36 1.10 EXERCÍCIOS 1. Encontre x e y para que as matrizes A e B sejam iguais, onde: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x 2 3 18 2 3 ⎠ e B=⎝ ⎠; (a) A = ⎝ −5 2 7 −5 −y 7 ⎛ ⎛ √ ⎞ √ ⎞ −12 12 − 2 2 ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ √ √ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 3 3 − ⎜ −19 ⎜ 19 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ 2 ⎟ e B=⎜ 2 ⎟; (b) −A = ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ −y 2x ⎟ ⎜ 3 −x ⎟ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ (c) At = ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ −1 0 3x −4 √ ⎞ 18 − 5 ⎟ ⎟ 8 0 ⎟ ⎟ e ⎟ 5 −3 ⎟ ⎠ 9 0 √ ⎞ 0 2 2 ⎟ ⎟ −4 −14y ⎟ ⎟; ⎟ −5 −9 ⎟ ⎠ 3 0 0 4 √ −2 2 7 ⎛ 1 −9 ⎜ ⎜ ⎜ 0 4 −B = ⎜ ⎜ ⎜ −18 −8 ⎝ √ 5 0 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 0 ⎜ ⎟ 1 0 ⎜ ⎟ ⎠. (d) A = ⎜ ⎟ e B=⎝ √ ⎝ ⎠ − 15 8 1 3 − y x 2. Resolva a seguinte equação: ⎛ ⎝ 2 x − 1 18 −3 0 −2 3y ⎞ ⎠ ⎛ ⎛ + ⎝ −3 −20 5 4w z 18 −5 8 ⎜ ⎜ 3. Dada a matriz M = ⎜ 0 −3 1 ⎝ 12 5 0 0 ⎞ ⎠ ⎛ = ⎝ 12 t 2 5 3 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟, ⎠ 37 ⎞ ⎠. diga quem é a diagonal principal D e dê a soma dos seus elementos. 4. Construa vários exemplos de matrizes triangulares e classifiqueos quanto ao tipo. ⎛ 5. Dadas as matrizes D = ⎝ 1 9 −9 2 ⎞ ⎛ ⎠ e F = ⎝ 2 2/5 −3 7 −1 43 ⎞ ⎠, calcule −D, 2D, 4F, −5F . ⎛ ⎞ 18 −5 8 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 6. Dada a matriz M = ⎜ 0 −3 1 ⎟, calcule 5D e encontre a ⎠ ⎝ 12 5 0 soma dos elementos da diagonal principal dessa nova matriz. 7. Calcule λI4 e ache a razão entre a soma dos elementos da diagonal principal de I4 e de λI4 . Generalize. 8. Construa duas matrizes triangulares superiores de ordem 2 e verifique que a soma delas ainda é uma matriz triangular superior. Faça o mesmo para o caso de matriz triangular inferior. Generalize. ⎛ 1 3 2 ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 9. Dadas as matrizes I3 , e A = ⎜ 4 1 0 ⎟, encontre a matriz ⎝ ⎠ −1 2 9 A − λI3 . ⎞ ⎛ 12 −5 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 10. Dada a matriz M = ⎜ 1 0 18 ⎟ , calcule primeiro (2 + 3)M ⎠ ⎝ 0 2 25 e depois 2M + 3M. 11. Verifique que todo múltiplo de uma matriz identidade é uma matriz simétrica. 38 ⎡ 12. Verifique que a matriz ⎣ 0 3 −3 0 ⎤ ⎦ é anti-simétrica. 13. Construa duas matrizes simétricas de ordem 3 e verifique que a soma delas é ainda simétrica (de mesma ordem). Faça o mesmo para o caso de matrizes anti-simétricas. Generalize para matrizes simétricas e anti-simétricas de ordem n, n ∈ N. 14. Mostre que toda matriz quadrada pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica. ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 3 5 1 2 ⎠, calcule ⎠eB = ⎝ 15. Dadas as matrizes A = ⎝ 2 −1 2 4 t t t (AB) e B A . 16. Para as mesmas matrizes A e B do exercı́cio anterior, calcule (A + B)t , At + B t , (At )t , 5At e (5A)t . ⎛ 1 −3 4 ⎜ ⎜ 17. Sejam as matrizes M = ⎜ 2 5 0 ⎝ 9 18 0 ⎞ ⎛ 3 −2 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟eN =⎜ 0 5 8 ⎠ ⎝ 9 10 23 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ Calcule : (a) tr(M t ); (b) tr(M + N); (c) tr(5M + 18N); (d) tr(MN); (e) tr(NM). 18. Diga se as matrizes abaixo estão escalonadas: 39 ⎛ (a) A = ⎝ 1 0 0 0 ⎛ ⎞ ⎞ ⎛ 1 3 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 9 4 −2 ⎟ ⎟ (b)B = ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ 0 5 6 ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 7 ⎞ ⎠ ⎛ 0 3 4 −1 0 3 ⎜ ⎜ (c)C = ⎜ 0 0 0 −4 −3 8 ⎝ 0 0 0 0 5 7 ⎛ ⎞ 8 −5 7 −2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (d)D = ⎜ 0 −3 4 −1 ⎟ ⎠ ⎝ −2 0 0 0 ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ 2 −9 4 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 2 −4 −6 −9 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ (e)E = ⎜ 0 9 7 7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 0 0 2 1 ⎟ ⎝ ⎠ 0 0 0 1 19. Escalone as seguintes matrizes: ⎛ (a) A = ⎝ ⎛ 3 2 8 9 2 0 ⎛ ⎞ ⎜ ⎜ (b) B = ⎜ 2 −1 4 ⎝ 1 2 3 ⎠ 0 0 ⎜ ⎜ (c) C = ⎜ 0 2 −3 4 ⎝ 9 17 0 −1 ⎛ 0 −8 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 1 0 2 0 −1 3 ⎜ ⎜ (e) E = ⎜ 3 2 3 −1 0 0 ⎝ 0 0 1 0 2 −4 ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 0 10 1 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ 1 −1 −3 0 0 (d)D = ⎜ ⎜ ⎜ −1 0 2 0 1 ⎝ 0 0 1 8 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 40 1.11 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A Matemática do Ensino Médio. Volume 3. 6.ed.. Rio de Janeiro: SBM, 2006. 41 Unidade 2 Determinantes Resumo Apresentamos como associar uma matriz quadrada a um número real. A essa associação damos o nome de determinante. Aprenderemos como calcular o determinante de matrizes (quadradas) de qualquer ordem, através dos métodos de Laplace, Chió, Sarrus e outros. Estabeleceremos uma condição necessária e suficiente para determinar se uma dada matriz admite inversa. Vários conceitos importantes, como o de cofator, matriz adjunta, polinômio característico, e outros são apresentados. ÍNDICE UNIDADE 2. Determinantes 2.1 Introdução 2.2 Determinante de uma matriz de ordem 2 × 2 2.3 Determinante de uma matriz de ordem 3 × 3 2.4 Propriedades dos determinantes 2.5 Determinantes de matrizes de ordem arbitrária 2.5.1 Teorema de Laplace 2.5.2 Regra de Chió 2.6 Matriz Adjunta 2.7 Polinômio característico 2.8 Saiba mais 2.9 Exercícios 2.10 Respostas 2.11 Referência Bibliográfica Unidade 2 DETERMINANTES 2.1 INTRODUÇÃO Mais No conjunto das matrizes existe um subconjunto muito importante informações para a Matemática. É o subconjunto das matrizes quadradas. Nele, sobre a origem podemos definir uma função f : Mn×n (R) → R. Assim, associamos do termo deter- cada matriz quadrada a um número real. Denominamos essa função minante podem de determinante, e designamos f (A) = det A. Há muita controvérsia ser encontradas acerca do surgimento dos determinantes. Alguns admitem que os na Revista determinantes surgiram há 2000 anos na China Antiga, pois existem número 21, em resquı́cios de que os chineses usavam algo parecido com determi- www.rpm.org.br. nantes para resolver sistemas lineares, assunto que estudaremos na unidade 3. Desde a invenção dessa importante função, vários avanços foram conseguidos e hoje sabemos que a função determinante serve para inúmeras coisas, como calcular a área de um paralelogramo, o volume de um paralelepı́pedo, entre outras aplicações. Além de ajudar a resolver sistemas lineares, conteúdo a ser estudado na unidade 3, o determinante serve também para encontrar a inversa de uma matriz, caso exista. Começaremos o estudo dos determinantes vendo,inicialmente,o caso de uma matriz quadrada de ordem 2, isto é, matriz do tipo 2 × 2. Após isso, veremos como calcular determinantes de matrizes 44 quadradas do tipo 3 × 3 e, então aprenderemos como calcular o determinante de uma matriz quadrada do tipo n × n. 2.2 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM 2 Há um ditado popular que afirma que não se pode construir uma casa começando pelo telhado. Primeiro constrói-se a base para então construir o restante. Assim também é estruturado o conhecimento. Primeiro aprendemos o básico para então galgarmos aprender o mais difı́cil. Não podemos pensar em calcular o determinante de uma matriz do tipo 5 × 5 sem sabermos calcular o determinante de uma matriz do tipo 2 × 2. Afinal, várias maneiras existentes de calcular determinante de matrizes de ordens superiores a três usam o cálculo elementar do determinante de matrizes de ordem 2. Antes de aprendermos como calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 2, vejamos o que acontece para o caso de uma matriz de ordem 1. Definição 2.2.1. Seja uma matriz A de ordem 1. Seu determinante é dado por det A = a11 . Ou seja, o determinante de uma matriz quadrada de ordem 1 é igual ao único elemento que compõe a matriz. Assim, como duas matrizes são iguais se, e somente se, os seus elementos são iguais, ganhamos que o conjunto das matrizes quadradas de ordem 1 possui uma correspondência biunı́voca com o conjunto dos números reais. A função determinante associa a cada matriz B = (b11 ) ∈ M1×1 (R) um número real det B = b11 , de maneira única. Exemplo 2.2.1. A =
2  ⇒ det A = 2. Exemplo 2.2.2. ∀α ∈ R, A =
 α ⇒ det A = α. 45 Passemos ao cálculo do determinante de matrizes quadradas de ordem 2. Descreveremos uma maneira rápida e sutil de se calcular o determinante de tais matrizes. Para isso, tomemos a seguinte definição: ⎞ ⎛ Definição 2.2.2. Dada uma matriz A = ⎝ a11 a12 ⎠, o seu determi- a21 a22 nante é dado por det A = a11 a22 − a12 a21 . Ou seja, o determinante de A é obtido pela diferença entre o produto dos elementos da diagonal prinicipal de A pelo produto dos elementos da sua diagonal secundária; Ou seja:    a11 a12 det A =   a21 a22 ⎛ Exemplo 2.2.3. Seja B = ⎝ = −16 − 12 = −28. 2     = a11 a22 − a12 a21 .   3 4 −8 ⎞ ⎠. Então det B = 2×(−8)−3×4 = 2.3 DETERMINANTE DE UMA MATRIZ DE ORDEM 3 Continuando o estudo dos determinantes, chegamos enfim ao cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem 3. Existem várias maneiras de se calcular tais determinantes. Algumas pessoas até ocupam seu tempo tentando descobrir alguma maneira nova de se calcular o determinante de uma matriz quadrada do tipo 3 × 3. Outras costumam decorar as diversas maneiras existentes. O objetivo desta seção não é ensinar as inúmeras maneiras de se calcular os determinantes desse tipo de matrizes. O leitor deve 46 dar - se por satisfeito conseguindo aprender pelo menos uma dessas maneiras. Afinal, o mais importante agora é chegar ao resultado, e não discutir as vias que resultam nele. Definição 2.3.1. Seja A = (aij )3×3 . O determinante de A é dado por: det A = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a32 a21 −(a13 a22 a31 +a12 a21 a33 +a11 a32 a23 ). Ou seja,    a11 a12 a13   det A =  a21 a22 a23    a31 a32 a33       = a11 a22 a33 +a12 a23 a31 +a13 a32 a21 −(a13 a22 a31 +    +a12 a21 a33 + a11 a32 a23 ). A fórmula acima é difı́cil de se memorizar, mas existem maneiras simples de lembrá-la. Vejamos o método de Sarrus para calcular o determinante de matrizes 3 × 3: • Primeiro escrevemos a matriz e repetimos à sua direita as suas primeira e segunda colunas. (Lembre-se de não por os ( )
s!); • Depois, traçamos setas de acordo com a figura abaixo; • Calculamos o produto dos elementos da matriz segundo elas; • Para as setas que ficam na direção e sentido da da diagonal secundária tomamos o oposto do produto. Para as setas que ficam na direção e sentido da diagonal principal tomamos o valor do produto sem alterações; • Somamos os valores encontrados. Esse método é conhecido como regra de Sarrus. ⎛ 1 3 5 ⎜ ⎜ Exemplo 2.3.1. O determinante da matriz A = ⎜ 9 3 0 ⎝ 2 18 −7 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ é ⎠ det A = 1×3×(−7)+3×0×2+5×9×18−(5×3×2+1×0×18+3×9×(−7)) = 948. 47 Figura 2.1: Regra de Sarrus ⎛ ⎞ 1 7 12 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Exemplo 2.3.2. O determinante da matriz B = ⎜ 0 5 3 ⎟ é igual ⎝ ⎠ 0 0 1 a 5. (Verifique!) Outra maneira muito simples de se memorizar o cálculo do determinante de uma matriz do tipo 3 × 3 é a seguinte: Figura 2.2: Determinante de uma matriz 3 × 3 2.4 PROPRIEDADES DOS DETERMINANTES Esta seção abordará várias propriedades dos determinantes. O conhecimento dessas propriedades é de grande importância para o cálculo de determinantes de matrizes quadradas de ordem maior que 48 3. Elas servem também para determinantes de ordem 2 e 3. As propriedades que listaremos a seguir devem ser estudadas mais profundamente, visto que de posse delas e com um pouco de maturidade conseguimos resolver vários determinantes sem fazer cálculos demasiados. Isto é, com elas conseguimos poupar tempo na resolução de determinantes de matrizes de ordens muito grandes. Apesar de termos até agora visto somente como calcular determinantes de matrizes de ordem 1, 2 e 3, enunciaremos as propriedades para o caso geral, i.e., para o caso de matrizes quadradas de ordem n, n ∈ N. Convidamos o leitor a tentar demonstrá-las, ou verificá-las através de vários exemplos. • Matriz com linhas ou colunas nulas É fato que o determinante de toda matriz nula é nulo. Mas o interessante é que isto também se verifica quando somente uma linha (ou coluna) da matriz é formada apenas por zeros. Ou seja, ⎛ se a a ⎜ 11 12 .. ⎜ .. ⎜ . . ⎜ ⎜ A=⎜ 0 0 ⎜ ⎜ .. .. ⎜ . . ⎝ an1 an2 então det A = 0. ⎛ 1 5 9 ⎜ ⎜ Exemplo 2.4.1. det ⎜ 0 0 0 ⎝ 2 −2 3      0 3   = 0.  Exemplo 2.4.2.    0 4       0 0   = 0.  Exemplo 2.4.3.    1 3  ⎛ 0 3 −7 ⎜ ⎜ Exemplo 2.4.4. det ⎜ 0 2 0 ⎝ 0 5 1 ⎞ . . . a1n ⎟ .. ⎟ ... . ⎟ ⎟ ⎟ ... 0 ⎟, ⎟ .. ⎟ ... . ⎟ ⎠ . . . ann ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = 0. ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = 0. ⎠ 49       Exemplo 2.4.5.      1 4 0 3 9 3 0 2 0 0 0 0 1 −2 0 2        = 0.      • det A = det At Esta propriedade diz que o determinante de uma matriz é igual ao da sua transposta. O leitor certamente já tinha percebido a essa propriedade. ⎛ Exemplo 2.4.6. det ⎝ 1 9 −6 7 ⎞ ⎛ ⎠ = det ⎝ 1 −6 9 7 ⎞ ⎠. • Linhas ou colunas iguais Esta propriedade bastante interessante pode ser provada usando o teorema de Cauchy que será enunciado na próxima seção, como o leitor atento poderá perceber. Mas voltando ao principal, esta propriedade nos diz que se uma matriz quadrada possuir duas (ou mais) linhas (ou colunas) iguais, então seu determinante será nulo.    1 3    2 2   Exemplo 2.4.7.  −3 −4    1 3    0 1 é igual à primeira.    1 −9 1   Exemplo 2.4.8.  2 8 2    3 5 3 5 3 7 4 5 9 7 10 −1 5 3 7 5 3 2          = 0, pois a quarta linha             = 0. (Você sabe dizer por quê?)    50     8 x 2  x + 1 x + 2 (x − 4) 3 2 x       1 3 −2 2 −8 6       4 −1 93 0 0 7   = 0,  Exemplo 2.4.9.    1 3 −2 2 −8 6       0 5 2 19 17 6       −1 (log 3)x 3 2 0 1  ∀x ∈ R. Viu como ajuda? • Linhas ou colunas proporcionais No mesmo raciocı́nio do ı́tem anterior, temos que o determinante de uma matriz quadrada é nulo se ela possuir duas (ou mais) linhas (ou colunas) proporcionais. Ou seja, se ela possuir pelo menos uma linha (ou coluna) múltipla de outra linha (ou coluna), seu determinante será nulo. Note que o caso anterior é uma particularidade deste quando o fator de proporcionalidade é igual a 1.         Exemplo 2.4.10.        1 3 5 3 7 2 2 4 5 9 7 10 −1 −3 −4 8 24 40 24 56 0 1 5 3 2          = 0,       pois a quarta linha é igual à primeira multiplicada por 8. Exercı́cio. Construa mais exemplos de matrizes em que suas linhas (ou colunas) são proporcionais e calcule seus determinantes. • Determinante de matriz triangular Esta propriedade diz que o determinante de qualquer matriz triangular superior é igual ao produto dos elementos componentes da diagonal principal. Ou seja, se D = {a11 , . . . , ann } é a diagonal principal de A e A é triangular superior, então n det A = aii = a11 × a22 × . . . × ann . i=1 51 ⎞ ⎛ 9 2 10 −4 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 3 4 1 ⎟ ⎟ Exemplo 2.4.11. O determinante da matriz D = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 2 1 ⎟ ⎠ ⎝ 0 0 0 2 é igual a det A = 108. Exercı́cio:O leitor poderia, somente usando as propriedades listadas até agora, explicar por que o determinante de uma matriz triangular inferior também é igual ao produto dos elementos da diagonal principal? ⎛ 2 0 ⎜ ⎜ ⎜ 100 −1 Exemplo 2.4.12. A matriz B = ⎜ ⎜ ⎜ −1 3000 ⎝ 1 1010 0 0 ⎞ ⎟ ⎟ 0 0 ⎟ ⎟ é triangular ⎟ 2 0 ⎟ ⎠ 2 8 (De que tipo?) e possui determinante det B = 2 × (−1) × 2 × 8 = −32. • Multiplicação de linha ou coluna por um escalar Quando multiplicamos uma linha ou coluna por um escalar, o seu determinante fica multiplicado por esse número. ⎞ ⎛ 7 21 ⎠ pode Exemplo 2.4.13. Notemos que a matriz M = ⎝ 1 2 ⎛ ⎞ ⎛ 7×1 7×3 1 3 ⎠. Daı́, det M = 7 det ⎝ ser vista como M = ⎝ 1 2 1 2 7 × (−1) = −7. ⎛ 2 8 ⎜ ⎜ Exemplo 2.4.14. Calcular o determinante da matriz A = ⎜ 3 9 ⎝ 15 5 ⎛ ⎞ 2×1 2×4 2×2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Podemos ver A desta maneira: ⎜ 3 × 1 3 × 3 3 × 4 ⎟. (Pode⎝ ⎠ 5×3 5×1 5×5 mos?) 52 ⎞ ⎠= 4 ⎞ ⎟ ⎟ 12 ⎟. ⎠ 25 ⎛ 2×1 2×4 2×2 ⎜ ⎜ Daı́, det A = det ⎜ 3 × 1 3 × 3 3 × 4 ⎝ 5×3 5×1 5×5 ⎞ ⎛ ⎞ 1 4 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ = 2×3×5×det ⎜ 1 3 4 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ 3 1 5 = 2 × 3 × 5 × 23 = 690. Agora o leitor está apto a dizer quanto vale det αA, onde α ∈ R e A ∈ Mn×n . (Ou não?) Vejamos mais detalhadamente a matriz ⎞ ⎛ αA: αa11 αa12 ⎜ ⎜ ⎜ αa21 αa22 αA = ⎜ .. ⎜ .. ⎜ . . ⎝ αan1 αan2 . . . αa1n . . . αa2n .. .. . . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ . . . αann Claramente vemos que α multiplica cada linha da matriz A. Pela propriedade que enunciamos neste ı́tem, o determinante de A ficará multiplicado pelos escalares que multiplicam as suas linhas, que neste caso são todos iguais a α: det αA = α × α × . . . × α det A = αn det A. n vezes ⎛ Exemplo 2.4.15. Dada a matriz D = ⎝ 3 10 9 −7 ⎞ ⎠, calcule det 5D. Pela propriedade que acabamos de ver det 5D = 5 × 5 det D = 52 det D = = 25 × (−111) = −2775. • Teorema de Jacobi Acessando o sı́tio Recordemos o seguinte fato: dada uma matriz quadrada A, a www.google.com.br  é obtida através de operações elementares. sua equivalente A e Uma pergunta interessante é: como determinar det A conhecendo buscando Jacobi, conhecerá o por leitor mais sobre a vida deste  ? O teorema de Jacobi responde a essa pergunta: det A Teorema 2.4.1. Seja A uma matriz quadrada. O determinante de A é igual ao de qualquer equivalente sua. grande matemático. 53 A importância do teorema acima é inmensurável. De posse dele, podemos calcular o determinante de uma matriz apenas calculando o da sua escalonada. (Por que é mais fácil calcular o determinante de uma matriz escalonada?) Assim, ao invés de calcularmos o determinante de uma matriz do tipo 4×4, escalonamo-a e calculamos o seu determinante. ⎛ ⎞ 0 9 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Exemplo 2.4.16. A matriz escalonada de A = ⎜ −1 2 −6 ⎟ ⎝ ⎠ 1 3 4 ⎞ ⎛ 1 3 4 ⎟ ⎜ ⎟ =⎜ é A ⎜ 0 5 −2 ⎟. (Exemplo 1.7.6) ⎠ ⎝ 0 0 33/5  = 33. (Por que Portanto, pelo teorema de Jacobi, det A = det A  = 33?) det A • Teorema de Binet Acessando o sı́tio Quando multiplicamos duas matrizes quadradas, inquirimos ac- www.google.com.br erca do determinante deste produto. Como se relaciona o deter- e minante do produto de duas matrizes com os seus respectivos buscando por Binet, o leitor con- determinantes? hecerá mais sobre Teorema 2.4.2. Sejam A e B duas matrizes quadradas de or- a vida deste grande dem n. O determinante do seu produto é igual ao produto dos matemático. seus respectivos determinantes, isto é, se A e B são matrizes quadradas, então det(AB) = det A det B. Ilustremos o teorema de Binet com alguns: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 4 −1 0 ⎠, B = ⎝ ⎠ =⇒ Exemplo 2.4.17. A = ⎝ 9 0 6 −7 ⎛ ⎞ 23 −28 ⎠ =⇒ det(AB) = −252. =⇒ AB = ⎝ −9 0 Agora note que det A = −36 e det B = 7. Assim, det A det B = −252. 54 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 1 7 2 1 2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ Exemplo 2.4.18. C = ⎜ −2 4 −6 ⎟, D = ⎜ −9 0 6 ⎟ =⇒ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 0 8 0 0 5 1 ⎛ 62 12 47 ⎜ ⎜ =⇒ CD = ⎜ −38 −34 12 ⎝ −72 0 48 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ Ao invés de calcularmos o determinante da última matriz, usamos o teorema de Binet e afirmamos que det(CD) = det C det D = 48 × 1620 = 25920. 2.5 DETERMINANTES DE MATRIZES DE ORDEM n Aprenderemos nessa seção maneiras de se calcular o determinante de matrizes quadradas de qualquer ordem. Assim, pedimos bastante atenção do estudante durante a sua leitura. Alguns métodos necessitam de certo esforço minemônico devendo, por isso, ser estudados com mais afinco. Veremos conceitos necessários para conseguirmos calcular determinantes através dos métodos de Laplace e de Chió. Com isso, poderemos resolver problemas matemáticos mais avançados que necessitem de matrizes quadradas de ordem grande e de seus respectivos determinantes. Convidamos o leitor a procurar, na BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA, aplicações de determinantes e o instigamos a resolver os exercı́cios. Somente com resolução de exercı́cios é que conseguimos solidificar o conhecimento matemático. Procure resolver a maior quantidade possı́vel de exercı́cios referentes a essa seção, pois nesta unidade talvez ela seja a mais importante. Começaremos esta seção aprendendo o método de Laplace para o 55 cálculo de determinantes de matrizes de ordem arbitrária. 2.5.1 TEOREMA DE LAPLACE O teorema de Laplace é, sem dúvida, o mais elegante para o cálculo do determinante de uma matriz. Muitos autores tomam a definição de determinante como o próprio teorema de Laplace. Antes de enunciarmo-lo, vejamos primeiramente o conceito de cofator, que é necessário para o seu perfeito entendimento. Definição 2.5.1 (Cofator). Seja A = (aij ) ∈ Mn×n (R) uma matriz dada. O cofator do elemento aij é o número Aij = (−1)i+j det Mij , onde Mij é a matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j da matriz A. ⎛ 1 2 3 4 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 5 6 7 8 ⎟ ⎟. Calculemos o ⎜ Exemplo 2.5.1. Seja a matriz A = ⎜ ⎟ ⎜ 9 10 11 12 ⎟ ⎠ ⎝ 13 14 15 16 cofator do elemento a23 (Não confunda aij com Aij !). Para isso, notemos ⎛ que M23 1 2 4 ⎜ ⎜ = ⎜ 9 10 12 ⎝ 13 14 16 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. (Concorda?) Daı́, det M23 = 0 e então ⎠ A23 = (−1)2+3 det M23 = 0. ⎛ 2 −8 4 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 3 Exemplo 2.5.2. Para a matriz D = ⎜ ⎜ ⎜ 9 −2 4 ⎝ 1 0 −4 D32 . 5 ⎞ ⎟ ⎟ 4 ⎟ ⎟, calcule D14 e ⎟ 3 ⎟ ⎠ 5 Vejamos primeiramente quem são as matrizes M14 e M32 : 56 ⎛ M14 0 0 3 ⎜ ⎜ = ⎜ 9 −2 4 ⎝ 1 0 −4 ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ ⎟, ⎠ M32 ⎞ 2 4 5 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ 0 3 4 ⎟. ⎠ ⎝ 1 −4 5 Logo teremos que det M14 = 6 e det M32 = 63 e então D14 = (−1)1+4 det M14 = −6, D32 = (−1)3+2 det M32 = −63. Exemplo 2.5.3. Calcule C11 e C42 , onde C ⎛ 12 4 −26 ⎜ ⎜ ⎜ 23 34 19 C=⎜ ⎜ ⎜ 11 −15 31 ⎝ 72 −30 0 é tal que ⎞ 32 ⎟ ⎟ −7 ⎟ ⎟ ⎟ 14 ⎟ ⎠ −1 . Novamente, vejamos quem são as matrizes M11 e M42 : ⎛ M11 ⎞ 34 19 −7 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ −15 31 14 ⎟, ⎠ ⎝ −30 0 −1 ⎛ M42 ⎞ 12 −26 32 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ = ⎜ 23 19 −7 ⎟ . ⎠ ⎝ 11 31 14 Daı́, teremos que C11 = (−1)1+1 det M11 = 15544 e C42 = (−1)4+2 det M42 = 32298. Nos últimos exemplos vimos a regra do cofator aplicada a elementos de matrizes do tipo 4 × 4,m as podemos aplicá-la em casos de matrizes de ordem 2 e 3. Vejamos o exemplo seguinte: ⎞ ⎛ 2 9 8 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ Exemplo 2.5.4. Calcule E21 , E22 e E23 onde E = ⎜ 3 5 6 ⎟. ⎠ ⎝ 9 1 1 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 9 8 2 8 ⎠, M22 = ⎝ ⎠, Vejamos as matrizes M21 , M22 e M23 : M21 = ⎝ 1 1 9 1 ⎞ ⎛ 2 9 ⎠. M23 = ⎝ 9 1 Logo, E21 = (−1)2+1 det M21 = −1, E22 = (−1)2+2 det M22 = −70 e E23 = (−1)2+3 det M23 = 79. 57 No exemplo anterior, se calcularmos det E usando a regra de Sarrus, encontraremos 121 como resposta. Se calcularmos e21 × E21 + Acessando o sı́tio www.google.com.br e buscando Laplace, o conhecerá e22 × E22 + e23 × E23 , também encontramos 121 como resposta. Não foi mera coincidência. Isto pode ser explicado pelo seguinte teorema: por Teorema 2.5.2 (Laplace). Seja A uma matriz quadrada de ordem n, leitor n ≥ 2. O seu determinante é igual à soma dos produtos dos elementos mais de uma fila qualquer pelos respectivos cofatores. Ou seja, det A = n  aij Aij , onde i é o ı́ndice de uma linha de A. sobre a vida deste grande matemático. j=1 ⎛ 1 5 6 3 ⎜ ⎜ ⎜ 9 8 4 −1 Exemplo 2.5.5. Calcular o determinante da matriz D = ⎜ ⎜ ⎜ 0 1 3 1 ⎝ 4 −5 6 −8 usando o método de Laplace. Comecemos escolhendo uma fila de D. Como o determinante de n  D, pelo teorema de Laplace, é det D = dij Dij , escolheremos uma j=1 fila que possua pelo menos um elemento igual a zero, para facilitarmos os cálculos. Nesse raciocı́nio, escolheremos a teceira fila, já que ela possui um zero.(Convidamos o leitor a calcular o determinante de D escolhendo uma das outras filas restantes). Calculemos os cofatores D32 , D33 , D34 . (Por que não é necessário calcular D31 ?) Com um cálculo rápido, o leitor facilmente chegará à solução D32 = −496, D33 = 40 e D34 = 584. Portanto, det D = 0.D31 + 1.D32 + 3.D33 + 1.D34 = −496 + 120 + 584 = 208. Encerraremos esta seção enunciando o seguinte teorema: Acessando o sı́tio www.google.com.br e buscando Cauchy, o por Teorema 2.5.3 (Cauchy). A soma dos produtos dos elementos de uma fila pelos cofatores dos elementos correspondentes de outra fila paralela é igual a zero. leitor mais Admitiremos este último teorema sem demonstração. Convidamos sobre a vida deste o leitor a comprová-lo para o caso de uma matriz quadrada de ordem grande matemático. 2. conhecerá 58 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 2.5.2 REGRA DE CHIÓ Certamente o leitor deve ter percebido a dificuldade de calcular determinantes de matrizes de ordem muito grande. A regra de Laplace é muito bonita, mas para determinantes de matrizes de ordem superior a 10, ( bf por exemplo), ela fica pouco usual. Imagine ter que calcular o determinante de uma matriz do tipo 20 × 20 usando o método de Laplace e dispondo de pouco tempo! A menos que você consiga calcular determinantes mentalmente, esta tarefa seria um desafio quase que insolucionável. Como seria bom se conseguı́ssemos calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 4 apenas solucionando o de uma de ordem 3! Ou mesmo calcular o de uma de ordem 3 somente Acessando o sı́tio solucionando o de uma de ordem 2! Em suma, seria muito bom se www.google.com.br soubéssemos uma maneira de calcular o determinante de uma matriz e por quadrada de ordem n apenas calculando o de uma matriz de ordem Chió, o leitor con- (n − 1). A regra de Chió ajuda-nos a solucionar nosso problema. Ela hecerá mais sobre permite o cálculo do determinante de uma matriz quadrada de ordem a vida deste grande n através do cálculo do determinante de uma matriz quadrada de or- matemático. dem n − 1. Assim, dada uma matriz ⎛ a a ⎜ 11 12 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎜ .. .. ⎜ . . ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ an1 an2 buscando ⎞ . . . a1n ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . . . a2n ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ . ⎟ .. . .. ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ . . . ann n×n sabemos como, através de operações elementares, torná-la equiva (também quadrada de ordem n) cujo termo  lente a uma matriz A a11 é igula a 1. (Sabemos mesmo?) Então, assumindo que a matriz quadrada A possui o elemento a11 = 1, procedamos desta forma: 59 • Destaque o elemento a11 = 1; • Desconsidere a primeira linha e a primeira coluna da matriz; • Subtraia, de cada elemento aij restante, o produto ai1 a1j ; • Com os resultados da passagem anterior, formamos uma matriz quadrada de ordem n − 1: ⎛ a − a21 a12 a23 − a21 a13 ⎜ 22 ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ a32 − a31 a12 a33 − a31 a13 ⎜ ⎜ A=⎜ ⎜ ⎜ .. .. ⎜ . . ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ an2 − an1 a12 an3 − an1 a13 . . . a2n − a21 a1n . . . a3n − a31 a1n .. .. . . . . . ann − an1 a1n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ n×n • Calculamos o determinante da matriz A obtida. Notemos que antes de calcularmos o determinante da matriz obtida podemos repetir o processo até encontrarmos uma matriz quadrada de ordem menor cujo determinante seja mais fácil de calcular. Exemplo 2.5.6. Vamos calcular o determinante da matriz ⎛ ⎞ 1 5 6 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ 9 8 4 −1 ⎟ ⎟. D=⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 3 1 ⎟ ⎠ ⎝ 4 −5 6 −8 Por sorte (será mesmo?), temos que a11 = 1. Daı́, seguindo a seqüência de passos descrita acima, chegamos a: ⎛ 8 − 9 × 5 4 − 9 × 6 −1 − 9 × 3 ⎜ ⎜ D =⎜ 1−0×5 3−0×6 1−0×3 ⎝ −5 − 4 × 5 6 − 4 × 6 −8 − 4 × 3 ⎞ ⎛ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟=⎜ ⎠ ⎝ −37 −50 −28 1 3 1 −25 −18 −20 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ Portanto, pela regra de Chió, teremos que det D = det D = 208. (Reconhece esse resultado?) 60 2.6 MATRIZ ADJUNTA Convidamos o leitor a revisar o conceito de matriz inversa. Na unidade 1 não ensinamos como calcular a inversa de uma matriz invertı́vel. Aqui aprenderemos uma condição necessária e suficiente para sabermos se existe a inversa de uma matriz quadrada. Após isso, aprenderemos um método para calcular tal inversa. Na próxima unidade aprenderemos outro método. Na seção anterior aprendemos a calcular o cofator de um elemento de uma matriz quadrada de ordem arbitrária. Lá vimos que dada uma matriz B = (bij ) ∈ Mn×n , o cofator do elemento bij é dado por Bij = (−1)i+j det Mij , onde Mij é a matriz obtida eliminando-se a i-ésima linha e a j-ésima coluna de B. Assim, se calcularmos todos os cofatores dos elementos de B, obteremos a matriz dos seus cofatores, que designaremos por B: ⎞ ⎛ B12 . . . B1n B ⎟ ⎜ 11 ⎟ ⎜ ⎜ B21 B22 . . . B2n ⎟ ⎟ B=⎜ ⎜ .. .. ⎟ . .. .. . ⎜ . . ⎟ . ⎠ ⎝ Bn1 Bn2 . . . Bnn ⎞ ⎛ 1 0 0 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 2 3 0 1 ⎟ ⎟ e C é a matriz Exemplo 2.6.1. Encontre C, onde C = ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 1 2 ⎟ ⎠ ⎝ 0 1 0 0 dos cofatores de C. Após calcularmos todos os dezesseis cofatores de C, encontramos a seguinte solução para o problema: (Verifique!) ⎞ ⎛ −1 0 −4 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 3 0 2 −1 ⎟ ⎟. C=⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 0 5 0 ⎟ ⎠ ⎝ −9 5 −6 3 61 Agora estamos aptos a definir o significado de matriz adjunta. Ela está intimamente ligada à inversa de uma matriz invertı́vel. Definição 2.6.1 (Matriz adjunta). Sejam M uma matriz quadrada de ordem n e M a matriz dos cofatores de M. A matriz adjunta de M, que designaremos por M ∗ é dada por: M ∗ = Mt . Ou seja, a adjunta de uma matriz é obtida tomando-se a transposta da matriz dos seus cofatores. Vejamos um: ⎛ 1 0 ⎜ ⎜ ⎜ 2 3 Exemplo 2.6.2. Para a matriz C = ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 ⎝ 0 1 ⎛ −1 0 −4 0 3 ⎞ ⎟ ⎟ 0 1 ⎟ ⎟, sabemos que ⎟ 1 2 ⎟ ⎠ 0 0 2 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 3 0 2 −1 ⎟ ⎟. ⎜ C=⎜ ⎟ ⎜ 0 0 5 0 ⎟ ⎠ ⎝ −9 5 −6 3 Logo, como C ∗ = Ct , ganhamos que ⎛ −1 3 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 ∗ C =⎜ ⎜ ⎜ −4 2 ⎝ 2 −1 0 −9 ⎞ ⎟ ⎟ 0 5 ⎟ ⎟. ⎟ 5 −6 ⎟ ⎠ 0 3 Exercı́cio: Construa várias matrizes quadradas e calcule suas adjuntas. Exercı́cio: Para a matriz C do exemplo anterior, calcule det C e depois calcule CC ∗ e C ∗ C. Repita esse processo para as matrizes do exercı́cio anterior. (Consegue deduzir algo?) Exercı́cio: Construa uma matriz quadrada A de determinante não1 nulo e encontre a matriz A = A∗ . Após isso, calcule AA e AA. det A 62 O que você pode concluir sobre A? (Repita este exercı́cio várias vezes.) Se o leitor foi bem-sucedido no exercı́cio anterior, então deve ter percebido que o produto AA = AA = I (I é a matriz identidade!). Relembrando o conceito de matriz inversa, apresentado na unidade 1, o leitor poderá constatar que se o determinante de uma matriz A é não-nulo, então a matriz admite inversa. Além disso, veremos que a 1 inversa dessa matriz é igual a A∗ . Assim, podemos enunciar a det A seguinte proposição: Proposição 2.6.2. Dada uma matriz quadrada A ∈ Mn×n , existe A−1 se, e somente se, det A = 0. Para provarmos essa proposição precisaremos do seguinte lema: Lema 2.6.1. Dada uma matriz quadrada M de determinante não nulo, 1 M ∗ , onde M ∗ é a matriz adjunta a sua inversa é dada por M −1 = det M de M. Demonstração. Para provar que M −1 = 1 M ∗ é suficiente mostrar det M que MM ∗ = M ∗ M = (det M)In . (Concorda?) Tomando D = MM ∗ , teremos que (lembra da definição de produto n  mik m∗kj , onde os m∗kj são os elementos de de matrizes?) dij = k=1 M ∗ . Como M ∗ é a adjunta de M, resulta que m∗kj = Mjk . Substituindo n  mik Mjk . Temos dois casos a estes valores, chegamos a dij = k=1 analisar: • Se i = j, então dij = n  mik Mik . Mas isto é, pelo teorema de k=1 Laplace, o determinante da matriz M. 63 • Caso contrário, então dij é a soma dos produtos dos elementos de uma linha de M pelos cofatores dos elementos de outra linha. O teorema de Cauchy afirma que dij = 0. Assim, a matriz D é tal que: • Se i = j (que corresponde aos elementos da diagonal principal de D) então dij = det M; • Se i = j, então dij = 0. ⎛ det M 0 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 det M 0 ⎜ ⎜ Portanto, D = ⎜ 0 0 det M ⎜ ⎜ .. .. .. ⎜ . . . ⎝ 0 0 0 ... 0 ... 0 ... .. . 0 .. . . . . det M ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ A outra parte demonstra-se de maneira analoga. Demonstração da proposição. Se det A = 0, então existe a in1 A∗ . Se A possui inversa, versa de A pelo lema anterior e é igual a det A então, pelo teorema de Binet, teremos que: AA−1 = I =⇒ 1 = det I = det(AA−1 ) = (det A)(det A−1 ), logo det A = 0. Poderı́amos mostrar a segunda parte da proposição usando o fato que se A é invertı́vel então A é equivalente a uma matriz triangular cujos elementos da diagonal principal são não-nulos. Mas a demonstração desse fato foge ao objetivo deste texto. Mas notemos que a proposição acima implica neste último fato: Se A é invertı́vel, então A é quadrada. (Concorda?) Escalonando  A obtemos, através do método de Gauss, uma matriz triangular A, 64  = det A (por Jacobi), e det A = 0, equivalente a A. Como det A  = 0. Mas det A  é igual ao produto dos elementos ganhamos que det A de sua diagonal principal. Daı́, nenhum elemento da diagonal principal  pode ser nulo. de A 65 2.7 POLINÔMIO CARACTERÍSTICO Já vimos algumas utilidades dos determinantes. A próxima ajudanos a dizer quando uma matriz quadrada A pode ser diagonalizável, isto é, podemos encontrar uma matriz diagonal AD que possui o mesmo determinante de A. Para isso, adquiriremos mais um importante conceito: o polinômio caracterı́stico de uma matriz. Por ser um texto introdutório, abrangiremos aqui somente o polinômio caracterı́stico de matrizes quadradas de ordem 2. Definição 2.7.1. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2. O polinômio de grau dois p(λ) = det(A−λI) é o polinômio caracterı́stico de A, onde λ ∈ R e I é a matriz identidade. ⎛ A definição acima diz que dada A = ⎝ ⎞ a11 a12 ⎠, o seu polinômio a21 a22 caracterı́stico é dado por p(λ) = λ − (a11 + a22 )λ + a11 a22 − a12 a21 . Ou 2 seja, p(λ) = λ2 − (trA)λ + det A. ⎛ Exemplo 2.7.1. Seja a matriz A = ⎝ 5 −3 2 0 2 acterı́stico é dado por p(λ) = λ − 5λ + 6. ⎞ ⎠. O seu polinômio car⎛ Exemplo 2.7.2. O polinômio caracterı́stico da matriz B = ⎝ 0 1 5 4 ⎞ ⎠ é 2 p(λ) = λ − 4λ − 5. Mas o leitor curioso deve estar se perguntando: para que serve o polinômio caracterı́stico de uma matriz? Qual a relação entre suas raı́zes e a matriz em questão? Ou seja, se λ1 e λ2 são as raı́zes de p(λ), qual a relação entre a matriz e λ1 , λ2 ? A resposta para essas perguntas é a: Proposição 2.7.2. Seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e p(λ) o seu polinômio ⎛ caracterı́stico. ⎞ Se λ1 e λ2 são as suas raı́zes, então A é equivalente à ⎝ λ1 0 0 λ2 ⎠. 66 Logo, se o polinômio caracterı́stico de A possui duas raı́zes reais (números cmplexos será estudado na unidade 5), então existe uma matriz diagonal equivalente a ela. Por Jacobi, teremos que det A = λ1 λ2 . Para o caso 2 × 2 o resultado acima pode não parecer bastante interessante. Mas imagine a sua utilidade para o caso de matrizes de ordens maiores? E ainda não mencionamos outras conseqüências importantes da proposição acima. Mas somente o fato de que podemos supor uma dada matriz semelhante a uma matriz diagonal, ganhamos muito em determinados problemas matemáticos. ⎛ ⎞ 5 −3 ⎠, temos que p(λ) = Exemplo 2.7.3. Para a matriz A = ⎝ 2 0 λ2 − 5λ + 6. Resolvendo ⎛ esse⎞polinômio, conseguimos λ1 = 2 e λ2 = 3. Daı́, afirmamos que ⎝ 2 0 0 3 ⎠ é equivalente a A. ⎛ Exemplo 2.7.4. Agora, para B = ⎝ 0 1 5 4 ⎞ ⎠, teremos, após a resolução do ⎛ seu polinômio caracterı́stico, que ⎝ −1 0 0 5 ⎞ ⎠ é uma equivalente a B. Esperamos que esta unidade tenha sido bem estudado poi, assim como a unidade 1, na próxima faremos uso de toda a teoria aprendida até então. 2.8 SAIBA MAIS O leitor poderá acessar, no sı́tio http://strato.impa.br/, excelentes vı́deos produzidos pela equipe coordenada pelo Professor Elon Lages Lima, do Programa de Formação de Professores do Ensino Médio. Acessando janeiro de 2002 e janeiro de 2006, o leitor encontrará vı́deos sobre o ensino de determinantes. 67 2.9 EXERCÍCIOS ⎞ ⎛ √ ⎞ 18 − 5 3 5 ⎠ , B = ⎝ √ ⎠ e 1. Dada as matrizes A = ⎝ 0 9 7 10 ⎛ ⎞ 0 −3 ⎠ , calcule 8 det A − 5 det B + 9 det C. C=⎝ −5 13 ⎛ √ √ 2. No exercı́cio anterior, calcule det(2 2A) − det( 5B) + det(3C). 3. Ainda com as matrizes do primeiro exercı́cio, calcule det(A + B) , det(A + C) , det A + det B. 4. Construa várias matrizes quadradas de ordem 2, calcule seus determinantes e os determinantes dos múltiplos das matrizes. Notou algo interessante?    x 2 5. Resolva a equação:   9 2       −3 23 +     2x −18     = 0.   6. Encontre x ∈ R tal que det(xA + B) = 0 , onde ⎛ A=⎝ 1 2 2 5 ⎞ ⎛ ⎠,B=⎝ 4 −3 12 −4 ⎞ ⎠. 7. Considerando as matrizes do exercı́cio anterior, calcule det(AB) e det(BA). (Coincidência?) 8. Faça o exercı́cio anterior para várias matrizes quadradas de ordem 2. 9. Calcule os seguintes determinantes:    1 5 (a)   0 18       68      1 −3   . Compare com o item anterior. (b)    0 α     2000 1010 (c)   0 2    .      1 β 10. Sem cálculo, diga quanto vale   0 α ⎛ 11. A matriz A = ⎝ 1 9 2 6    , α, β ∈ R.   ⎞ ⎠ é invertı́vel. Calcule o seu determinante. ⎛ Calcule o determinante da matriz não-invertı́vel B = ⎝ 1 3 3 9 ⎞ ⎠. Notou algo interessante? ⎛ √ ⎞ 2 2 ⎠, 12. Repita o exercı́cio anterior para as matrizes M = ⎝ 4 12 ⎞ ⎛ 1 2 ⎠, onde M é invertı́vel e N não-invertı́vel. (ConN = ⎝ 2 4 segue deduzir algo?) 13. Calcule o determinante das matrizes e diga, na sua opinião, quais são invertı́veis: ⎛ (a) A = ⎝ ⎛ (c) C = ⎝ 4 −3 5 15 ⎞ ⎛ ⎠ (b) B = ⎝ 18 −1 0 0 ⎞ ⎠ 0 3 4 0 ⎛ ⎜ ⎜ (d) D = ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎠ √ ⎞ 4 − 2 ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ √ 1 ⎠ − 2 2 4 69 ⎛ (e) E = ⎝ 17 −9 8 −18 ⎞ ⎛ ⎠ (f) F = ⎝ ⎛ 14. Dada a matriz A = ⎝ ⎛ para B = ⎝ 8 0 4 6 ⎞ 15 −1 37 3 0 −1 0 0 ⎞ ⎠ ⎞ ⎠, calcule det A2 , det2 A. O mesmo ⎠. 15. Com as mesmas matrizes do exercı́cio anterior, calcule det At , det B t , det(AB)t , det(AB), det(BA), det A det B, det(AB)t e det(At B t ). ⎛ 16. Sejam A = ⎝ 2 17 49 59 ⎞ ⎛ ⎠eB=⎝ 113 −83 −2 −15 ⎞ ⎠. Calcule:  (a)det(2A) (b)det(3A) (c)det(8B) (d)det 1 B 6  17. Usando a regra de Sarrus, calcule os seguintes determinantes:      2 7 12      (a)  0 8 3       0 0 1     4 1 0   (c)  0 3 9    0 0 6      2 6 13      (b)  0 4 8       0 0 5       10 −15 12      (d)  0 35 9       0 0 7     1 γ β   (e)  0 α ζ    0 0 1                   Notou algo interessante? 18. Calcule os seguintes determinantes: 70      1 15 1      (a)  2 3 2       4 6 4     1 2 3   (d) 1 2 3    2 6 8             1 2 3   (c)  4 5 6    7 8 9      21 13 43      (b) 2 4 17       1 5 9     0 2 3   (e)  5 0 9    2 1 0                   19. (UFSC) Determine o valor de x para que o determinante da matriz C = AB t seja igula a 602, em que ⎛ A=⎝ 1 2 −3 4 1 2 ⎞ ⎛ ⎠eB=⎝ x − 1 8 −5 −2 7 4 ⎞ ⎠. 20. Para quais valores de x ∈ R o determinante a seguir é não-nulo?      1 −5 3       0 x 2 .      0 x2 1  ⎛ 7 −5 9 ⎜ ⎜ 21. Dadas as matrizes A = ⎜ 0 ⎝ 1 3 2 ⎞ ⎛ 3 9 6 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ e ⎟ ⎜ 6 21 −13 −12 ⎟, ⎠ ⎝ ⎠ 1 2 −1 1 calcule det A, det B, det(A+B), det(3A), 3 det A, 27 det A, det 8B, 8 det B, det(AB), det(BA).          1 1 1   1 1 1          22. Quanto vale  2 3 4 ? E  4 5 2  ?          16 25 4   4 9 16  71    1 1 1   23. O mesmo para  2 4 5    4 16 25 ⎛       1 1 1      e para  a b c     2 2 2   a b c x 1 2 3      , a, b, c ∈ R.    ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ x x 4 5 ⎟ ⎟, qual é o conjunto solução ⎜ 24. (FGV-SP) Sendo A = ⎜ ⎟ ⎜ x x x 6 ⎟ ⎠ ⎝ x x x x para a equação det A = 0? 25. Construa várias matrizes triangulares e calcule seus determinantes. O que você pode concluir?        1 4 −19   0 7 −7       26. Calcule  2 −3 5  e  2 −3 5        0 7 −7   1 4 −19      .    27. Calcule os seguintes determinantes:       (a)      0 −2 3 18 −21 14 3 −9 0 −13 −7 2 −3 29 5 17                  0 0 14 −1       18 33 94 2   (c)    −47 −2 45 15       2 0 0 0        (b)            (d)      5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 1 −2 3 0 −21 14 0 0 0 0 −7 2 −3 29 0 17                         72      16 13 55 69       −18 5 67 22   (e)    3 35 44 87       0 99 −23 0  28. Calcule os seguintes determinantes:         (a)                (c)                (e)                (b)          −4    8 1 0 2 3    0 −9 −6 12 0    0 −3 15 0 0    21 4 −4 0 0  1 −2 −3 7 6 5 4 3 2 10 9 8 7 6 20 21 22 23 24 47 46 45 44 43 18 17 16 15 14 1 2 2 4 5 2 3 5 6 7 3 5 7 10 12 0 1 2 7 9 0 3 4 6 5         (d)                         −4    0 1 0 2 3    5 8 7 −5 10    0 0 4 0 0    32 −19 −4 0 0  1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 3                     5 6 −8 0 19       4 3 −13 45 25      (f)  13 16 42 65 41       21 23 56 67 18       −34 33 45 66 0                 29. Resolva a seguinte equação em R:                x −2x 3 17 12 −8 4 0 0 9 −x 0 0 14 12 13 x + 2 13 2 5 −4 1 4 0 0         =0       73       30. (FUVEST-SP)Qual o valor do determinante      1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 3 3 1 2 3 4       ?      31. Resolva todos os determinantes anteriores usando o método de Chió. 32. Resolva o seguinte determinante utilizando as regras de Sarrus, de Chió e de Laplace:      1 −3 4       8 9 2 .      0 3 6  33. Encontre as matrizes dos cofatores para as matrizes dadas: ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2 −19 0 1 3 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ (a) A = ⎜ −1 3 8 ⎟ (b) B = ⎜ 4 −3 20 ⎟ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2 −4 1 5 −2 8 ⎛ (c) C = ⎝ ⎛ 1 3 9 −1 3 ⎞ ⎛ ⎠ (d) D = ⎝ −4 −5 1 −4 3 0 2 ⎞ ⎠ ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 10 −8 11 ⎟ ⎟ ⎜ (e) E = ⎜ ⎟ ⎜ 20 −14 2 0 ⎟ ⎠ ⎝ 3 −1 12 21 74 ⎛ 1 0 ⎜ ⎜ ⎜ 12 −43 ⎜ ⎜ (f) F = ⎜ 13 19 ⎜ ⎜ ⎜ 14 −16 ⎝ 51 69 0 22 98 90 11 3 4 ⎞ ⎟ ⎟ 21 0 ⎟ ⎟ ⎟ 91 −10 ⎟ ⎟ ⎟ 83 0 ⎟ ⎠ 24 0 (Nem tudo são flores!) 34. Para as matrizes A, B, C, D do exercı́cio anterior, calcule a transposta das suas respectivas matrizes dos cofatores. Calcule também os seus determinantes. ⎛ 35. Calcular a inversa da matriz ⎝ 2 1 0 4 ⎞ ⎠ usando o método da ma- triz adjunta. 36. Encontre os polinômios caracterı́sticos das seguintes matrizes: ⎛ (a) C = ⎝ −4 3 7 0 ⎞ ⎛ ⎠ (b) D = ⎝ 2 9 1 3 ⎞ ⎠ 2.10 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A Matemática do Ensino Médio. Volume 3. 6.ed.. Rio de Janeiro: SBM, 2006. 75 Unidade 3 Sistemas Lineares Resumo Aprendemos a resolver sistemas de equações lineares. Começamos com os casos 2×2 e 3×3 aprendemos métodos para resolvê-los e discuti-los. Vimos as suas interpretações geométricas a relação desta com a classificação deles. Após aprendermos os casos mais usuais e triviais, vimos uma rápida exposição sobre sistemas lineares do tipo n × n. Como prosseguimento do que tíınhamos já visto, revimos os métodos para a sua solução e discussão. ÍNDICE UNIDADE 3. Sistemas Lineares 3.1 Introdução 3.2 Sistemas lineares com duas incógnitas 3.2.1 Solução de um sistema linear 3.2.2 Resolução de um sistema linear 2 × 2 3.2.3 Regra de Cramer 3.2.4 Discussão de um sistema linear 2 × 2 3.2.5 Interpretação geométrica 3.3 Sistemas lineares com três incógnitas 3.3.1 Resolução de um sistema linear 3 × 3 3.3.2 Regra de Cramer 3.3.3 Discussão de um sistema linear 3 × 3 3.3.4 Interpretação geométrica 3.4 Sistemas lineares com n incógnitas 3.4.1 Resolução de um sistema linear n × n 3.4.2 Discussão de um sistema linear n × n 3.5 Saiba mais 3.6 Exercícios 3.7 Respostas 3.8 Referência bibliográfica Unidade 3 SISTEMAS LINEARES 3.1 INTRODUÇÃO Após vermos uma introdução ao estudo das matrizes e dos determinantes, estamos aptos a estudar uma aplicação importante deles. É fato que vários problemas do nosso cotidiano podem ser resolvidos com o uso de sistemas lineares. O adjetivo linear significa que as equações envolvidas nesses sistemas são lineares nas variáveis que as compõem. A seguir apresentaremos o: Problema: O professor da disciplina de Fundamentos, do curso de Matemática presencial da UFPI do Campus Ministro Petrônio Portela, realizou três provas. As questões valiam um ponto cada uma, mas tinham pesos diferentes. Sabendo que João acertou 4 questões na primeira prova, 5 na segunda e 6 na terceira, obteve no final um total de 47 pontos. Maria acertou 6, 6 e 3, totalizando 54 pontos. Por sua vez, Raimundo acertou 5, 7 e 2 questões, atingindo a soma de 50 pontos no final. Já José fez 6 questões na primeira prova, 7 na segunda e 2 na terceira. Qual foi o total de pontos de José? Chamando de x, y e z respectivamente os pesos da primeira, segunda e terecira provas, as pontuações de João, Maria e Raimundo nos fornecem as equações: 78 4x + 5y + 6z = 47 6x + 6y + 3z = 54 5x + 7y + 2z = 50 Determinando, através de algum método, os valores de x, y e z que, substituindo no primeiro membro de cada uma das três equações acima, torna-o igual ao segundo membro, o total de pontos de José é: 6x + 7y + 2z Mais informações so- Nesta unidade aprenderemos a determinar os valores de x, y e z, bre a origem do quando possı́vel. A História mostra que o surgimento dos sistemas termo sistemas lineares é anterior ao aparecimento das matrizes e dos determi- podem nantes. O ensino da teoria deles antes da dos sistemas é devido ser encontradas à didática. A verdade é que o uso das matrizes e dos determinantes na serviu primeiramente para a solução dos questionamentos quanto à lineares Revista número 21, em www.rpm.org.br. resolução de problemas que necessitavam de sistemas lineares. Outra coisa interessante (e lógica) é a interpretação geométrica da solução dos sitemas lineares. Podemos resolvê-los através da análise de figuras geomé- tricas simples como planos e retas. Para isso, é exigido o conhecimento das equações da reta e do plano. Lembramos que uma reta no plano xy pode ser vista atravé da seguinte equação linear: αx+βy = c, e que um plano no espaço tridimensional xyz pode ser estudado através da equação (também linear): αx + βy + γz = c. Assim, as soluções podem ser obtidas apenas com o estudo das posições relativas entre retas e planos. Existem, então, métodos aritméticos e geométricos para a solução de sistemas de equações lineares. Podemos estudar figuras geométricas através deles e viceversa. Começaremos o estudo dos sistemas linares com a definição de equação linear e a exposição de sistemas com duas incógnitas. 79 3.2 SISTEMAS LINEARES COM DUAS INCÓGNITAS Seguindo a linha de pensamento de que devemos sempre aprender o básico para então aprendermos algo mais abstrato, comecemos esta seção aprendendo o significado de equação linear. Definição 3.2.1. Dadas as incógnitas x1 , . . . , xn , e os números reais α1 , . . . , αn , c, chamamos de equação linear toda equação do tipo n
αi xi = α1 x1 + . . . + αn xn = c. i=1 Os termos α1 , . . . , αn recebem o nome de coeficientes e c ∈ R é o seu termo independente. Exemplo 3.2.1. A equação x1 + 2x2 − 5x3 = 4 é linear. Exemplo 3.2.2. A equação x2 + 5y − 1 = 0 é não linear. z Agora, de posse da definição de equação linear, podemos então definir Definição 3.2.2. Um sistema de equações lineares de duas incógnitas é um conjunto do tipo ⎧ ⎪ ⎪ α11 x1 + α12 x2 = β1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ α x + α x = β 21 1 22 2 2 , . . . . . ⎪ .. .. .. .. .. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α x + α x = β k1 1 k2 2 k onde k ≥ 1. Na maioria dos casos, k = 2. Nestes casos, é comum a denominaç ão de ”sistema 2 × 2”. Exemplo 3.2.3. ⎧ ⎨ 2x 1 ⎩ −4x 1 + 3x2 = 3 + x2 = 0 80 é um sistema linear com duas incógnitas e duas equações. (O leitor consegue traçar o gráfico das retas 2x1 + 3x2 = 3 e −4x1 + x2 = 0?) ⎧ ⎪ ⎪ x1 + 3x2 = 3 ⎪ ⎨ Exemplo 3.2.4. O sistema −4x1 + x2 = 0 possui três equações ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −2x − 6x = −6 1 2 e duas incógnitas. (O que o leitor pode dizer sobre as retas x1 +3x2 = 3 e −2x1 − 6x2 = −6?) 3.2.1 SOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR É nosso objetivo não só estudar as propriedades dos sistemas lineares, mas também aprender técnicas para a solução deles. Antes de passarmos ao estudo de tais técnicas, vejamos primeiramente o conceito de solução de um sistema de equações lineares. Definição 3.2.3. Dado o sistema ⎧ ⎪ ⎪ α11 x1 + α12 x2 = β1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ α x + α x = β 21 1 22 2 2 S: .. .. .. .. .. , ⎪ ⎪ . . . . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α x + α x = β k1 1 k2 2 k onde k ≥ 1, dizemos que o par (ξ1 ,ξ2 ) é uma solução para S se, e somente se, (ξ1 ,ξ2) satisfaz a cada uma das suas equações componentes. Exemplo 3.2.5. Para o exemplo 3.1.3, temos que o par ( solução para o sistema dado, enquanto que (0, 1) não o é. 3 6 , ) é 14 7 Exemplo 3.2.6. Verifica-se facilmente que o par (4, −5) satisfaz o sistema ⎧ ⎨ 2x 1 S: ⎩ −x 1 − x2 = 13 + x2 = −9 . 81 3.2.2 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 2 × 2 Existem vários métodos para solucionarmos um sistema linear. Come- çaremos pelo que achamos ser o mais prático e simples. Dado um sistema linear 2 × 2 ⎧ ⎨ α x + α x = β 11 1 12 2 1 S: , ⎩ α x + α x = β 21 1 22 2 2 podemos escrevê-lo como uma equação matricial ⎞ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎛ β x α12 α ⎠⎝ 1 ⎠ = ⎝ 1 ⎠. ⎝ 11 (Concorda?) β2 x2 α21 α22 ⎞ ⎛ ⎛ Chamaremos as matrizes ⎝ α11 α12 α21 α22 ⎠, ⎝ ⎞ x1 ⎠ e ⎝ x2 ⎞ ⎛ β1 ⎠ de β2 principal, incógnita e independente, respectivamente. Diremos que ⎛ ⎞ α11 α12 β1 ⎝ ⎠ α21 α22 β2 é a matriz aumentada do sistema. Definição 3.2.4. Dados os sistemas lineares 2 × 2 S1 e S2 , dizemos que eles são equivalentes se, e somente se, suas matrizes aumentadas são equivalentes. Exemplo 3.2.7. Os sistemas ⎧ ⎨ x − 3x = 8 1 2 S1 : ⎩ 3x + 5x = 4 1 2 ⎧ ⎨ x − 3x = 8 1 2 e S2 : ⎩ 14x2 = −20 são equivalentes, pois as suas aumentadas ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 −3 8 1 −3 8 ⎠ ⎠ e ⎝ ⎝ 0 14 −20 3 5 4 são equivalentes. (Qual é o mais fácil de ser resolvido?) 82 Exemplo 3.2.8. Também são equivalentes os sistemas ⎧ 1 12 ⎪ ⎪ ⎧ x + = x ⎪ 1 2 ⎪ 5 5 ⎨ ⎨ −2x + 4x = 0 1 2 e S2 : . S1 : ⎪ ⎩ 5x ⎪ + x2 = 12 1 ⎪ 24 22 ⎪ ⎩ x2 = 5 5 (Por quê?) A importância de estudarmos sistemas equivalentes pode ser explicada através da Proposição 3.2.5. Dois sistemas de equações lineares possuem a mesma solução se, e somente se, são equivalentes. Assim, podemos resolver um sistema apenas solucionando um equivalente seu (e mais simples). A solução de um é a mesma do outro. Do mesmo modo que no primeiro capı́tulo, chegamos a um equivalente de um sitema apenas escalonando-o. Definição 3.2.6. Diz-se que um sistema S está escalonado quando sua matriz aumentada está escalonada. Incentivamos a revisão da seção 1.8 antes do prosseguimento da leitura desta. Não continue se não tiver aprendido as operações elementares. Descreveremos agora os passos para a solução de um sistema linear 2 × 2: • Obtemos a matriz aumentada do sistema; • Escalonamo-a; • Resolvemos o novo sistema obtido da matriz escalonada. Exemplo 3.2.9. Resolver o seguinte sistema ⎧ ⎨ 2x + 3x2 = 3 1 . S: ⎩ −4x + x = 0 1 2 Sol.: Utilizando a mesma simbologia do primeiro capı́tulo, teremos: 83 ⎛ 2 • A matriz aumentada é dada por: ⎝ ⎛ • escalonando-a teremos ⎝ 2 3 3 −4 1 0 ⎞ 3 3 ⎞ ⎠; ⎛ 2 +2L1 ⎠ L−→ ⎝ −4 1 0 2 3 3 0 7 6 ⎞ ⎠; • Assim, teremos o seguinte sistema equivalente ao dado: ⎧ ⎨ 2x + 3x = 3 1 2 S: ; ⎩ 7x = 6 2 • Olhando a segunda linha deste sistema, vemos que 7x2 = 6. 6 Logo, x2 = ; 7 • Substituindo o valor encontrado de x2 na primeira equação, ter18 3 emos: 2x1 + = 3. Ou seja, x1 = . 7 14 3 6 . A solução de S é, então, o par , 14 7 ⎧ ⎨ −2x + 4x = 0 1 2 Exemplo 3.2.10. Resolver o sistema S : . ⎩ 5x + x = 12 1 ⎛ • A matriz aumentada é dada por ⎝ ⎛ • Escalonando-a, teremos ⎝ −2 4 5 −2 4 5 0 1 12 2 0 1 12 ⎞ ⎞ ⎠; ⎛ 1 ⎠ L2 +5/2L −→ ⎝ −2 0 4 0 11 12 ⎞ ⎠; ⎧ ⎨ −2x + 4x = 0 1 2 ; • Obtivemos o seguinte sistema equivalente S : ⎩ 11x2 = 12 • Resolvendo a segunda equação, ganhamos que x2 = 12 ; 11 • Substituindo este valor na primeira equação, concluimos que 24 12 , é a solução de S. 11 11 84 3.2.3 REGRA DE CRAMER Acessando o sı́tio Além do método do escalonamento, podemos resolver um sistema www.google.com.br e buscando Cramer, conhecerá o por linear através do método de Cramer. Este faz uso demasiado de leitor determinantes, sendo, por isso, evitado por muitos. Ou seja, quando o mais quesito é tempo, a regra de Cramer se torna pouco usual, apesar de sobre a vida deste sua teoria ser muito bonita e digna de ser estudada. grande matemático. Enunciemos, então, este tradicional método: ⎧ ⎨ α x + α x = β 11 1 12 2 1 Dado um sistema linear S : , a sua ⎩ α x + α x = β 21 1 22 2 2 solução (ξ1 , ξ2 ) é obtida por ξi = Di , D onde D é o determinante da matriz principal e Di é o determinante da matriz conseguida através da troca da i-ésima coluna da matriz principal pela coluna da independente. α11 β1 β1 α12 Ou seja, ξ1 = β2 α22 e ξ2 = α21 β2 α11 α12 α11 α12 α21 α22 α21 α22 são as soluções de S. O estudante atento deve estar se perguntando o que ocorre quando D = 0. Mas essa questão somente será respondida futuramente. Exemplo 3.2.11. Resolva o sistema ⎧ ⎨ −x + x = 10 1 2 S: ⎩ −5x + 2x = 0 1 2 pela regra de Cramer. Sol.: Vejamos primeiramente quem é a matriz principal do sistema: ⎛ ⎞ −1 1 ⎝ ⎠. −5 2 85 Logo, seu determinante será igual a 3; Agora, vejamos as matrizes obtidas através da permutação das colunas da matriz principal pela da independente: ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 10 1 −1 10 ⎝ ⎠ e ⎝ ⎠, 0 2 −5 0 onde a primeira foi obtida através da troca da primeira coluna da principal com a coluna da independente e a seguna foi conseguida analogamente. Portanto, seus determinantes serão iguais a 20 e a 50, respectivamente. Estamos aptos a encontrar os valores de ξ1 e de ξ2 : ξ1 = 20 50 D2 D1 = , ξ2 = = . D 3 D 3 Exemplo 3.2.12. Encontre a solução para o sistema ⎧ ⎨ 2x − 6x2 = 7 1 S: . ⎩ −3x + 6x = 8 1 2 Sol.: A matriz principal tem determinante não-nulo igual a −6. (Verifique!) Calculando também o determinante das matrizes obtidas com as permutações de colunas, obtemos D1 D2 90 37 = − = −15 e ξ2 = =− . D 6 D 6   37 . Logo, o conjunto solução é dado por −15, − 6 ξ1 = Exemplo 3.2.13. Ache o conjunto solução para o sistema ⎧ ⎨ x + 2x = 4 1 2 S: . ⎩ 2x + 4x = 8 1 2 ⎛ Sol.: Novamente, comecemos encontrando a matriz principal: ⎝ 1 2 2 4 Portanto, ela tem determinante nulo. Vejamos o que acontece agora com os determinantes das matrizes obtidas pelas permutações de colunas da principal coma independente: 86 ⎞ ⎠. ⎛ det ⎝ 4 2 8 4 ⎞ ⎛ ⎠ = 0 e det ⎝ Assim, não faz sentido falar em ξ1 = 1 4 2 8 ⎞ ⎠ = 0. 0 0 D1 D2 = e ξ2 = = . D 0 D 0 Analisaremos casos como este na próxima seção. 3.2.4 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 2×2 Na seção passada aprendemos a resolver um sistema de equações lineares através dos métodos da eliminação e de Cramer. Por questões de comodidade, a maioria dos exemplos que demos tinham solução, i.e., o conjunto solução deles era não vazio. Nem sempre isso acontece. Em muitos casos temos sistemas com infinitas soluções ou com nenhuma solução. Algumas áreas da Matemática trabalham com sistemas que possuem infinitas soluções. Desse conjunto infinito, elas extraem a que mais lhe convêm. Mas para isso é preciso saber analisar o sistema. Existem três tipos de sistemas lineares, a saber: • Sistema Possı́vel e Determinado; • Sistema Possı́vel e Indeterminado; • Sistema Impossı́vel. Passaremos a descrevê-los: Definição 3.2.7. Dado um sistema S, dizemos que ele é possı́vel se possui solução. E dizemos que é impossı́vel se não a possui. Ele é possı́vel determinado se possui uma única solução, e é possı́vel indeterminado quando possui infinitas soluções. 87 ⎧ ⎨ 2x 1 Exemplo 3.2.14. O sistema S : ⎩ −3x 1 − 6x2 = 7 é possı́vel e + 6x2 = 8 possui uma solução. (Exemplo 3.2.12) ⎧ ⎨ x + 3x = 9 1 2 é impossı́vel. Exemplo 3.2.15. O sistema S : ⎩ 3x + 9x = 18 1 2 (Tente exibir alguma solução para ele.) Utilizando a regra de Cramer, podemos distingüir um sistema quanto ao tipo segundo as instruções: 1. Se o determinante da matriz principal é não-nulo, então o sistema é possı́vel e determinado; 2. Se o determinante da matriz principal é nulo, então só podemos inferir que o sistema ou é impossı́vel ou é possı́vel indeterminado. Calculemos, então, os determinantes das matrizes obtidas através das permutações das colunas da principal com a coluna da independente. Se todos eles forem nulos, então podemos afirmar que o sistema é possı́vel e indeterminado. 3. Se o determinante da matriz principal é nulo e pelo menos um dos outros determinantes for não-nulo, então o sistema é impossı́vel. Exemplo 3.2.16. Como visto no exemplo 3.1.15, o fato de D = 0 já nos faz concluir que o sistema é possı́vel e determinado. Exemplo 3.2.17. No exemplo 3.1.13, temos que D = D1 = D2 = 0. Assim, podemos concluir que tal sistema é possı́vel e indeterminado. O leitor consegue exibir soluções para este sistema? ⎧ ⎨ x + x 1 2 Exemplo 3.2.18. Para o sistema S : ⎩ 2x + 2x = 1 , temos = 2 D = D1 = D2 = 0, e todo elemento do conjunto {(α, 1 − α) ; α ∈ R} 1 2 satisfaz o sistema. Portanto, o sistema é possı́vel e indeterminado; Exemplo 3.2.19. No exemplo 3.1.14, temos que D = 0, mas D1 = 0. Logo, o sistema é impossı́vel, como já haviamos dito. 88 Analisando pelo método do escalonamento, podemos classificar um sistema da seguinte maneira: 1. Se, ao escalonarmos a matriz aumentada do sistema obtivermos uma linha que implique que 0×x1 +0×x2 = 0 (o terceiro termo da linha é não-nulo, enquanto os dois primeiros o são), o sistema é impossı́vel; 2. Supondo que não aconteça o primeiro caso, se a matriz escalonada possuir uma linha nula, então o sistema é possı́vel e indeterminado; 3. O sistema é possı́vel e determinado se não ocorrer nenhum dos casos anteriores. Exemplo 3.2.20. Escalonando a matriz principal do exemplo 3.1.14, te⎛ remos que: ⎝ 1 3 ⎞ 9 3 9 18 ⎛ −3L1 ⎠ L2−→ ⎝ 1 3 9 0 0 −9 ⎞ ⎠. Ou seja, a segunda linha diz que 0 × x1 + 0 × x2 = −9. Logo, o sistema é impossı́vel. Exemplo 3.2.21. No exemplo 3.1.16, se escalonarmos a matriz principal, ⎛ obteremos: ⎝ 1 1 4 2 4 8 ⎞ ⎛ −2L1 ⎠ L2−→ ⎝ 1 1 4 0 0 0 ⎞ ⎠. Logo, o sistema é possı́vel e indeterminado. 3.2.5 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA 89 Na antigüidade, o homem procurava atribuir tudo à Geometria, que na época era representada apenas pela Euclidiana. Soluções para problemas importantes atravessaram décadas para serem encontradas. Kepler, por exemplo, relutou em mostrar que as trajetórias dos planetas eram descritas pela geometria dos cı́rculos, quadrados, etc, até ver que nem tudo poderia ser explicado com ferramentas simples. Bom, nosso intuito é apenas descrever geometricamente um sistema. Como trabalhamos com equações lineares, a nossa famosa geometria euclidiana consegue explicar o comportamento dos tais sistemas e ajuda-nos a inferir acerca das suas soluções. Lembremos antes que qualquer equação do tipo αx + βy = γ descreve uma reta no plano xy, para α ou β não-nulo. Basta recordar que se β = 0, α γ por exemplo, então podemos escrever y = − x + , donde extraı́mos β β α γ que − é o coeficiente angular da reta e é o coeficiente linear. β β Pegue qualquer livro bom do ensino médio sobre o assunto. Ainda relembrando, no plano euclidiano temos as seguintes posições relativas entre duas retas r e s: 1. São concorrentes; Figura 3.1: Retas concorrentes ⎧ ⎨ 2x + 3x = 7 1 2 Exemplo 3.2.22. O sistema S1 : repre⎩ x − 2x = 1 1 2 90 senta o caso 1. 2. São paralelas; Figura 3.2: Retas paralelas ⎧ ⎨ 3x − x = 0 1 2 Exemplo 3.2.23. O sistema S2 : repre⎩ 6x − 2x = 5 1 2 senta o caso 2. 3. São coincidentes. Figura 3.3: Retas coincidentes Exercı́cio: Mostre um exemplo para o caso 3. Portanto, podemos concluir o seguinte para um sistema de equações lineares genérico S: 91 • Se as retas descritas pelas equações lineares forem concorrentes, então o sistema é possı́vel e determinado. A sua solução será o ponto de intersecção das duas retas. • Se as retas forem coincidentes, então o sistema será possı́vel e indeterminado. Todo ponto da reta será solução do sistema. • Se as retas forem paralelas, então o sistema será impossı́vel, pois não haverá ponto de intersecção entre elas. 3.3 SISTEMAS LINEARES COM TRÊS INCÓGNITAS Por questões didáticas não introduzimos o conceito de sistema de equações lineares para o caso geral. Acreditamos que o prévio estudo de sistemas de duas incógnitas facilita o aprendizado do restante, enquanto que o ensino sem aquela prévia tende a não ser tão proveitoso. A diferença principal entre o estudo de sistemas lineares de três incógnitas e o de duas fica a cargo da interpretação geométrica. Ao invés de retas, agora teremos planos no espaço euclidiano tridimensional. Ou seja, a menos da interpretação geométrica, o estudo de sistemas lineares com três incógnitas se torna análogo ao estudo dos de duas incógnitas. Assim, um sistema de equações lineares com três incógnitas é um sistema do tipo ⎧ ⎪ ⎪ α11 x1 + α12 x2 + α13 x3 = β1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ α x + α x + α x = β 21 1 22 2 23 3 2 S: , . . . . . . . ⎪ .. .. .. .. .. .. .. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α x + α x + α x = β m1 1 m2 2 m3 3 m onde m ≥ 1. Na maioria dos casos, m = 3. 92 Exemplo 3.3.1. O sistema S : ⎧ ⎪ ⎪ 2x1 ⎪ ⎨ + x2 − 5x3 = 10 x1 + 2x2 + 4x3 = ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −x + 6x3 = 1 6 é lin- 9 ear com três incógnitas e três equações. ⎧ ⎨ x 1 Exemplo 3.3.2. O sistema S : ⎩ 2x 1 − x2 + x3 = 1 + x2 = 0 possui três incógnitas e duas equações. Analogamente ao caso 2 × 2, dizemos que a terna (ξ1 , ξ2, ξ3 ) é solução de um sistema linear com três incógnitas se ela satisfaz todas as equações dele. ⎧ ⎪ ⎪ α11 x1 + α12 x2 + α13 x3 = β1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ α x + α x + α x = β 21 1 22 2 23 3 2 Ou seja, dado S : .. , dizemos .. .. .. .. .. .. ⎪ ⎪ . . . . . . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α x + α x + α x = β m1 1 m2 2 m3 3 m que (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) é solução de S se, e somente se, ⎧ ⎪ ⎪ α11 ξ1 + α12 ξ2 + α13 ξ3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ α ξ + α ξ + α ξ 21 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3.3.1 .. . 22 2 .. . .. . 23 3 .. . .. . = β1 = β2 .. .. . . . αm1 ξ1 + αm2 ξ2 + αm3 ξ3 = βm RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR 3 × 3 Adotaremos a mesma nomenclatura do caso 2 × 2, i.e., dado um sistema 93 S: ⎧ ⎪ ⎪ α x + α12 x2 + α13 x3 = β1 ⎪ ⎨ 11 1 α21 x1 + α22 x2 + α23 x3 = β2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α x + α x + α x = β 31 1 32 2 33 3 3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎛ ⎞ α α13 α ⎜ 11 12 ⎜ , as matrizes ⎜ α21 α22 α23 ⎝ α31 α32 α33 ⎟ ⎟ ⎟, ⎠ ⎞ x β ⎜ 1 ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ x2 ⎟ e ⎜ β2 ⎟ são a sua principal, incógnita e independente, respec⎝ ⎠ ⎠ ⎝ β3 x3 tivamente. Sabendo que todas as propriedades já ditas se estendem para o caso geral e, em particular, para o caso 3 × 3, podemos resolver um sistema deste último tipo (e também qualquer sistema n × n) através do método do escalonamento. Lembrando os passos descritos na seção 3.1.2, resolvamos os seguintes sistemas: ⎧ ⎪ ⎪ 5x + x2 − x3 = 0 ⎪ ⎨ 1 Exemplo 3.3.3. S : x1 − x2 + 2x3 = 2 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ − x − 3x = 4 2 3 ⎛ ⎞ 5 1 −1 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A matriz aumentada é dada por ⎜ 1 −1 2 2 ⎟. Daı́, escalonando⎝ ⎠ 0 −1 −3 4 a, teremos: ⎞ ⎛ ⎛ 5 1 −1 0 1 −1 2 2 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ L1 ↔L2 ⎜ ⎜ ⎜ 1 −1 2 2 ⎟ −→ ⎜ 5 1 −1 0 ⎠ ⎝ ⎝ 0 −1 −3 4 0 −1 −3 4 ⎛ 1 −1 2 2 ⎜ ⎜ −→ ⎜ 0 −1 −3 4 ⎝ 0 6 −11 −10 L2 ↔L3 ⎞ ⎟ ⎟ L2 −5L1 ⎟ −→ ⎠ 1 −1 2 2 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 6 −11 −10 ⎟ ⎠ ⎝ 0 −1 −3 4 ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ L3 +6L2 ⎟ −→ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ 0 −1 −3 4 ⎝ 0 0 −29 14 1 −1 ⎞ ⎛ 2 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ Assim, a última linha nos diz que −29ξ3 = 14, i.e., ξ3 = − 14 . Sub29 94 stituindo nas linhas anteriores, teremos que ξ1 = 12 74 14 ,− ,− 29 29 29 ⎧ ⎪ ⎪ x2 ⎪ ⎨ Exemplo 3.3.4. S : x1 + 2x2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x Portanto, a terna 12 74 e ξ2 = − . 29 29 é a solução de S. − 9x3 = 3 − x3 = 0 . − 4x3 = 8 1 ⎛ 0 1 −9 3 ⎜ ⎜ Escalonando a matriz aumentada de S, obteremos ⎜ 1 2 −1 0 ⎝ 1 0 −4 8 ⎛ 1 2 −1 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ L3 −L1 ⎜ 0 1 −9 3 ⎟ −→ ⎝ ⎠ 1 0 −4 8 ⎛ 1 2 −1 0 ⎜ ⎜ ⎜ 0 1 −9 3 ⎝ 0 −2 −3 8 ⎞ ⎛ ⎟ ⎟ L3 +2L2 ⎟ −→ ⎠ ⎜ ⎜ ⎜ 0 1 −9 3 ⎝ 0 0 −21 14 1 2 −1 ⎞ ⎟ ⎟ L1 ↔L2 ⎟ −→ ⎠ ⎞ 0 ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ 2 Da última linha obtemos que ξ3 = − . Substituindo nas out3 16 e ξ2 = −3. Logo, o conjunto ras equações, ganhamos que ξ1 =  3 16 2 solução é dado por , −3, − . (Verifique!) 3 3 3.3.2 REGRA DE CRAMER Dado o sistema S : ⎧ ⎪ ⎪ α x + α12 x2 + α13 x3 = β1 ⎪ ⎨ 11 1 α21 x1 + α22 x2 + α23 x3 = β2 , a sua ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α x + α x + α x = β 31 1 32 2 33 3 3 solução (ξ1 , ξ2 , ξ3 ) é dada por: ξi = Di , D onde D é o determinante da matriz principal de S, e Di é o da matriz obtida através da troca da i-ésima coluna da principal pela da independente. Exemplo 3.3.5. Resolver o sistema S : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x2 − 9x3 = 3 x1 + 2x2 − x3 = 0 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x − 4x3 = 8 1 95 ⎛ ⎞ 0 1 −9 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ A matriz principal é dada por ⎜ 1 2 −1 ⎟. Logo, o seu determi⎝ ⎠ 1 0 −4 nante é igual a 21. Agora, vejamos quem são os Di s: ⎛ ⎞ ⎛ 3 1 −9 0 3 −9 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎜ D1 = det ⎜ 0 2 −1 ⎟ , D2 = det ⎜ 1 0 −1 ⎝ ⎠ ⎝ 8 0 −4 1 8 −4 Logo, ξ1 = ⎞ ⎛ 0 1 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = det , D ⎜ 1 2 0 ⎟ 3 ⎝ ⎠ 1 0 8 D2 D3 D1 16 2 = , ξ2 = = −3, e ξ3 = = − são as D 3 D D 3 soluções de S. Exercı́cio: Retorne ao problema apresentado no inı́cio desta unidade e determine o total de pontos obtidos por José. 3.3.3 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR 3 × 3 Como já foi explicado na seção 3.1.4, um sistema linear pode ser possı́vel determinado, possı́vel indeterminado e impossı́vel. Também foi mostrado como distingüirmos um sistema quanto ao tipo. A única mudança é que quando escalonamos um sistema 3 × 3 trabalhamos com matrizes aumentadas do tipo 3 × 4. Assim, se após o escalonamento da matriz aumentada uma linha possuir os três primeiros termos nulos e o quarto não-nulo, o sistema será impossı́vel. Caso não aconteça isso e houver uma linha composta apenas por zeros, então o sistema é possı́vel e indeterminado. Quando não ocorrer nenhum dos casos anteriores, o sistema será possı́vel determinado. Há uma pequena diferença em relação ao caso 2 × 2, quando analisamos um sistema segundo a Regra de Cramer. Aqui, e em todos os sistemas de ordem superior a 2, quando possuirmos todos os seus determinantes nulos, não podemos afirmar que esses sistemas são possı́veis e indeterminados. Eles podem ser impossı́veis. A tı́tulo de ilustração, vejamos o seguinte exemplo: 96 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ Exemplo 3.3.6. Analise o sistema S : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ + 2x2 + 3x3 = 0 x1 −2x2 − 3x2 + x2 x3 = 5 . + 7x3 = 5 Sol.: Façamos das duas maneiras: 1. Método de Cramer Calculando o determinante da matriz principal, teremos ⎛ ⎞ 1 2 3 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ D = det ⎜ −2 −3 1 ⎟ = 0. ⎝ ⎠ 0 1 7 Assim, nada podemos concluir. Analisando os Di s, teremos: ⎛ 0 2 3 ⎜ ⎜ D1 = det ⎜ 5 −3 1 ⎝ 5 1 7 ⎛ 1 2 ⎞ ⎛ 1 0 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = 0, D2 = det ⎜ −2 5 1 ⎠ ⎝ 0 5 7 0 ⎜ ⎜ D3 = det ⎜ −2 −3 5 ⎝ 0 1 5 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = 0, ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = 0. ⎠ Como já dissemos, não podemos afirmar que o sistema acima é possı́vel e indeterminado apenas com os cálculos já feitos. Agora, fazendo ξ3 = ξ, ganhamos que (−10 + 11ξ, 5 − 7ξ, ξ) é solução do sistema, ∀ξ ∈ R. Portanto, o sistema é possı́vel e indeterminado. 2. Método do escalonamento ⎛ 1 2 3 0 ⎞ ⎟ ⎜ ⎟ L2 +2L1 ⎜ Escalonando a matriz aumentada, teremos: ⎜ −2 −3 1 5 ⎟ −→ ⎠ ⎝ 0 1 7 5 ⎞ ⎞ ⎛ ⎛ 1 2 3 0 1 2 3 0 ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ L3 −L2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ 0 1 7 5 ⎟ −→ ⎜ 0 1 7 5 ⎟ . ⎠ ⎠ ⎝ ⎝ 0 1 7 5 0 0 0 0 97 Logo, o sistema é possı́vel indeterminado. Tomando ξ3 = ξ, teremos novamente que (−10 + 11ξ, 5 − 7ξ, ξ) é solução do sistema, ∀ξ ∈ R. Exemplo 3.3.7. Analise o sistema ⎧ ⎪ ⎪ x + 2x2 + 3x3 = 1 ⎪ ⎨ 1 S: 2x1 + 4x2 + 6x3 = 2 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3x + 6x + 9x = 4 1 2 3 Sol.: Façamos das duas maneiras: 1. Método de Cramer Calculando o determinante da matriz principal, teremos ⎞ ⎛ 1 2 3 ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ D = det ⎜ 2 4 6 ⎟ = 0. ⎠ ⎝ 3 6 9 Novamente, nada podemos concluir. Analisando os Di s, teremos: ⎛ 1 2 3 ⎜ ⎜ D1 = det ⎜ 2 4 6 ⎝ 4 6 9 ⎛ 1 2 1 ⎜ ⎜ D3 = det ⎜ 2 4 2 ⎝ 3 6 4 ⎞ ⎛ 1 1 3 ⎟ ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ = 0, D2 = det ⎜ 2 2 6 ⎠ ⎝ 3 4 9 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = 0, ⎠ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = 0. ⎠ Entretanto, o sistema é impossı́vel como veremos usando o Método do Escalonamento. 2. Método do escalonamento ⎛ 1 2 3 1 ⎜ ⎜ Escalonando a matriz aumentada, teremos: ⎜ 2 4 6 2 ⎝ 3 6 9 4 ⎞ ⎟ ⎟ L2 −2L1 ⎟ −→ ⎠ 98 ⎛ 1 2 3 1 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 ⎝ 3 6 9 4 ⎛ ⎞ ⎟ ⎟ L3 −3L1 ⎟ −→ ⎠ 1 2 3 1 ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 0 0 ⎝ 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ Logo, o sistema é impossı́vel. Exemplo 3.3.8. Analise o sistema ⎧ ⎪ ⎪ −2x1 + 5x2 = 3 ⎪ ⎨ S: + 3x2 + 9x3 = 5 . x1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 11x2 + 18x3 = −3 Sol.: Novamente, analisaremos de duas maneiras. 1. Método de Cramer Calculemos o determinante da matriz principal: ⎛ ⎞ −2 5 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ D = det ⎜ 1 3 9 ⎟ = 0. ⎝ ⎠ 0 11 18 Garantimos somente que o sistema não é possı́vel determinado. Calculando os Di s observamos que: ⎛ 3 5 0 ⎜ ⎜ D1 = det ⎜ 5 3 9 ⎝ −3 11 18 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ = −720 = 0. ⎠ Logo, o sistema é impossı́vel. 2. Método do escalonamento Escalonando a matriz aumentada, ganhamos que: ⎛ −2 ⎜ ⎜ ⎜ 1 ⎝ 0 5 0 3 ⎞ ⎟ ⎟ L1 ↔L2 3 9 5 ⎟ −→ ⎠ 11 18 −3 ⎛ 1 3 9 5 ⎜ ⎜ ⎜ −2 5 0 3 ⎝ 0 11 18 −3 ⎞ ⎟ ⎟ L2 +2L1 ⎟ −→ ⎠ 99 ⎛ ⎞ 1 3 9 5 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ L3 −L2 ⎜ 0 11 18 13 ⎟ −→ ⎝ ⎠ 0 11 18 −3 ⎛ 1 3 9 5 ⎜ ⎜ ⎜ 0 11 18 13 ⎝ 0 0 0 −16 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟. ⎠ A última linha da matriz nos diz que 0 = −16. (Por quê?) Portanto, o sistema é impossı́vel. 3.3.4 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Como era de se esperar, existem mais casos para anlisarmos quando o sistema possui três incógnitas e três equações lineares. Ou seja, se aumenta o número de incógnitas e de equações, aumenta também a análise do sistema. No caso das retas no plano, só tı́nhamos três posições para estudar. No caso de planos no espaço tridimensional, temos oito casos para analisar: 1. Os três planos são paralelos; Figura 3.4: Caso 1 Exemplo 3.3.9. O sistema Γ1 : ⎧ ⎪ ⎪ 2x + x2 − x3 = 0 ⎪ ⎨ 1 2x1 + x2 − x3 = 7 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 2x + x − x = 8 1 2 3 representa três planos paralelos. (Por quê?) 2. Os três planos coincidem; 100 Figura 3.5: Caso 2 ⎧ ⎪ 3x + 2x2 − 8x3 = 9 ⎪ ⎪ ⎨ 1 Exemplo 3.3.10. O sistema Γ2 : 9x1 + 6x2 − 24x3 = 27 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x1 + 2 x2 − 8 x3 = 3 3 3 representa o caso 2. 3. Os três planos são distintos e possuem somente uma reta em comum; Figura 3.6: Caso 3 ⎧ ⎪ ⎪ x + x2 + x3 = 1 ⎪ ⎨ 1 Exemplo 3.3.11. O sistema Γ3 : 3x1 − 4x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 6x + 3x − x = 3 1 2 3 representa o caso 3. 4. Os três planos se intersectam segundo retas paralelas duas a duas; ⎧ ⎪ 2x1 + 4x2 − 6x3 = 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 1 2 1 Exemplo 3.3.12. O sistema Γ4 : x2 + x3 = x1 + ⎪ 3 3 3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ −x − 7x + 13x = −2 1 2 3 representa o caso 4. 101 Figura 3.7: Caso 4 5. Os três planos possuem somente um ponto em comum; Figura 3.8: Caso 5 Exemplo 3.3.13. O sistema Γ5 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x2 − 9x3 = 3 x1 + 2x2 − x3 = 0 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x − 4x3 = 8 1 representa o caso 5. 6. Dois planos são paralelos e o terceiro os intersecta segundo retas paralelas; Exemplo 3.3.14. O sistema Γ6 : ⎧ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎨ 1 − 5x2 + = 3 8x1 + 3x2 − 9x3 = −3 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 4x − 20x + = 25 1 2 representa o caso 6. 7. Dois planos coincidem e o terceiro é paralelo a eles; 102 Figura 3.9: Caso 6 Figura 3.10: Caso 7 Exemplo 3.3.15. O sistema Γ7 : ⎧ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎨ 1 + 2x2 − x3 = 7 2x1 + 4x2 − 2x3 = −2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 3x + 6x − 3x = 21 1 2 3 representa o caso 7. 8. Dois planos coincidem e o terceiro os intersecta segundo uma reta. Exercı́cio: Construa um exemplo para este caso. Figura 3.11: Caso 8 Devemos nos atentar para o seguinte raciocı́nio: se não houver intersecção entre os três planos descritos pelas equações do sistema, 103 então ele não possui solução e é impossı́vel. Se houver intersecção, mas essa intersecção possuir mais de um ponto, então o sistema é possı́vel e indeterminado, já que tem infinitas soluções. Quando a intersecção for de somente um ponto, o sistema é possı́vel e determinado. Assim, montando uma tabela para os casos que acabamos de ver, teremos: Caso PD PI 1 X 2 X 3 X 4 5 I X X 6 X 7 X 8 X Na tabela acima, PD= sistema possı́vel determinado, PI= possı́vel indeterminado, I= impossı́vel. Ela nos diz que existem iguais casos de sistemas impossı́veis e possı́veis. Também nos mostra que o número de possı́veis indeterminados é superior ao de possı́veis determinados, que consta com só uma possibilidade. 3.4 SISTEMAS COM n INCÓGNITAS Estamos aptos a apresentar um sistema linear do tipo geral n × n, após termos dedicado bastante tempo com os casos 2 × 2 e 3 × n
3. No caso geral, uma equação do tipo αi xi = β representa um hiperplano no espaço euclidiano i=1 . . × R. Rn = R  × . n vezes 104 Seremos breve na exposição desse tópico, já que introduzimos os casos mais simples de forma suficiente para o perfeito entendimento deste. Assim, comecemos com a seguinte definição: Definição 3.4.1. Um sistema linear com n incógnitas é um sistema do tipo ⎧ ⎪ ⎪ α11 x1 + α12 x2 + . . . + α1n xn = β1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ α x + α x + ... + α x = β 21 1 22 2 2n n 2 Γ: .. .. , .. .. .. .. .. .. .. ⎪ ⎪ . . . . . . . . . ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ α x + α x + ... + α x = β k1 1 k2 2 kn n k onde k ≥ 1, αij , βi ∈ R, 1 ≤ i ≤ k, 1 ≤ j ≤ n. ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ As matrizes ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎛ α11 α12 . . . α1n α21 α22 . . . α2n .. .. .. .. . . . . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟, ⎟ ⎟ ⎠ αk1 αk2 . . . αkn ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ x1 x2 .. . xn ⎞ ⎛ β ⎟ ⎜ 1 ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ β2 ⎟ ⎟ e ⎜ ⎟ ⎟ ⎜ .. ⎟ são sua ⎟ ⎜ . ⎟ ⎠ ⎠ ⎝ βk prin- cipal, incógnita e independente, respectivamente. ⎞ ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ A matriz aumentada é dada por ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ α11 α12 . . . α1n β1 α21 α22 . . . α2n β2 .. .. .. .. .. . . . . . ⎟ ⎟ ⎟ ⎟. ⎟ ⎟ ⎠ αk1 αk2 . . . αkn βk Podemos escrever Γ como uma equação matricial: ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ x1 β1 α11 α12 . . . α1n ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ α21 α22 . . . α2n ⎟ ⎜ x2 ⎟ ⎜ β2 ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟=⎜ ⎟ ⎜ .. .. .. .. ⎟ ⎜ .. ⎟ ⎜ .. ⎟ . ⎜ . . . . ⎟⎜ . ⎟ ⎜ . ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ αk1 αk2 . . . αkn xn βk A n-upla (ξ1 , . . . , ξn ) é solução de Γ se, e somente se, ⎧ ⎪ ⎪ α11 ξ1 + α12 ξ2 + . . . + α1n ξn = β1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ α ξ + α ξ + ... + α ξ = β 21 1 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ .. . 22 2 .. . .. . 2n n .. . .. . .. . .. . 2 .. . .. . . αk1 ξ1 + αk2 ξ2 + . . . + αkn ξn = βk 105 3.4.1 RESOLUÇÃO DE UM SISTEMA LINEAR n × n Assim como nas seções anteriores, apresentaremos duas maneiras para a resolução de um sistema de equações lineares com n incógnitas e n equações: o método do escalonamento e a regra de Cramer. Pelo método do escalonamento, escalonamos a matriz aumentada do sistema e resolvemos o sistema. Pela regra de Cramer, calculamos os determinantes da matriz principal e das matrizes obtidas através da troca da i-ésima coluna da principal pela coluna da independente e tomamos o quociente destes por aquele. ⎧ ⎪ ⎪ x1 − 2x3 + x4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ 2x2 − x3 Exemplo 3.4.1. Resolva o sistema Γ : ⎪ ⎪ 2x1 + x2 + x3 − 2x4 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x3 − 3x4 = 0 = 5 = 1 = 4 Sol.: 1. Método do escalonamento ⎛ 1 0 −2 ⎜ ⎜ ⎜ 0 1 Escalonando a matriz aumentada, teremos: ⎜ ⎜ ⎜ 0 0 ⎝ 0 0 (Verifique!) Assim, a última linha nos diz que ξ4 = − 5 1 0 1 0 ⎞ ⎟ ⎟ −4 1 ⎟ ⎟. ⎟ −3 4 ⎟ ⎠ −25 47 47 . Substi25 7 42 41 47 tuindo este valor nas outras linhas, ganhamos que − , , − , − 5 25 25 25 é a soluçao do sistema. 3.4.2 DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR n × n Um sistema linear n × n pode ser possı́vel determinado (quando possui um única solução), possı́vel indeterminado (quando possui infinitas soluções), impossı́vel (quando não possui solução). 106 . Com o que aprendemos nas seções anteriores, podemos discutir um sistema linear da seguinte maneira: Segundo Cramer 1. Se D = 0, então o sistema é possı́vel determinado; 2. Caso D = 0 e Di = 0, 1 ≤ i ≤ n, então o sistema é possı́vel indeterminado ou impossı́vel; 3. Caso Di = 0 para algum i ∈ {1, . . . , n}, então o sistema é impossı́vel. Método do escalonamento 1. Se, ao escalonarmos a matriz, obtivermos uma linha com os (n − 1) primeiros termos iguais a zero e o n-ésimo não-nulo, então o sistema é impossı́vel; 2. Se não acontecer o caso anterior e obtivermos uma linha com todos os elementos nulos, então o sistema é possı́vel indeterminado; 3. Caso não aconteçam os casos anteriores, então o sistema é possı́vel determinado. 3.5 SAIBA MAIS O leitor poderá acessar, no sı́tio http://strato.impa.br/, excelentes vı́deos produzidos pela equipe coordenada pelo Professor Elon Lages Lima, do Programa de Formação de Professores do Ensino Médio. Acessando janeiro de 2002 e janeiro 2006, o leitor encontrará vı́deos sobre o ensino de sistemas lineares. 3.6 EXERCÍCIOS 1. Verifique se (1, 0) satisfaz os seguintes sistemas: 107 ⎧ ⎨ 3x − 4x 1 2 (a) S1 : ⎩ 5x + x 1 2 ⎧ ⎨ x − 2x2 1 (b) S2 : ⎩ 3x −5 x (c) S3 : 1 ⎧ ⎨ 2 = 3 ; = 5 = 1 = 3 4x2 = 5 ⎩ x − 3x = 6 1 2 ; . 2. Encontre as matrizes principal, incógnita, independente e aumentada para os seguintes sistemas: ⎧ ⎨ 3x − 4x = 3 1 2 (a) Γ1 : ; ⎩ 4x2 = 5 ⎧ ⎨ −5x + x = 0 1 2 (b) Γ2 : ; ⎩ x − 8x = 3 1 2 ⎧ ⎨ −2x − 5x = −5 1 2 (c) Γ3 : ; ⎩ 4x + x = 9 1 ⎧ ⎨ x 1 (d) Γ4 : ⎩ 12x 1 2 + 2x2 = 7 − 6x2 = 9 . 3. Diga se os seguintes sistemas são equivalentes. Caso não sejam, encontre sistemas equivalentes para eles: ⎧ ⎧ ⎨ 3ξ − 2ξ = 5 ⎨ 4ξ 1 2 1 (a) Γ : e Γ: ⎩ ξ − ξ = −1 ⎩ ξ 1 2 1 ⎧ ⎧ ⎨ −2ξ − 6ξ = 0 ⎨ ξ 1 2 1 (b) Γ : e Γ: ⎩ ξ ⎩ ξ + 7ξ = −2 1 2 1 + 3ξ2 = −8 − ξ2 + 7ξ2 = 0 ; = −2 + 15ξ2 = −6 . 4. Escalone os seguintes sistemas: 108 (a) Γ1 : ⎧ ⎨ − 2ξ2 = 6 ξ1 ⎩ −2ξ + 3ξ 1 2 ⎧ ⎨ −6ξ + 2ξ 1 2 (b) Γ2 : ⎩ ξ + ξ2 1 ⎧ ⎨ − ξ2 = (c) Γ3 : ⎩ ξ + 9ξ = 1 ; = 4 = 7 ; = 0 9 3 2 . 5. Diga se os seguintes sistemas estão escalonados. Caso não estejam, escalone-os: ⎧ ⎨ 2ξ + ξ = 3 1 2 (a) Λ1 : ; ⎩ ξ2 = 3 ⎧ ⎨ −ξ + 3ξ = 5 1 2 (b) Λ2 : ; ⎩ ξ − ξ = 2 1 2 ⎧ ⎨ ξ2 = 3 (c) Λ3 : . ⎩ ξ − 4ξ = 0 1 2 6. Resolva os seguintes sistemas pelo método do escalonamento: ⎧ ⎨ −ξ + 3ξ 1 2 (a) Λ1 : ⎩ ξ − ξ2 1 ⎧ ⎨ ξ − 2ξ2 1 (b) Λ2 : ⎩ −2ξ + 3ξ 1 2 = 5 = 2 ⎧ ⎨ −6ξ + 2ξ 1 2 (c) Λ3 : ⎩ ξ + ξ2 1 ⎧ ⎨ − ξ2 = (d) Λ4 : ⎩ ξ + 9ξ = 1 ⎧ ⎨ 5ξ1 (e) Λ5 : ⎩ −8ξ 2 = 6 = 4 = 7 = 0 9 3 ; ; ; ; 2 3 . = 7 − 18ξ2 = 1 + 5ξ2 109 7. Resolva os seguintes sistemas pelo método de Cramer: ⎧ ⎨ −ξ + 3ξ = 5 1 2 ; (a) Λ1 : ⎩ ξ − ξ = 2 (b) Λ2 : ⎧ ⎨ 1 2 − 2ξ2 = 6 ξ1 ⎩ −2ξ + 3ξ 1 2 ⎧ ⎨ −6ξ + 2ξ 1 2 (c) Λ3 : ⎩ ξ + ξ2 1 ⎧ ⎨ − ξ2 = (d) Λ4 : ⎩ ξ + 9ξ = 1 ⎧ ⎨ 5ξ1 (e) Λ5 : ⎩ −8ξ (f) Λ6 : ⎧ ⎨ = 7 ; = 0 9 ; 3 2 2 3 ; = 7 − 18ξ2 = 1 ξ1 ⎩ −2ξ 1 ⎧ ⎨ 2ξ1 (g) Λ7 : ⎩ ξ1 ⎧ ⎨ 9 ξ1 3 (h) Λ8 : ⎩ ξ 1 ; = 4 + 5ξ2 + 2ξ2 = 3 ; + 9ξ2 = 13 − 3ξ2 ξ2 − 2 3 ξ2 + 7 + 4ξ2 = 8 = 0 ; = 1 . = 7 8. Analise os seguintes sistemas: ⎧ ⎨ 2ξ + 8ξ 1 2 (a) Γ1 : ⎩ 3ξ − 5ξ 1 2 ⎧ ⎨ 3ξ + 9ξ 1 2 (b) Γ2 : ⎩ ξ + 3ξ 1 2 = 15 = ; 4 = 1 = 4 ; ⎧ ⎨ 5ξ − 8ξ = 16 1 2 (c) Γ3 : ; ⎩ 2ξ − 6ξ = 0 1 2 ⎧ ⎨ ξ + 3ξ = 8 1 2 ; (d) Γ4 : ⎩ 5ξ + 15ξ = 25 1 2 110 ⎧ ⎨ 4ξ 1 (e) Γ5 : ⎩ 12ξ − 2ξ2 = 7 − 6ξ2 1 = 21 . 9. Classifique os sistemas abaixo através dos métodos de Cramer e do escalonamento. Caso o sistema não seja impossı́vel, dê o seu conjunto solução. ⎧ ⎨ x 1 (a) ⎩ 9x − 5x2 = 3 ⎧ ⎨ x 1 (b) ⎩ 2x + 2x2 = 4 1 ⎧ ⎨ (c) ; − 4x2 = 0 ; + 4x2 = 9 1 + 3x2 = −5 x1 ⎩ −3x + 5x = 0 1 2 ⎧ ⎨ − x2 = 8 (d) ; ⎩ x + x = 9 1 2 ⎧ ⎨ 3x1 − 9x2 = 0 (e) ; ⎩ 4x1 5 x2 = 8 2 ⎧ ⎨ 5x − 3x = 7 1 2 (f) ; ⎩ 10x − 6x = 19 1 2 ⎧ ⎨ 2x 1 (g) ⎩ −4x ⎧ ⎨ x 1 (h) ⎩ 2x ⎧ ⎨ x 1 (i) ⎩ 2x 1 1 ; + 9x2 = 8 − 18x2 = −16 1 + x2 = −5 + x2 = −10 − x2 = 0 + 3x2 = 0 ; ; ; ⎧ ⎨ 9x1 − 5x2 = 7 (j) ; ⎩ 3x1 − 5 x2 = 7 3 3 111 ⎧ ⎨ 2x1 + 3x2 = 10 ; (l) ⎩ x1 + x2 = 3 2 4 2 ⎧ ⎨ 3x + 2x = 4 1 2 (m) ; ⎩ 6x − 5x = 3 1 ⎧ ⎨ 3x 1 (n) ⎩ 15x 1 2 − 8x2 = −2 − 24x2 = 7 ; ⎧ ⎨ −2x + 3x = 2 1 2 (o) . ⎩ 4x − 6x2 = −4 1 10. Faça a interpretação geométrica de cada um dos sistemas dados até aqui. 11. Em qual ponto as retas r : 2x + 3y = 1 e s : x − 4y = 8 se interceptam? 12. O que você pode dizer das retas t : 5x−2y = 9 e u : 15x−6y = 2? 13. Verifique se a terna (1,-2,4) é solução dos seguintes sistemas: ⎧ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎨ 1 (a) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x3 = −1 2x1 − 3x2 + 2x3 = 0 4x2 + 2x3 = 0 ⎧ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎨ 1 (b) + 3x2 + ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 9x 1 − 2x2 + x3 = ; 4 2x2 − 3x3 = −9 . − 6x3 = 0 14. Para os sistemas a seguir, diga quem são as suas matrizes principal, aumentada, independente e incógnita. 112 ⎧ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎨ 1 (a) ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ + 3x2 + 0 4x2 + 2x3 = 0 − 2x2 + 2x2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 9x 1 ⎧ ⎪ ⎪ x2 − ⎪ ⎨ (c) x1 + 2x2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ x − = − 6x3 = 4 0 9x3 = 3 − x3 = 0 ; − 4x3 = 8 1 x1 x3 ; − 3x3 = −9 . (b) (d) = −1 2x1 − 3x2 + 2x3 = ⎧ ⎪ ⎪ x ⎪ ⎨ 1 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ x3 x2 + 3x3 = 1 −2x1 + 6x2 − 8x3 = 10 . ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ 9x + x2 + 5x3 = −12 1 15. O aço é uma liga metálica formada por carbono e ferro, cuja percentagem de carbono varia entre 0, 008% e 2, 11%. Certa indústria dispõe de dois lotes de aço, um com 0, 087% e o outro com 1, 75% de carbono. A partir destes lotes, deseja-se fabricar uma peça de 100kg de aço com 1, 25% de carbono. Qual a massa necessária de aço de cada lote para a fabricação deste produto? 16. Outro material importante para nossa sociedade é o vidro. Ele entra na composição de janelas, recipientes de armazenamento, dentre outros. A sua composição básica é a seguinte: Componente Porcentagem em vidros comuns Sı́lica 74 Alumina 2 Óxido de Ferro 0,1 Cálcio 9 Magnésio 2 Sódio 12 Potássio 1 . 113 Para a construção de vidros para um certo prédio, dispõe-se de sete tipos de vidro, caracterizados a seguir: Porcentagem Componente I II III IV V VI VII Sı́lica 73,8 72,4 72,3 72,36 71,84 71,86 72 Alumina 2,2 2,5 2,31 2,3 2,22 2,34 2,5 Óxido de Ferro 0,3 0,03 0,23 0,08 0,31 0,3 0,24 . Cálcio 8,7 8,56 8,49 8,9 9 9,1 8,32 Magnésio 1,75 2,2 2,1 2,12 2,34 2,1 2,2 Sódio 12,2 11,34 11,4 11,2 11 12,3 11,4 Potássio 1,05 2,97 3,04 3,29 2 3,34 3,17 Encontre as massas de cada tipo de vidro necessárias para se produzir 1,5 t de vidro cuja composição desejada é a seguinte: Componente Porcentagem Sı́lica 73 Alumina 2,15 Óxido de Ferro 0,12 Cálcio 8,64 Magnésio 1,91 Sódio 12,12 Potássio 2,06 . 17. (UFMG) Durante o perı́odo de exibição de um filme, foram vendidos 2000 bilhetes, e a arrecadação foi de R$ 7600,00. O preço do bilhete para adultos era de R$ 5,00 e, para crianças, era de R$ 3,00. A razão entre o número de crianças e de adultos que assistiram ao filme nesse perı́odo foi: a) 1. 3 b) . 2 8 c) . d)2. 5 114 3.7 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A Matemática do Ensino Médio. Volume 3. 6.ed.. Rio de Janeiro: SBM, 2006. 115 Unidade 4 Trigonometria Resumo Apresentamos os seis elementos de um triângulo e como determiná-los a partir do conhecimento de três deles (conhecendo pelo menos a medida de um dos lados). Usamos as relações em triângulo para definir as funções trigonométricas. Aplicamos as Leis do Seno e Cosseno para determinar a distância entre dois pontos inacessíveis. Estabelecemos algumas medidas em locais presentes em Teresina. ÍNDICE UNIDADE 4. Trigonometria 4.1. Introdução 4.2 Trigonometria no triângulo retângulo 4.2.1 Relações métricas no triângulo retângulo 4.2.2 Cálculo do seno de alguns ângulos sem a ajuda de calculadora 4.3 Lei dos senos e dos Cossenos 4.3.1 Lei dos senos 4.3.2 Lei dos cossenos 4.4 Funções trigonométricas 4.5 As fórmulas de adição 4.6 Saiba mais 4.7 Exercícios 4.8 Respostas 4.9 Referência Bibliográfica Unidade 4 TRIGONOMETRIA 4.1 INTRODUÇÃO Desde a antigüidade é necessária a avaliação de distâncias inacessı́veis. Poucas são as distâncias que podemos medir diretamente, com auxı́lio de uma trena. Na verdade, a maioria do que desejamos saber sobre distâncias é calculado com o auxı́lio da trigonometria. O elemento básico usado para calcularmos tais distâncias é a resolução de triângulos. Geralmente, para solucionarmos tais problemas precisamos determinar lados e ângulos, conhecidos três deles (desde que não sejam os três ângulos). As condições de congruência mostram que os seis elementos de um triângulo estão relacionados funcionalmete. Por exemplo, o caso L.L.L. (lado-lado-lado) implica que os três ângulos são funções dos três lados. Este problema básico, dependendo dos dados, ou pode ser impossı́vel, ou pode ter uma única solução ou pode ter mais de uma solução. Para medir uma distância inacessı́vel necessitaremos de dois instrumentos: uma fita métrica, chamada de trena, e uma luneta apoiada em um tripé (Teodolito), que mede ângulos tanto no plano horizontal quanto no vertical. O teodolito fornece os seguintes dados: 118 a) Se o observador P vê um objeto R, ele pode determinar a medida do ângulo θ que a reta P R faz com o plano horizontal. Figura 4.1: Teodolito b) Se o observador P vê um objeto Q e girando a luneta vê um objeto R, ambos no plano horizontal, ele pode determinar o ângulo QP R. Figura 4.2: Ângulo no Plano Acessando o sı́tio http://paginas.terra.com.br/educacao/calculu/Textos/construindoteodolito.htm o leitor aprenderá como construir um teodolito muito simples, a partir de um transferidor. 119 Alguns problemas que vamos abordar fazem referência à cidade de Teresina, capital do estado do Piauı́, e à vizinha cidade de Timon, localizada à margem esquerda do Rio Parnaiba, no estado do Maranhão. Problema 1: Medir a altura da igreja São Benedito, localizada em Teresina. Enunciado: Um observador está em um ponto A,localizado na calçada do Palácio do Karnak (sede do Governo Estadual),a uma distância Para medir ângulos de 116, 954 metros da igreja São Benedito e a vê segundo um menores que ângulo cuja medida é 15◦ 3012 com o plano horizontal de observação( um são medido com o teodolito). Qual é a altura da igreja São Benedito grau, utilizadas duas sub- em relação ao plano de observação? unidades, definidas da seguinte forma: minuto:1 = 1◦ 60 segundo:1 = 1 60 Figura 4.3: Igreja São Benedito Problema 2: Medir a largura do Rio Parnaı́ba nas proximidades do Troca Troca. Enunciado: De um ponto A localizado no Troca - Troca em Teresina, avistase um ponto P localizado na outra margem, na cidade de Timon. De um ponto B, à direita do ponto A, distante 99, 980 metros de A também se avista o ponto P . Um observador em Teresina mediu os ângulos B ÂP = 90◦ e AB̂P = 66◦ 19 25 . De posse desses dados, qual é a largura do Rio Parnaı́ba? 120 Figura 4.4: Largura do Rio Problema 3: As pessoas utilizam pequenas embarcações para fazerem a travessia do Rio Parnaı́ba, de um ponto próximo ao Troca - Troca, localizado em Teresina, a um ponto localizado na outra margem, na cidade de Timon. Enunciado: De um ponto A localizado no Troca - Troca em Teresina, avistase um ponto P localizado na outra margem, na cidade de Timon. De um ponto B, à direita do ponto A, distante 99, 980 metros de A também se avista o ponto P . Um observador em Teresina mediu os ângulos B ÂP = 98◦ 47 39 e AB̂P = 66◦ 19 25 . De posse desses dados, qual é a distância entre A e P ? Figura 4.5: Porto das Barcas 121 4.2 TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Começaremos nosso estudo de trigonometria vendo o seu uso em triângulos retângulos. No ensino médio aprendemos que dado um triângulo retângulo
ABC de hipotenusa BC e catetos AB e AC, as relações trigonométricas valem: (Com um abuso de notação!) Figura 4.6: Triângulo retângulo
ABC (a) sen(B̂) = AC , BC (b) cos(B̂) = AB , BC (c) tg(B̂) = sen(B̂) cos(B̂) (d) cotg(B̂) = (e) sec(B̂) = cos(B̂) sen(B̂) 1 cos(B̂) (f) cossec(B̂) = AC , AB = = = 1 sen(B̂) AB , AC BC , AB = BC . AC Deixamos como exercı́cio a dedução das relações trigonométricas para o ângulo Ĉ. 122 O que acabamos de fazer foi definir, para um ângulo agudo de medida x,isto é, 0◦ ≤ x ≤ 90◦ o valor de sen(x), cos(x),etc. Para um ângulo obtuso de medida x, isto é, 90◦ < x < 180◦ , definimos sen(x) = sen(180◦ − x) e cos(x) = −cos(180◦ − x), que é o que precisamos. Com o auxı́lio de uma calculadora, podemos resolver alguns: Exemplo 4.2.1. Retomemos o Problema 1 de medir a altura da igreja São Benedito. No triângulo da Figura 4.3, seja h a altura da igreja medida em relação ao plano horizontal. Assim, temos: h = tg(15◦ 30 12 ). 116, 954 Resolvendo, obtemos h = 116, 954 × tg(15◦30 12 ) metros. Com auxı́lio de uma calculadora, obtemos tg(15◦ 3012 ) = 0, 2774. Portanto, h = 32, 44, ou seja, a igreja tem uma altura de 32, 44 metros. Exemplo 4.2.2. No Problema 2, de medir a largura do Rio Parnaı́ba nas proximidade do Troca-Troca, de modo análogo ao exemplo anterior, chamando de h a largura, temos: h = tg(66◦19 25 ). 99, 980 Com auxı́lio de uma calculadora, obtemos tg(66◦ 1925 ) = 2, 28. Portanto, h = 227, 95, ou seja, a largura do rio Parnaı́ba, nas proximidades do Troca-Troca é de 227, 95 metros. Exemplo 4.2.3. No triângulo abaixo, AB̂C = 30◦ (Quanto mede AĈB?), e BC = 2, 5 cm. Encontre o valor de AB e de AC. 123 AC e que AB̂C = 30◦ . Olhando BC na tabela o valor de sen(30◦ ), ganhamos que: Sol.: Sabemos que sen(AB̂C) = AC 1 = sen30◦ = sen(AB̂C) = ⇒ AC = 1, 25cm. 2 BC Analogamente, vendo o valor de cos(30◦ ), teremos: √ √ 3 AB = cos 30◦ = cos(AB̂C) = ⇒ AB = 1, 25 3 cm. 2 BC Notemos no triângulo anterior que sen(AB̂C) = AC ⇒ AC = BC AB ⇒ AB = BC cos(AB̂C). DeBC duza as fórmulas para o ângulo AĈB. (Notou alguma relação entre BCsen(AB̂C) e que cos(AB̂C) = sen(AB̂C) e cos(AĈB)? E entre sen(AĈB) e cos(AB̂C)?) 4.2.1 RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO Apesar de ser um assunto explorado pela nossa adorável Geometria, não custa nada falarmos das relações métricas em triângulos retângulos. Com essas relações em mente, conseguimos resolver vários problemas geométricos. Como podemos ver, elas advêm de fatos trigonométricos simples. Num triângulo retângulo
ABC, cuja altura referente ao lado BC, as seguintes relações valem: • AC × AB = BC × h; • c2 = BC × m e b2 = BC × n; • h2 = m × n; • (Teorema de Pitágoras) (BC)2 = (AB)2 + (AC)2 . A demonstração de tais fatos ficam como exercı́cio para o leitor. Exemplo 4.2.4. No triângulo retângulo abaixo, calcule o valor de h: BC = 5cm, AĈB = 60◦. 124 Sol.: Como sabemos, AC × AB = BC × h ⇒ h = AC × AB . BC Com a ajuda da trigonometria, ganhamos que ⎧ 5 ⎪ ⎪ AC = BCsen(AB̂C) ⇒ AC = cm ⎪ ⎪ 2 ⎨ √ ⎪ ⎪ ⎪ 3 5 ⎪ ⎩ AB = BC cos(AB̂C) ⇒ AB = cm 2 √ 5 3 Logo, podemos concluir que h = cm. 4 . Exemplo 4.2.5. No triângulo abaixo, calcule quanto vale a hipotenusa. Sol.: Ora, sabemos que tg(45◦ ) = 1. Daı́, podemos concluir que 1 = tg(45◦) = tg(AB̂C) = h ⇒ m = 2 cm. m Também sabemos que h2 = m × n e que BC = m + n. Logo, teremos: 4 = 2n ⇒ n = 2 =⇒ BC = 2 + 2 = 4. A medida da hipotenusa é, então, 4 cm. 125 4.2.2 CÁLCULO DO SENO DE ALGUNS ÂNGULOS SEM A AJUDA DE CALCULADORA Começaremos com o cálculo do seno de ângulos simples. Devemos a maioria dessas demonstrações aos egı́pcios, gregos e babilônios. Eles nos deixaram uma importante contribuição nas áreas da Geometria e da trigonometria. Na sua época, possuir uma calculadora era um sonho bastante distante. Assim, calcular senos e cossenos de ângulos não elementares era tarefa que ocupava a mente de muitos pensadores da época. Convidamos o leitor a procurar maneiras diferentes de calcular os senos dos ângulos expostos aqui e também a procurar meios para o cálculo do seno de outros ângulos. • Seno de 60o Talvez este seja o mais fácil de se calcular. Para isso, tomemos um triângulo eqüilátero de lado unitário: (O que é um triângulo eqüilátero?) Traçando a altura referente ao lado BC: 126 Ganhamos (utilizando alguns conhecimentos elementares de√ ge3 ometria plana e o famoso teorema de Pitágoras) que h = . 2 Assim, calculando o seno do ângulo √ AB̂C√(Quanto mede AB̂C?), 3/2 3 = . conseguimos que sen(AB̂C) = 1 2 Exercı́cio: Olhando para o nosso triângulo, você seria capaz de dizer quanto vale o seno de 30◦ ? • Seno de 45◦ Após calcularmos o seno de 60◦ , passemos ao cálculo do seno de 45◦ . Parra isso, tomemos o seguinte triângulo isósceles: Pelo teorema de Pitágoras, ganhamos que a hipotenusa deste √ nosso triângulo mede 2. Logo, o seno de 45◦ é dado por: (Por quê?) √ 2 1 . sen45 = √ = 2 2 ◦ • Seno de 54◦ Este resultado não é tão óbvio como os anteriores. Para calculálo, tomemos o seguinte triângulo: 127 Dividindo o ângulo B ÂC em três partes iguais e notando que alguns desses triângulos são isósceles, teremos que: Agora, olhemos detalhadamente para o triângulo: Podemos concluir que x + y = 1. Atentemo-nos para o triângulo
EAC: Utilizando as propriedades de semelhança de triângulos, ganhamos que √ o que implica que x = √ 3− 5 . y= 2 2x + y 1 = , 1 x 5−1 . (Por quê?) Logo, teremos que 2 Traçando a altura relativa ao lado BC, obtemos: 128 Olhando mais especificamente para o triângulo
AF C, podemos concluir que: Acessando o sı́tio www.ime.usp.br / leo/imatica/historia /trigonometria.html o leitor conhecerá um pouco da História √ 1 + 5 x + y/2 = . sen54◦ = 1 4 A origem da trigonometria é incerta. Entretanto, pode-se dizer mais que o inı́cio do desenvolvimento da trigonometria se deu principal- da mente devido aos problemas gerados pela Astronomia, Agrimensura Trigonometria. e Navegações, por volta do século IV ou V a.C., com os egı́pcios e babilônios. 4.3 LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS Após vermos uma introdução à trigonometria no triângulo retângulo, com suas principais propriedades e curiosidades, passaremos a estudar as aplicações da trigonometria em triângulos quaisquer. O nome qualquer se deve ao fato de que iremos, nessa seção, resolver problemas envolvendo triângulos de todos os tipos e não somente os que pertencem á classe dos que são retângulos. Mas, apesar de trabalharmos com triângulos de todos os tipos, veremos que sempre poderemos fazer manipulações que permitem usarmos o que sabemos acerca da tigonometria em triângulos retângulos. 129 Veremos as famosas leis do seno e do cosseno e faremos alguns exercı́cios interessantes. 4.3.1 LEI DOS SENOS No problema 3 do inı́cio desta unidade temos de determinar a distãncia entre dois pontos situados nas margens opostas do Rio Parnaı́ba. A seguir enunciaremos uma lei de bastante utilidade para resolução de problemas práticos e faremmos uma demonstração simples e elegante. Proposição 4.3.1 (Lei dos senos). Seja
ABC um triângulo qualquer. Então AB sen(AĈB) = BC sen(B ÂC) = AC sen(AB̂C) . Demonstração. O leitor deve se convencer de que precisamos somente analisar dois casos, que ilustraremos a seguir: 1. O triângulo
ABC é acutângulo. (O que é um triângulo acutângulo?) Vejamos a figura: Neste triângulo acutângulo, se traçarmos a altura relativa ao lado AC, teremos a seguinte figura: Chamando h de BD, i.e., se chamarmos de D a interseção de h com AC, e tomarmos d = AD, teremos que DC = AC) − d. (Concorda?) Também temos que d = AB cos(B ÂC). (Por quê?) 130 Agora, usando as relações trigonométricas que já conhecemos, conseguimos BCsen(AĈB) = h = ABsen(B ÂC) ⇒ BC sen(B ÂC) = AB sen(AĈB) . Repetindo o mesmo raciocı́nio com a altura relativa ao lado AB, conseguimos que BC sen(B ÂC) = AC sen(AB̂C) . 2. O triângulo
ABC é obtusângulo. (O que é um triângulo obtusângulo?) Vejamos o desenho: Tomando a altura relativa ao lado BC, obtemos a figura: Chamando de h tal altura, de P a interseção de h com o prolongamento do lado BC, e de d o comprimento de P B, temos que AC sen(AĈB) = h = AB sen(π − AB̂C). Veremos que sen(π − α) = sen(α) , ∀α ∈ R. Daı́, 131 AC sen(AĈB) = AB sen(AB̂C). Assim, AC sen(AB̂C) = AB sen(AĈ)B . Raciocinando do mesmo modo que no item anterior, ganhamos que AC sen(AB̂C) = BC sen(B ÂC) . Exemplo 4.3.1. Voltemos a olhar para o problema 3, que consiste em determinar a distância entre dois pontos localizados nas margens opostas do rio Parnaı́ba, nas proximidades do Troca - Troca. Chamando de x a distância entre o ponto A e o ponto P e aplicando a Lei dos Senos no triângulo
ABP , temos: x 99, 980 = . ◦   sen(15 33 36 ) sen(66◦ 19 25 ) Com o auxı́lio de uma calculadora, obtemos sen(15◦ 33 36 ) = 0, 268 e sen(66◦ 1925 ) = 0, 916. Assim, temos x = 341, 72, ou seja, o barqueiro percorre uma distância de 341, 72 metros para fazer a travessia de seus passageiros. 4.3.2 LEI DOS COSSENOS Vejamos o seguinte problema: Deseja-se saber o comprimento de um lado de um terreno triangular que possui os outros dois lados iguais a 200m e 350m. O ângulo formado por esses dois lados é igual a 60◦ . Neste caso não seremos felizes se usarmos a lei dos senos, pois só sabemos o valor de um dos ângulos e o triângulo não é elementar. Para resôlve-lo, necessitamos da lei dos cossenos: 132 Proposição 4.3.2 (Lei dos cossenos). Seja
ABC um triângulo qualquer. Então (AB)2 = (AC)2 + (BC)2 − 2(AC)(BC) cos(Ĉ), (AC)2 = (AB)2 + (BC)2 − 2(AB)(BC) cos(B̂), (BC)2 = (AC)2 + (AB)2 − 2(AC)(AB) cos(Â). Demonstração. Deixamos a prova como exercı́cio para o leitor. Exercı́cio: Resolva o problema anterior. 4.4 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS Acabamos de ver aplicações da trigonometria em problemas geométricos. Mas ela não está apenas associada à resolução de triângulos. É enorme a quantidade de problemas que conseguimos resolver graças à trigonometria. Por exemplo, aprendemos métodos matemáticos para a resolução de equações diferencias que envolvem funções trigonométricas, como o método de Fourier. Em problemas fı́sicos, como o problema do oscilador harmônico, o uso da Trigonometria também é essencial. Antes tratava-se de seno de um ângulo de um triângulo qualquer. Agora, trata-se da função seno aplicada a um número real. O que antes possuı́a uma abrangência pequena agora pode ser trabalhado de maneira mais geral. Podemos com isso explicar com ferramentas matemáticas as soluções de equações que envolvam funções trigonométricas. Apresentaremos todas as funções trigonométricas de maneira rápida e sucinta. Não nos delongaremos em apresentá-las separadamente. Definição 4.4.1. Sejam α, β, γ ∈ R números reais dados. As funções seno, cosseno e tangente são, respectivamente, dadas por: f : R −→ R x −→ f (x) = α + βsen(γx) , 133 g : R −→ R , x −→ g(x) = α + β cos(γx)  π + 2kπ / k ∈ Z −→ R h : R\ 2 . x −→ h(x) = α + βtg(γx) Note que enunciamos as funções seno, cosseno e tangente no modo mais geral possı́vel. Faremos seus estudos também desta maneira. Lembremos que dada uma função real f e p ∈ R, dizemos que f é p-periódica se f (x + p) = f (p), ∀x ∈ dom f . Chamamos de perı́odo fundamental de f o menor elemento do conjunto {p / f (x + p) = f (x)}. No ensino médio estudamos o ciclo trigonométrico, onde aprendemos a associar o par (cos(x), sen(x)) a um ponto da circunferência de raio unitário e centro na origem. Essa associação se deve a Euller. O fato do raio de tal circunferência ser unitário nos dá uma demonstração de que cos2 (x) + sen2 (x) = 1: Proposição 4.4.2. Para todo x em R, temos que cos2 (x) + sen2 (x) = 1. Demonstração. Seja C = {(x, y) ∈ R / x2 + y 2 = 1} a circunferência de raio unitário centrada na origem. A função de Euller nos diz que existe uma relação entre cada ponto (x, y) da circunferência e cada x real tal que ∀x ∈ R, (cos(x), sen(x)) ∈ C. Daı́, temos que para cada x vale cos2 (x) + sen2 (x) = 1. Existem demonstrações mais elegantes para a identidade que enunciamos acima. Mas elas fazem uso de teorias mais avançadas e por isso as omitimos do texto. O leitor curioso deve procurar mais demonstrações para tal fato. Exemplo 4.4.1. Se cos(α) = λ e α ∈ (0, π/2), quanto vale sen(α)? Sol.: Como α ∈ (0, π/2), então já podemos concluir que sen(α) > 0. (Por quê?) A proposição anterior nos diz que cos2 (α) + sen2 (α) = 1. √ Logo, sen(α) = 1 − λ2 . Uma conseqüência importante da proposição anterior é o seguinte resultado: 134 Proposição 4.4.3. Sejam k ∈ R e a função f : R −→ R, x −→ f (x) = 2π sen(kx). O perı́odo fundamental de f é igual a . |k| Demonstração. Na seção Fórmulas de adição veremos que senk(x + p) = sen(kx) cos(kp) + sen(kp) cos(kx), onde p é o perı́odo fundamental de f . Daı́, sen(kx) = sen(kx) cos(kp) + sen(kp) cos(kx). Tomando x = π , ganhamos que cos(kp) = 1. (Por quê?) Como cos2 (kp)+sen2 (kp) = 2k 1, concluı́mos que sen(kp) = 0. Do ensino médio, recordamos que 2π sen(kp) = 0 ⇒ p = . |k| 2π = Exemplo 4.4.2. O perı́odo fundamental de g(x) = sen(8x) é p = 8 π . 4 A tı́tulo de recordação, vejamos o ciclo trigonométrico. Figura 4.7: Ciclo trigonométrico Os eixos paralelos a Ox e a Oy respectivamente são os eixos da cotangente e da tangente. Assim, dado o ângulo a assinalado na 135 figura, os pontos P, Q, R e S são, nessa ordem, iguais a cos(a), sen(a), cotg(a) e tg(a). Também vimos no ensino médio que o conjunto imagem de sen(x), cos(x) é dado por [−1, 1]. Daı́, podemos concluir que para as funções f : R −→ R x −→ f (x) = α + βsen(γx) g : R −→ , R x −→ g(x) = α + β cos(γx) o conjunto imagem é dado por [α − β, α + β]. A imagem da função π  h : R\ + 2kπ / k ∈ Z −→ R 2 x −→ h(x) = α + βtg(γx) é (−∞, +∞). Exercı́cio. Encontre o domı́nio e a imagem das funções cotg, cossec, sec. Exercı́cio. Determine os valores máximo e mı́nimo da função 5 f : R → R dada por f (x) = . 4 + sen(x) Exercı́cio. Se sen(x) + cos(x) = 1, 1, quanto vale 2sen(x)cos(x)? 4.5 AS FÓRMULAS DE ADIÇÃO De grande utilidade na resolução de exercı́cios e de cálculos envolvendos integrais, as fórmulas de adição de arcos nos dão regras para calcularmos o seno, cosseno, tangente de ângulos que podem ser expressos como soma de outros dois conhecidos. Por exemplo, de posse da regra do seno da soma, podemos calcular quanto vale sen(75◦ ), apenas sabendo os valores de sen(45◦ ), sen(30◦ ), cos(45◦ ), cos(30◦ ). 136 Proposição 4.5.1. Sejam α e β dois ângulos quaisquer. Então: sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(α) cos(α) cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α)sen(β). Demonstração. Olhemos primeiramente para a figura Na figura, o triângulo
OA C é reto em A . Os ângulos Â, Â , B̂ são retângulos. Chamaremos os ângulos AÔA , A ÔC de α, β, respctivamente. Através das regras de congruência podemos concluir que medAÔA = medB  ĈA . No triângulo
OAA, podemos concluir que: sen α = AA ⇒ AA = OA sen α.  OA (4.1) Já no triângulo
OA C teremos: cos β = OA ⇒ OA = OC cos β. OC (4.2) Ainda analisando o triângulo
OAC, veremos: sen β = A C ⇒ A C = OC sen β. OC (4.3) 137 Usando um fato já conhecido (Qual?), podemos concluir que cos α = CB  ⇒ CB  = A C cos α. AC  (4.4) Basta analisarmos o triângulo
OBC. Como sabemos, medÔ = med(α + β). Logo, sen (α + β) = BC ⇒ BC = OC sen (α + β). OC (4.5) O leitor atento deve ter percebido que medBC = medB  C+medAA . Juntando os fatos conseguidos, ganhamos que sen (α + β) = sen α cos β + sen β cos α. A prova de cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α)sen(β) fica a cargo do leitor. 4.6 SAIBA MAIS 1) O leitor poderá acessar, no sı́tio http://strato.impa.br/, excelentes vı́deos produzidos pela equipe coordenada pelo Professor Elon Lages Lima, do Programa de Formação de Professores do Ensino Médio. Acessando janeiro de 2003,janeiro de 2004, janeiro de 2005, julho de 2006 e janeiro de 2007 o leitor encontrará vı́deos sobre o ensino de *Trigonometria, no qual nos inspiramos para escrever esse material; 2) Para conhecer um pouco da História da Matemática, visite o sı́tio http://www.matematica.br/historia/index.html; 3) O leitor poderá acessar o sı́tio http://www.matematica.br/historia/index h tempo.html, onde terá um ı́ndice cronológico apresentado por assunto; 4) As aplicações e exercı́cios deste capı́tulo é inspirado no excelente material desenvolvido pelos professores Elon Lages Lima, 138 Paulo César Pinto Carvalho, Eduardo Wagner e Augusto César Morgado, o qual o leitor pode acessar através do sı́tio http://www.ensinomedio.impa.br/materiais/tep/cap4.pdf 5) O leitor pode acessar o sı́tio http://www.mat.ufrgs.br/ portosil/passa2c.html para aplicações outras da trigonometria; 6) O leitor pode acessar o sı́tio http://www.matematica.br/programas/varios.html para baixar programas educacionais interativos. 7) Para conhecer um pouco do matemático francês Laplace, o leitor pode acessar http://pt.wikipedia.org/wiki/Pierre Simon Laplace. 4.7 EXERCÍCIOS 1. Deduza as fórmulas para sen(Â − B̂) e cos(Â − B̂). 2. Com a ajuda da proposição anterior e do último exercı́cio, mostre que tg(Â + B̂) = tg(Â) + tg(B̂) 1 − tg(Â)tg(B̂) . 3. Deduza a fórmula para tg(Â − B̂). 4. Algumas conseqüências da última proposição simples porém úteis são as seguintes: (a) sen(π − α) = sen(α), ∀α ∈ [0, π]; (b) cos(π − α) = − cos(α), ∀α ∈ [0, π]; (c) sen(2π − α) = −sen(α), ∀α ∈ [0, π]; (d) cos(2π − α) = cos(α), ∀α ∈ [0, π]. Mostre-as e deduza outras conseqüências importantes advindas da adição de arcos. 5. Prove as identidades abaixo: 139 1 − tg 2 (x) = 1 − 2sen2 (x) 1 + tg 2(x) sen (x) = 1 + cos(x) b) cossec(x) − cotg(x) a) 6. Determine todas as soluções da equação sen(2x + π3 ) = 12 . 7. Se tg(x) + sec(x) = 32 , calcule sen(x) e cos(x). 8. Se tg(x) = 12 , calcule tg(3x). 9. Calcule: y = sen( 5π ) cos( 5π ). 2 2 10. Calcule: y = π 1 + tg( 12 ) π 1 − tg( 12 ) 11. Determine os valores máximo e mı́nimo de: a) y = a sen2 (x) + b cos2 (x), com a2 + b2 = 0 b) y = a sen(x) + b cos(x), com a2 + b2 = 0 c) y = asen x cos x , com a > 1 d) y = cos4 x + sen4 x 12. Observando a figura abaixo, mostre que o ângulo C ÂB é igual a 45◦ . 13. Uma estrada que está sendo construı́da em um plano horizontal e será formada pelos trechos retos XP , P Q e QY . No trecho P Q será construido um túnel para atravessar uma montanha. Os engenheiros devem saber tanto em P quanto em Q, que direção devem tomar para construir o túnel AB de forma que 140 o trecho P ABQ seja reto. Eles então fixaram um ponto C do plano horizontal, visı́vel tanto em P quanto de Q, formando o triângulo mostrado na figura abixo. Com auxı́lio do teodolito e de uma trena, determinaram as seguintes medidas: CP = 1, 2Km, CQ = 1, 8Km e P ĈQ = 27◦ . Calcule as medidas dos ângulos C P̂ Q e C Q̂P . 14. Se tg α = 35 , quanto vale sen 2α? Analise para α ∈ (0, π). 15. Sabendo que tg α = 2 3 e que cotg β = 49 , calcule: (α, β ∈ (π, 3π )) 2 (a) sen α + sen β; (b) cos α + cos β; (c) sen (α + β); (d) cos (α + β); (e) sec (2α − 3β). 16. Resolva as equações: (x ∈ (0, 2π)) (a) cos2 x − 2 cos x + 3 = 0; (b) tg x = 35 ; (c) cos2 x + sen2 x = 0; (d) 4 cos x + 1 = 8. senx 17. Resolva a equação cos (x − π) = 3sen x. 141 4.8 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. 9.ed.. Rio de Janeiro: SBM, 2006; 2. CARMO, M.P. do; MORGADO, A.C.; WAGNER, E.. Trigonometria, Números Complexos. Notas históricas de João Bosco Pitombeira de Carvalho. Rio de janeiro: SBM, 1992. 142 Unidade 5 Números Complexos Resumo Apresentamos o corpo dos números complexos. Usamos a representação trigonométrica de um número complexo para estabelecer a fórmula de De Moivre. Finalizamos com o cálculo das raízes da unidade. ÍNDICE UNIDADE 5. Números Complexos 5.1 Introdução 5.1 O corpo dos números complexos 5.1.1 Adição de números complexos 5.1.2 Representação geométrica de um número complexo 5.1.3 Multiplicação de números complexos 5.2 Forma trigonométrica de um número complexo 5.3 Fórmula de De Moivre 5.4 Raízes da unidade 5.5 Saiba mais 5.6 Exercícios 5.7 Respostas 5.8 Referência bibliográfica Unidade 5 NÚMEROS COMPLEXOS 5.1 INTRODUÇÃO O que é um número? Esta pergunta é feita há muito tempo, como conta a História da Matemática. Chega mesmo a intrigar muitas pessoas e ocupa o tempo de várias. Não é nosso escopo desenvolver alguma teoria sobre o significado de um número. Como os problemas tendem a ficar cada vez mais complexos à medida em que se desenvolve algo, em particular a Matemática, vimos como simples problemas na Antigüidade exigiram o desenvolvimento de técnicas e teorias para a sua completa solução. Neste sentido, equações como x − 3 = 8 possui uma solução conhecida para nós, a saber, x = 11. Também sabemos que a equação x + 2 = 1 possui uma solução, que é x = −1. Esta, por incrı́vel que possa parecer, foi fruto de várias discórdias entre matemáticos em épocas remotas. Alguns relutavam em dizer que a última equação é irresolúvel, outros usavam resultados análogos sem procurar uma base teórica. Após o conhecimento do conjunto dos números inteiros, tais problemas passaram a ser tratados como triviais, e são ensinados ainda no ensino fundamental de váriasescolas ao redor do mundo. Com raciocı́nio análogo, equações do tipo ax = b, com a, b inteiros e a nãonulo levaram ao estudo de outro conjunto, o dos números racionais. 146 Após isso, muitos afirmaram que todos os problemas matemáticos existentes poderiam ser resolvidos tomando como conjunto universo o conjunto dos números racionais. Mas a História da Matemática nos mostra que várias afirmações aceitas sem demonstração foram derrubadas pouco tempo depois. E a afirmação de que os números racionais solucionavam todos os problemas também foi rapidamente excluı́da da Matemática. Era um √ fato bem conhecido dos pitagóricos que 2 ∈ / Q. Denominaram de irracionais os números que não eram racionais e à união dos conjuntos dos racionais com o dos irracionais denominaram de conjunto dos números reais, ao qual já nos referimos várias vezes. Chegaram a afirmar que os números reais seriam suficientes para resolução de todos os problemas matemáticos. Mas vários problemas mostraram a insuficiência de tal conjunto para o perfeito crescimento da Rainha das ciências. Descreveremos aqui apenas um problema que mostrou a insuficiência do conjunto dos números reais para a Matemática. Gerônimo Cardano, matemático que viveu no século XVI, desenvolveu um método para a resolução de equações do tipo x3 + px = q. Através de algumas manipulações matemáticas, ele chegou à conclusão de que
 x= 3  p 3 3 +  q 2 2
  p 3  q 2 q q 3 − + − + − 2 3 2 2 (5.1) é uma solução da equação x3 + px = q. Na época de Cardano nem mesmo os números reais tinham todas as suas propriedades conhecidas. Imagine então trabalhar com raı́zes quadradas de números negativos! Foi isso que aconteceu quando Cardano analisou a solução para a seguinte equação: x3 − 15x − 4 = 0. (5.2)  √ Como já sabemos, a solução real é dada por x = 3 2 + −121 +  √ 3 2 − −121. Cardano sabia que a solução positiva de x3 − 15x − 4 = √ 0 era x = 4. Mas infelizmente, trabalhar com o número −121 era 147 muito estranho para ele, já que na sua época os algebristas relutavam em afirmar que equações cujas soluções eram formadas por raı́zes quadradas de números negativos eram irresolúveis. Por que então admitir que essas raı́zes de fato existem? Esse foi um dilema para Cardano. Na mesma época havia um algebrista italiano chamado Rafael   √ √ √ Bombelli mostrou que 3 2 + −121 = 2 + −1, e que 3 2 − −121 =   √ √ √ 2 − −1. Assim, conseguia-se que 3 2 + −121 + 3 2 − −121 = √ √ 2 + −1 + 2 − −1 = 4. Bombelli trabalhava sem preocupação com o √ termo −1 em seus trabalhos. Este era um começo para a teoria dos números complexos. 5.2 O CORPO DOS NÚMEROS COMPLEXOS Vimos na introdução que o conjunto dos números reais não soluciona todos os problemas matemáticos existentes. O problema de Cardano é somente uma ilustração para tal fato. Um outro fato ilustrativo mais simples é o de resolver a equação x2 + 4 = 0. Esta equação nao possui soluções em R. Tente resolver em R o seguinte sistema: ⎧ ⎨ x + x2 = 5 1 . ⎩ 4x1 x2 = 89 Quais foram as raı́zes encontradas? Elas pertencem ao conjunto dos números reais? Tente fazer o mesmo para o seguinte sistema: ⎧ ⎨ x + x2 = 20 1 . ⎩ 4x x = 625 1 2 15 √ 15 √ −1 e 10 + −1 2 2 como possı́veis soluções para o sistema acima. Mas estas soluções O leitor atento deve ter encontrado 10 − não são números reais. Por isso dizemos que o sistema anterior não é solucionável em R. 148 √ Para sanar esse problema, introduzimos o seguinte termo: i = −1, denominada de unidade imaginária, tal que i2 = −1. Tal el- emento não pode ser real, pois sabemos que o quadrado de todo número real não-nulo é positivo, e −1 < 0, i.e., i2 < 0 ⇒ i ∈ / R. As soluções do sistema anterior podem ser escritas, então, assim: 15 15 10 − i e 10 + i. 2 2 Conseguimos então, com a unidade imaginária, um novo conjunto: {a+ib /a, b ∈ R}. Os elementos a+ib deste conjunto recebem o nome de números complexos, e, como o leitor esperto já deve ter deduzido, tal conjunto é denominado de conjunto dos números complexos, e será designado por C. Exemplo 5.2.1. 5 + 3i é um número complexo. Exemplo 5.2.2. 2 + 4i é um número complexo. Dado um número complexo x + iy, diremos que a sua parte real é x e a sua parte imaginária é y. Em sı́mbolos: C  z = x + iy ⇒ Re(z) = x, Im(z) = y, onde Re(z) representa a parte real de z e Im(z) a sua imaginária. Exemplo 5.2.3. z = 3 + 4i ⇒ Re(z) = 3, Im(z) = 4. Exemplo 5.2.4. w = 5 ⇒ Re(w) = 5, Im(z) = 0. Neste caso, dizemos que w é um real puro, pois sua parte imaginária é nula, e a sua real não o é. Exemplo 5.2.5. u = 8i ⇒ Re(u) = 0, Im(u) = 8. Já neste caso, dizemos que u é um imaginário puro, pois sua parte real é nula, enquanto que a sua imaginária não o é. Exercı́cio. Qual o único número complexo que é real e imaginário puro ao mesmo tempo? Dois números complexos são iguais se, e somente se, suas partes reais forem iguais, o mesmo acontecendo com as partes imaginárias. Ou seja, x1 + iy1 = x2 + iy2 ⇔ x1 = x2 , y1 = y2 . 149 Exemplo 5.2.6. z = 0 ⇔ Re(z) = 0, Im(z) = 0. Exemplo 5.2.7. x + iy = 2 − 3i ⇔ x = 2, y = −3. A seguir veremos como se obter um mútiplo qualquer de um número complexo: z = x + iy ⇒ αz = αx + iαy. Exemplo 5.2.8. 3(2 − 13i) = 6 − 39i. Quanto vale 0z? 5.2.1 ADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Assim como nos conjuntos dos números naturais, inteiros, reais, racionais consideramos uma operação de adição, também consideraremos uma operação de adição em C definida por: + : C×C −→ C, u = x1 +y1 , w = x2 +y2 −→ u+w = x1 +x2 +i(y1 +y2 ). Assim, quando adicionamos dois números complexos, o resultado é dado por um número complexo cuja parte real é a soma das partes reais deles, ocorrendo o mesmo quanto à parte imaginária. Exemplo 5.2.9. 4 + 6i + 2 − 5i = (4 + 2) + (6 − 5)i = 6 + i. Exemplo 5.2.10. 12 − 4i + 3i = (12 + 0) + (−4 + 3)i = 12 − i. Presumimos que o leitor esperto deve ter deduzido que a soma de dois números complexos reais puros é ainda um real puro, a de dois imaginários puros é ainda um imaginário puro. E isso não se restringe somente ao caso da adição de dois elementos, mas sim de vários. (Por quê?) Analogamente ao caso real, a subtração de números complexos é apenas um caso particular da adição deles. Isto é, u − w = u + (−w), u, w ∈ C. Logo, não delongaremos tempo analisando a subtração em C. Exemplo 5.2.11. −12 + 2i − (2 − 9i) = −14 + 11i. 150 PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Já conhecida a operação de adição de números complexos, vimos que ela na verdade se trata de somarmos as partes real e imaginária dos termos componentes, sendo que estas somas são entre elementos reais. Assim, as propriedades da adição em C são análogas as da adição em R. Passaremos, então, a citá-las. As suas constatações são deixadas como exercı́cio para o leitor, devido à sua simplicidade. u = x1 + iy1 , v = x2 + iy2 , w = x3 + iy3 ∈ C, α ∈ R: • Associatividade u + (v + w) = (u + v) + w Exemplo 5.2.12. 2+0i+(−2−3i+1+i) = [2+0i+(−2−3i)]+1+i = 1 − 2i. • Comutatividade u + v = v + u Exemplo 5.2.13. −12 − 3i + 3 + 8i = 3 + 8i + (−12 − 3i) = −9 + 5i. • Elemento neutro ∃ũ ∈ C; ũ + v = v + ũ = v, ∀v ∈ C. Exercı́cio. Mostre que ũ = 0. Isto é, o elemento neutro em C é único. Exemplo 5.2.14. 5 + i + 0 + 0i = 0 + 0i + 5 + i = 5 + i. • Elemento oposto ∀v ∈ C, ∃ṽ; v + ṽ = ṽ + v = 0 Exercı́cio. Mostre que ṽ = −v. Ou seja, o elemento oposto de um número complexo é único. Exemplo 5.2.15. −23+15i+23−15i = 23−15i+(−23+15i) = 0. 5.2.2 REPRESENTAÇÃO GEOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO 151 Vimos que os números complexos foram aceitos após controvérsias. Para alguns, era impossı́vel se imaginar como seria a representação geométrica de um número complexo dado. Naquela época, a intuição geométrica ainda era a principal maneira para se trabalhar os problemas. O que não era possı́vel representar-se geométricamente tendia a ser refutado. Hoje não possuı́mos esse problema. O avanço na Matemática foi tão grande que chegamos mesmo a trabalhar com conjuntos que não são representáveis através de esboços geométricos. Imagine naquela época a aceitação de estudos no Rn ! O conjunto C só veio a ser bem visto pela comunidade estudiosa em geral após a exposição bela de Argand-Gauss do ”plano”complexo. Para isso, consideremos a seguinte função: ϕ : R2 −→ C (x, y) −→ ϕ(x, y) = x + iy . Como podemos mostrar rapidamente, tal função é bijetiva, i.e., existe uma correspondência biunı́voca entre o plano R2 e o conjunto C. Assim, podemos associar um número complexo z = x + iy a um ponto (x, y) no plano. Logicamente, assim teremos a associação entre o eixo x e o real (das partes reais), também entre o eixo y e o imaginário (das partes imaginárias). Assim como os vetores do R2 possuem comprimento, também associamos um número complexo ao seu comprimento através da seguinte função (que decorre imediatamente do teorema de Pitágoras): 152 ||: C −→ R x + iy −→ | x + iy | =  x2 + y 2 . Denominamos tal função de módulo. Passaremos a usá-la sem preocupação e quando quisermos nos referir ao comprimento de um número complexo z ∈ C apenas utilizaremos | z |. Exemplo 5.2.16. | 3 − 2i |= Exemplo 5.2.17. | 9 |= √  32 + (−2)2 = √ 13. 92 = 9. Quanto vale | 0 |? 153 CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO Exporemos agora uma definição de grande utilidade na teoria dos números complexos. Aceitaremos que o leitor domine o conceito de simetria. Este é utilizado em diversas áreas da Matemática. Nada mais natural utilizarmo-lo aqui. Após conhecermos o tratamento geométrico de um número complexo, várias definições e propriedades tornam-se triviais. Definição 5.2.1. Dado um número complexo z o seu conjugado, que será denotado por z, é o simétrico de z em relação ao eixo real. Ou seja, x + iy = x − iy. Exemplo 5.2.18. −1 + 14i = −1 − 14i. Exemplo 5.2.19. 0 = 0. PROPRIEDADES DO CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 154 Como já dissemos, as propriedades do conjugado de um número complexo são simples e de fácil entendimento. Passaremos, então, a listá-las. • z = z ⇔ z ∈ R; Ora, sabemos da igualdade entre números complexos que z1 = z2 ⇔ Re(z1 ) = Re(z2 ), Im(z1 ) = Im(z2 ), z1 , z2 ∈ C. Logo, dado z = x + iy ∈ C, z = z ⇔ y = −y ⇔ y = 0 ⇔ z ∈ R. • z = z, ∀z ∈ C; Também de grande simplicidade, já que x + iy = x − iy = x + iy. • Re(z) = z+z 2 Basta notarmos que z + z = 2Re(z). • Im(z) = z−z 2i Raciocı́nio análogo ao anterior. • z + w = z + w. Também bem simples a verificação: x1 + iy1 + x2 + iy2 = x1 + x2 + i(y1 + y2 ) = = x1 + x2 − i(y1 + y2 ) = x1 − iy1 + x2 − iy2 = x1 + iy1 + x2 + iy2 . 5.2.3 MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Após aprendermos a somar elementos de C, veremos outra importante operação definida neste conjunto, a multiplicação. Sua interpretação geométrica somente será dada após vermos a representação trigonométrica de um número complexo. A multiplicação é dada por: · : C×C −→ C, u = x1 +y1 , w = x2 +y2 −→ u·w = (x1 x2 −y1 y2 )+i(x1 y2 +x2 y1 ). 155 Não é nosso intuito que o estudante venha a decorar a fórmula anterior, já que ela pode ser obtida facilmente após algumas manipulações algébricas. Mas primeiramente precisamos conhecer algumas propriedades da multiplicação. Exemplo 5.2.20. (2 − 2i)(3 + 9i) = (6 + 18) + i(18 − 6) = 24 + 12i. PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS Novamente, enfatizamos que a multiplicação em C possui propriedades análogas ao caso real. Portanto não delongaremos tempo neste tópico. As verificações das propriedades são deixadas como exercı́cio para o leitor. Dados z, v, w ∈ C, temos que: • Associatividade z(wv) = (zw)v. Exemplo 5.2.21. (1 + i)[(2 + 0i)(0 − 5i)] = [(1 + i)(2 + 0i)](0 − 5i). (Verifique!) • Comutatividade zw = wz. Exemplo 5.2.22. (4 − 3i)(18 + 9i) = (18 + 9i)(4 − 3i). (Verifique!) • Elemento Neutro ∃ũ ∈ C; ũz = z ũ = z, ∀z ∈ C. Exercı́cio. Verifique que ũ = 1 + 0i, ou seja, o elemento neutro da multiplicação em C é único e igual ao elemento neutro da multiplicação em R. • Elemento inverso 156 ∀z ∈ C\{0}, ∃z̃; zz̃ = z̃z = 1. Dica: Considere o fato z̃z = 1 + 0i e utilize a propriedade de igualdade de números complexos. Após a solução do sistema obtido, você certamente encontrará o seguinte resultado: z̃ = z . Ou seja, o elemento inverso de um número complexo não| z |2 nulo é único, e representaremo-lo por z −1 . Exemplo 5.2.23. O inverso de i é −i. (Note que | i |= 1). Exemplo 5.2.24. O inverso de u = 2 + i é u−1 = 2−i . Verifique! 5 Quando expusemos a operação de adição em C, afirmamos que a subtração seria apenas um caso particular daquela. Aqui também não poderia ser diferente. A divisão em C é apenas caso particular da multiplicação de números complexos. Primeiramente vejamos que zz =| z |2 . Mas isto é bem simples de se verificar, é direto, e deixamos para o leitor a sua verificação. Sabendo disso, podemos interpretar a divisão entre números complexos da seguinte maneira: ÷ : C × (C\{0}) −→ C, u, w −→ u ÷ w = u uw . = w | w |2 O fato de w ∈ C\0 nos diz que w = 0, logo | w |2 = ww = 0 e a operação acima está bem definida. Exemplo 5.2.25. 1 + 2i (1 + 2i)(2 − i) = . Verifique! 2+i 5 • Distributividade z(u + w) = zu + zw, (z + u)w = zw + uw. Exemplo 5.2.26. (−8 + 2i)[(4 + 0i)(−2 + 3i)] = [(−8 + 2i)(4 + 0i)](−2 + 3i). Verifique! Todas as propriedades descritas até agora tornam (C, +, ·) um corpo. Dizemos que um conjunto F ≡ (F, +, ·) é um corpo, com as operações +, ·, quando ele satisfaz as seguintes propriedades: (f1 , f2 , f3 ∈ F ) 157 i) Estão bem definidas as operações +, ·, i.e., o conjunto F é fechado quanto a elas; ii) Vale a comutatividade: f1 + f2 = f2 + f1 , f1 f2 = f2 f1 ; iii) Vale a associatividade: f1 + (f2 + f3 ) = (f1 + f2 ) + f3 , f1 (f2 f3 ) = (f1 f2 )f3 ; iv) Existe um elemento neutro aditivo (com respeito à operação +), denotado por 0, tal que f + 0 = 0 + f = f, ∀f ∈ F ; v) Existe um elemento neutro multiplicativo (com respeito à operação ·), denotado por 1, tal que 1 · f = f · 1, ∀f ∈ F ; vi) Para todo elemento do corpo F existe um elemento oposto, i.e., ∀f ∈ F, ∃ − f ∈ F ; f + (−f ) = −f + f = 0; vii) Para todo elemento não-nulo do corpo existe um inverso multiplicativo, i.e., ∀f ∈ F \{0}, ∃f −1; f f −1 = f −1 f = 1; viii) Vale a distributividade do produto com respeito à adição. Agora o leitor conhece mais um corpo, o corpo dos números complexos. Talvez o leitor conhecesse somente o corpo dos números racionais e o dos números reais. Uma boa pergunta é: Qual a relação entre Q e R? Será somente a de inclusão Q ⊂ R? Certamente o leitor encontrará em outras obras as respostas para tais perguntas. Convidamos, desde já, o leitor a se informar acerca destes fatos. Por enquanto, afirmamos que Q ⊂ R ⊂ C. 5.2.4 FORMA TRIGONOMÉTRICA DE UM NÚMERO COMPLEXO Até o momento utilizamos apenas a forma algébrica para representarmos os números complexos. Dizemos que um número complexo z está na forma algébrica quando o representamos desta forma 158 z = x + iy, x, y ∈ R. Mas existem outras maneiras de representarmos um número complexo. Veremos agora como escrevê-lo na forma trigonométrica. Para isso, relembremos que existe uma bijeção entre C e o plano R2 : ϕ : R2 −→ C (x, y) −→ ϕ(x, y) = x + iy . Sabendo disto, podemos estudar algumas caracterı́sticas de C apenas analisando R2 . Aqui serão necessários conhecimentos trigonométricos simples, como os de um triângulo retângulo. Pedimos ao leitor que volte à seção de Trigonometria no triângulo retângulo do capı́tulo anterior e recorde as suas caracterı́sticas. Elas são de suma importância aqui. Vejamos agora a representação geométrica de um número complexo w = a + ib: Alguns fatos ficam bem claros na figura acima. O comprimento do vetor (distância dele até a origem do sistema de Argand-Gauss) é √ conhecido do leitor e vale | w |= a2 + b2 . O ângulo que o vetor faz com o eixo real será chamado de argumento do número complexo, e representado por θw = arg(w). Da nossa famosa trigonometria podemos concluir que: sen (θw ) = Im(w) Re(w) , cos (θw ) = . |w| |w| (5.3) Logo podemos concluir que Re(w) =| w | sen θw , Im(w) =| w | cos θw . E então escreveremos w =| w | (cos θw + i sen θw ). Esta 159 é a forma trigonométrica do número complexo w. Alguns autores a denominam de forma polar. √ π Exemplo 5.2.27. A forma polar de z = 1 + i é z = 2 (cos + 4 π i sen ). (Por quê?) 4 √ 5 5 3 Exemplo 5.2.28. A forma trigonométrica de u = +i é u = 2 2 π π + sen ). Qual o argumento de u? 5 (cos 3 3 As operações com números complexos na forma trigonométrica acabam se tornando mais simples e usuais. Veremos como deduzir identidades trigonométricas apenas trabalhando com números complexos. Por se tratar de uma obra introdutória, não explicaremos com rigor matemático a interpretação geométrica da multiplicação de dois números complexos. Deixamos como exercı́cio para o leitor mais avançado a verificação de que podemos associar, sem perda de generalidade, um número ⎛ complexo z = x + iy com a matriz Z = ⎝ x −y y ⎞ ⎠. (Dica: Verifi- x que as propriedades vistas até aqui dos números complexos para este tipo de matriz.) Como um número complexo de comprimento unitário pode ser escrito na forma w = cos θw + i sen θw , a sua matriz associada é ⎛ W = ⎝ cos θw −sen θw sen θw cos θw ⎞ ⎠. Matrizes desta forma ainda serão es- 160 tudadas pelo leitor em outros cursos, e limitamo-nos a dizer, sem demonstração, que se tratam de matrizes de rotação de vetores por um ângulo θ dado no sentido anti-horário. Assim, ao multiplicarmos dois números complexos, estamos na verdade rotacionando um deles sob o argumento do outro no sentido anti-horário. O comprimento do novo número complexo será dado pelo produto dos comprimentos dos números complexos envolvidos na multiplicação. Vejamos a figura: Certamente o leitor concluiu que o argumento do produto da multiplicação de dois números complexos é dado pela soma dos argumentos dos números envolvidos na multiplicação. π Exemplo 5.2.29. w = 5, u = 2i ⇒ wu = 10i. Note que θw = 0, θu = 2 π π e que θwu = = 0 + = θw + θu . 2 2 Exemplo 5.2.30. u = 2 + 2i, z = 1 + i ⇒ uz = 4i. Note novamente π π π π π que θu = , θz = , θuz = = + = θu + θz . 4 4 2 4 4 Uma aplicação imediata é a dedução das fórmulas do seno e do cosseno da adição de arcos. Vejamos a seguinte proposição: Proposição 5.2.2. As seguintes relações são válidas: sen(α + β) = sen(α) cos(β) + sen(α) cos(α) cos(α + β) = cos(α) cos(β) − sen(α)sen(β). Demonstração. A prova é imediata. Sejam dois números complexos de comprimento unitário e com argumentos α, β, a saber, zα = cos α + i sen α, zβ = cos β + i sen β. Pelo que já vimos, o argumento de zα zβ é a soma dos argumentos de zα e de zβ . Logo, teremos: 161 cos (α + β) + i sen (α + β) = zα zβ = cos(α) cos(β) − sen(α)sen(β) + i [sen(α) cos(β) + sen(α) cos(α)]. Pela igualdade de números complexos, a proposição segue facilmente. Agora, nada mais natural é perguntar o que acontece ao multiplicarmos mais de dois números complexos. Mas, pela propriedade da associatividade já vista, podemos sempre operar (multiplicar) os números complexos dois-a-dois, já que sabemos que isso não altera o resultado. Logo, sempre podemos aplicar o aprendido aqui indutivamente. Aliás, isso é um resultado conhecido como teorema de De Moivre. Teorema 5.2.3 (Fórmula de De Moivre). Se n é inteiro, então z n =| z | n (cos θz + i sen θz )n = | z |n [cos (nθz ) + i sen (nθz )]. Demonstração. Exercı́cio. (Dica: Tente Indução Matemática para o caso de n natural e depois conclua para o caso −n. Não se preocupe caso não saiba ainda o que é Indução Matemática. Afinal, estamos apenas no inı́cio do curso...) Exercı́cio. Deduza as fórmulas para cos 3a e sen 3a. Com o conhecimento da fórmula de De Moivre, podemos calcular raı́zes de números complexos. Calculamos a raiz de um número complexo da maneira que passaremos a descrever a seguir. Dado um número complexo w =| w | (cos θ + i sen θ), desejamos saber a solução (ou soluções) da equação z n = w. Ora, mas sabemos que z =| z | (cos θz + i sen θz ) ⇒ z n =| z | n (cos nθz + i sen nθz ). Pela igualdade de números complexos, ganhamos que z n =| z | n (cos nθz + i sen nθz ) =| w | (cos θ + i sen θ) = w ⇒| z | n =| w | e cos nθz = cos θ, sen nθz = sen θ.  =| w |⇒| z |= n | w |, e cos nθz = cos θ, sen nθz = θ + 2k π sen θ ⇒ θz = . Portanto, as raı́zes n-ésimas de w =| w | n  θ + 2k π θ + 2k π + i sen ). (cos θ + i sen θ) são iguais a z = n | w | (cos n n Mas | z | n 162 Isso significa que as raı́zes n- ésimas de w encontram-se nos vértices do polı́gono de n lados inscrito na circunferência de centro  (0, 0) e de raio n | w |. Vejamos a figura: 163 Exemplo 5.2.31. Resolva a equação z 4 = 4 + 4i. Primeiramente, coloquemos o número w = 4+4i na forma trigonométrica. √ π π Um cálculo rápido nos mostra que θw = e então w = 32(cos + 4 4 π sen ). 4  n θw + 2k π θw + 2k π | w | (cos + i sen ). n n √ √ π π 9π + i sen ), z1 = 8 32(cos + Podemos então concluir que z0 = 8 32(cos 16 16 16 √ √ 9π 17π 25π 17π 25π i sen ), z2 = 8 32(cos + i sen ), z3 = 8 32(cos + i sen ). 16 16 16 16 16 Como já sabemos, z = z = Notou algo interessante? Exemplo 5.2.32. Ache as soluções para a equação z 3 = 4. Se apenas resolvêssemos a equação acima no conjunto dos números √ reais, obterı́amos z = 3 4 como solução. Vejamos a diferença para o caso complexo. Facilmente temos que w = 4 ⇒ θw = 0. Assim, as √ √ 2π soluções serão dadas por z0 = 3 4 (Por quê?), z1 = 3 4(cos + 3 √ 4π 4π 2π + i sen ). (Qual o polı́gono descrito pelas i sen ), z2 = 3 4(cos 3 3 3 soluções da equação acima?) O conjunto das raı́zes n- ésimas da unidade desempenham um papel importante na Matemática. Ele, munido da operação de multiplicação que conhecemos, possui estrutura de Grupo, estrutura essa que o 164 leitor verá em seu curso de Álgebra. O leitor curioso pode encontrar mais caracterı́sticas importantes das raı́zes n-ésimas da unidade no livro Para concluirmos nosso capı́tulo, citaremos como curiosidade, a forma exponencial de Euller para a representação de um número complexo. Esta forma é talvez a mais usada, e aconselhamos o leitor a se acostumar com a sua presença desde já. Caso não conheça a função exponencial, procure (citar algo para pesquisa) para mais informações. Definição 5.2.4 (Forma exponencial de um número comlexo). Dado o número complexo w =| w | (cos θw + i sen θw ), a sua forma exponencial é dada por w = |w|eθw i . Com a definição acima concluimos que eθi = cos θ + i sen θ. Esta é a forma exponencial de Euller. Com essa representação, as raı́zes nésimas da unidade são escritas no formato e 2kπi n . Outro fato importante é que eθi = cos θ + i sen θ = cos (θ + 2kπ) + i sen (θ + 2kπ) = e(θ+2kπ)i . (Consegue deduzir algo?) Exemplo 5.2.33. Sabemos que cos π π 2 π = 0, sen π2 = 1. Logo, e 2 i = i ⇒ π ii = (e 2 i )i = e− 2 . 5.3 SAIBA MAIS a. O leitor interessado em conhecer mais sobre a vida de Cardano, pode visitar os sı́tios: http://sandroatini.sites.uol.com.br/cardano.htm ou http://www.ccet.ufrn.br/hp estatistica/biografias/cardano.html. b. Para conhecer algumas aplicações dos números complexos, acesse: http://www.ucs.br/ccet/deme/emsoares/inipes/complexos/ 165 5.4 EXERCÍCIOS O corpo dos números complexos 1. Dados os números complexos abaixo, diga quem são suas partes real e imaginária. a) z = 0 + 0i; √ b) z = 2 − 3i; c) z = −3i; d) z = −3 − 4i; √ e) z = 2 + π3 i. 2. Calcule o módulo dos números complexos a seguir. a) z = 0 + 0i; b) z = 8 − 3i; c) z = −6i; d) z = −10 − 40i; e) z = 2 + π3 i. 3. Dados os números complexos a seguir, esboce a sua localização no plano de Argand-Gauss. a) z = 0 + 0i; b) z = 2 − i; c) z = 15i; √ d) z = −3 − 5i; √  e) z = 5 2 − 10 π5 i. 4. Coloque os seguintes números na forma trigonométrica, e depois localize-os no pano de Argand-Gauss. a) z = 10i; 166 b) z = − √ 3 2 + 2i ; c) z = −3; √ √ d) z = 8 2 + 8 2i; e) z = 3 − 4i. 5. Encontre os conjugados de: a) z = 0 − 10i; √ b) z = 2 − 3i; c) z = 16; d) z = (4 − 6i)2 ; √ e) z = 2 + π3 i. 6. Dados os números z = 18i, w = 3 − 8i, u = 23, calcule: a) z + w; b) z − 3u; c) w + 4u; d) 12z − 3w; e) 15z + i(4w + 9u). √ 7. Dados os números complexos z = i, u = 2 + 8i, v = 3 − 3i, w = 9, calcule: a) z[5w − i(8u + 3v)]; b) (5wz + 2uv)(13z − 2uvw 2); c) | w | (z 3 + 14wv 4); d) [z − (wv + u1 )]; e) z . wv 8. Encontre os inversos de: a) z = −1; 167 b) z = 2 − √ 3i; c) z = −3i; d) z = −3 − 4i; √ e) z = 2 + π3 i. √ 9. Calcule ( 3 − i)10 . 10. Quanto vale 1 + i + i2 + ... + i2007 ? 11. Ache os números complexos tais que z 4 = z. 12. Determine z ∈ C tal que | z |3 =| 1 2 |. z 13. O que representa o conjunto D = {z ∈ C/ | z − 2i |= 4}? 14. Deduza a fórmula zn − 1 = 1 + z + z 2 + ... + z n−1 , z = 1. z−1 15. Mostre que se z ∈ C é raiz do polinômio P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + ... + an xn , então z também o é. (Dica: Tente usar a forma trigonométrica.) 16. Utilizando a fórmula de De Moivre e a questão 14, encontre as fórmulas para a) 1 + cos θ + cos 2θ + . . . + cos nθ; b) sen θ + sen 2θ + . . . + sen nθ. 17. Use a questão 16 para mostrar que 72◦ é o menor ângulo positivo que resolve os sistema: ⎧ ⎨ 1 + cos θ + cos 2θ + cos 3θ + cos 4θ = 0 . ⎩ senθ + sen2θ + sen3θ + sen4θ = 0 18. Resolva em C as equações: a) z 3 = 7; b) z 2 = i; c) z 4 + z 3 + z 2 + z + 1 = 2; 168 d) (z − 1)n = (z + 1)n , n > 1. 19. Idem para: a) |z|3 = 7; b) |z + 2|2 = i; c) |z − 4i| = |z + 2| + |z − 3|; d) |z + 3i| = |2 + 3i|. 5.5 BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA 1. LIMA, E.L.; CARVALHO, P.C.; WAGNER, E.; MORGADO, A.C..A Matemática do Ensino Médio. Volume 1. 9.ed.. Rio de Janeiro: SBM, 2006; 2. CARMO, M.P. do; MORGADO, A.C.; WAGNER, E.. Trigonometria, Números Complexos. Notas históricas de João Bosco Pitombeira de Carvalho. Rio de janeiro: SBM, 1992. 169