Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 Ejercicios Física para Ciencias e Ingeniería Serway (7ma Edición) 4. Considere una caja triangular cerrada en reposo dentro de un campo eléctrico horizontal con una magnitud 𝐸 = 7.80 × 104 𝑁/𝐶 , como se muestra en la figura 1. Calcule el flujo eléctrico a través de a) la superficie rectangular vertical, b) la superficie inclinada, y c) la superficie total de la caja. Figura 1 Pregunta 11 y problema 4 • Para resolver la parte a de este ejercicio, es necesario conocer las componentes y valores. Estos se pueden ver en la figura 2. Figura 2 Componentes Se puede ver que el ángulo entre el campo eléctrico y dA es de 180° porque el campo el campo eléctrico es perpendicular al rectángulo y las líneas de campoeléctrico entran en el rectángulo. Aplicando el coseno, daría 1. De acuerdo con la formula, se sabe qué. Resolviendo la integral. Φ = ∮ −𝐸 𝑑𝐴 Φ = −𝐸 ∮ 𝑑𝐴 Φ = −𝐸 𝐴 Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 Del ejercicio, se tiene los valores. 𝐸 = 7.80 × 104 𝑁/𝐶 𝐴 = 𝐵𝑎𝑠𝑒 × 𝐴𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝐴 = 0.30 𝑚 × 0.10 𝑚 Reemplazando con los valores números. 𝐴 = 0.03 𝑚 Φ𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = −(7.80 × 104 𝑁/𝐶)(0.03 𝑚) Φ𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 = −2.34 × 103 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 Flujo eléctrico en la superficie rectangular es de −2.34 × 103 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 • Para resolver la parte b de este ejercicio, es necesario ver la figura de la superficie inclinada para ver de una mejor manera los ángulos que le correspondan. Estos se pueden ver en la figura 3. Figura 3 Ángulos en el triángulo Donde el ángulo entre el vector de campo eléctrico y el vector del área es 60° como se muestra en la figura. Ahora, de acuerdo con la formula, se tiene que. Resolviendo la integral. 𝑑𝐴 Φ = ∮ 𝐸⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Φ = ∮ 𝐸 𝑑𝐴 cos 𝜃 Φ = ∮ 𝐸 𝑑𝐴 cos 60° Φ = 𝐸 𝐴 cos 60° Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 Para obtener la longitud de la superficie planificada, se tiene de la ecuación cos 60° = cos 60° = 𝐿= 𝑎𝑑𝑗 𝐻𝑖𝑝 0.10 𝑚 𝐿 0.10 𝑚 cos 60° 𝐿 = 0.2 𝑚 Para el área, se tiene que es la longitud por el largor. 𝐴 = 0.2 𝑚 × 0.3 𝑚 Reemplazando con valores numéricos, se tiene. 𝐴 = 0.06 𝑚 Φ = (7.80 × 104 𝑁/𝐶) 0.06 𝑚 (cos 60°) 𝛷𝑠𝑢𝑝.𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 = 2.34 × 103 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 Flujo eléctrico en la superficie inclinada es de 2.34 × 103 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 • Para resolver la parte c de este ejercicio, es necesario ver la figura de la superficie total de la caja para ver de una mejor manera los ángulos del inferior y de los lados. Estos se pueden ver en la figura 4. Figura 4 Ángulos de toda la caja Ahora, se entiende como el flujo eléctricototal sería la sumatoria de los flujos ya calculados. Se tiene entonces. 𝛷𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝛷𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 + 𝛷𝑠𝑢𝑝.𝐼𝑛𝑐𝑙𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 + 𝛷𝑖𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 + 𝛷𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠 Para ver lo que sucede entre el flujo inferior y de los lados, ambos son cero entre el vector de campo eléctrico y el vector de área, donde su ángulo es 90°. Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 Sustituyendoentre el flujo del rectángulo y el de la superficie inclinada, quedaría. 𝛷𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = −2.34 × 103 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 + 2.34 × 103 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 𝛷𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 0 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 Flujo eléctrico en toda la caja es de 0 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 9. En la figura 5 se muestran cuatro superficies cerradas, 𝑆1 a 𝑆4 , así como las cargas −2𝑄, 𝑄 y −𝑄. (Las líneas de color son las intersecciones de las superficies con el plano de la página.) Determine el flujo eléctrico a través de cada superficie. Figura 5 Por la ley de Gauss, se establece que el flujo eléctrico neto 𝛷𝐸 a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dentro de la superficie 𝑄 dividida por ∈0. Se sabe que ∈0 = 1 4𝜋 𝐶 𝛷𝐸 = 𝑄 ∈0 = 8.8542 × 10−12 ∙ 𝑚2 es una constante llamada la permitividad del vacío. 𝑁 Las cargas de cada superficie se pueden entender de la siguiente manera. Superficie cerrada 𝑆1 contiene dos cargas, −2𝑄 y +𝑄. Superficie cerrada 𝑆2 contiene dos cargas, +𝑄 y −𝑄. Superficie cerrada 𝑆3 contiene tres cargas, −2𝑄 , +𝑄 y −𝑄. Superficie cerrada 𝑆4 no contiene cargas. Entonces, se puede reemplazar las cargas que contienen junto con la permitividad del vacío y se obtiene. 𝑆1 = 𝛷𝐸,1 = −2𝑄 + 𝑄 𝐶 8.8542 × 10−12 𝑁 ∙ 𝑚2 Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 𝑄 Flujo eléctrico en 𝑆1 es de − ∈ . 𝑆1 = 𝛷𝐸,1 = − 0 𝑄 ∈0 Continuando con el procedimiento. 𝑆2 = 𝛷𝐸,2 = −𝑄 + 𝑄 𝐶 8.8542 × 10−12 𝑁 ∙ 𝑚2 𝑆2 = 𝛷𝐸,2 = 0 Flujo eléctrico en 𝑆2 es de 0. Continuando con el procedimiento. 𝑆3 = 𝛷𝐸,3 = 2𝑄 Flujo eléctrico en 𝑆3 es de − ∈ . −2𝑄 + 𝑄 − 𝑄 𝐶 8.8542 × 10−12 𝑁 ∙ 𝑚2 𝑆3 = 𝛷𝐸,3 = − 0 2𝑄 ∈0 Continuando con el procedimiento. 𝑆4 = 𝛷𝐸,4 = Flujo eléctrico en 𝑆4 es de 0. 0 8.8542 × 10−12 𝑆4 = 𝛷𝐸,4 = 0 𝐶 ∙ 𝑚2 𝑁 17. Una carga de 170 𝑚𝐶 está en el centro de un cubo con una arista de 80.0 𝑐𝑚. Sin cargas en los alrededores a) Determine el flujo a través de cada una de las caras del cubo. b) Encuentre el flujo a través de la superficie total del cubo. c) ¿Qué pasaría sí? ¿Cambiarían sus respuestas a los incisos a) y b) en casode que la carga noestuviera ubicada en el centro? Explique por qué. Tal como en el ejercicio anterior, se debe de conocer que por la ley de Gauss, se establece que el flujo eléctrico neto 𝛷𝐸 a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dentrode la superficie 𝑄 dividida por ∈0 . Se sabe que ∈0 = 1 4𝜋 𝐶 𝛷𝐸 = 𝑄 ∈0 = 8.8542 × 10−12 𝑁 ∙ 𝑚2 es una constante llamada la permitividad del vacío. Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 Como primer paso, las unidades de la carga se encuentran en micro culombio a culombio, de la siguiente manera. 𝑄𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 170 𝑚𝐶 ( 𝑄𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 = 1.7 × 10−4 𝐶 Y para la arista, seria 0.8 𝑚 • 1 ) 𝑚𝐶 106 Para resolver la parte a, es necesario entender que la carga se encuentra en el centro de un cubo, tal como se muestra en la figura 6. Figura 6 Cubo con carga en el centro Como se sabe que la carga esta en el centro, entonces el flujo a través de cada cara del cubo es una sexta parte del flujo a través de toda la superficie del cubo. Por loanterior, se entiende que. 𝛷𝐸,𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 = Reemplazando, se tiene. 𝛷𝐸,𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 1 𝑄 ( ) 6 ∈0 1.7 × 10−4 𝐶 1 ) = ( 6 8.8542 × 10−12 𝐶 ∙ 𝑚2 𝑁 𝛷𝐸,𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 = 3.2 × 106 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 El flujo en cada una de las caras del cubo es de 3.2 × 106 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶. • Para resolver la parte b, es la misma forma de resolverlo que con la parte a, solo que en este caso es necesario tener en cuenta que son todas las 6 caras. Entonces, se tiene. Sustituyendo los valores ya obtenidos. 𝛷𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6 × 𝛷𝐸,𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑎𝑟𝑎 Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 𝛷𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 6 × 3.2 × 106 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 𝛷𝐸𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 19.2 × 106 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶 El flujo en toda la superficie es de 19.2 × 106 𝑁 ∙ 𝑚2 /𝐶. • Para resolver la parte c, es necesario ver el comportamiento del flujo cuando la carga se encuentra en el centro y cuando no. Esto se puede ver en la figura 7. Figura 7 De izquierda a derecha. Carga Centrada y Carga hacia un lado más cercano Cuando se cambia a una de las caras (punto a), el flujo cambiaría ya que este de las caras más cercanos a la carga tendría más flujo que en las caras más alejadas. Cuandose cambia la carga y se pretende calcular el flujototal, este nocambiaria porque el flujogeneral sigue siendo el mismo, a pesar de que se cambia de posición, el cubo seguirá teniendo las mismas 6 caras. 18. Una esfera sólida con un radio 40.0 𝑐𝑚 tiene una carga positiva total de 26 𝑚𝐶 con distribución uniforme en su volumen. Calcule la magnitud del campo eléctrico a las siguientes distancias del centro de la esfera: a) 0 𝑐𝑚, b) 10.0 𝑐𝑚, c) 40.0 𝑐𝑚 y d) 60.0 𝑐𝑚. Primero, es necesario recordar la ley de Gauss, la cual dice que se establece que el flujo eléctrico neto 𝛷𝐸 a través de cualquier superficie cerrada es igual a la carga neta encerrada dentro de la superficie 𝑄 dividida por ∈0. Se tiene la ecuación. 𝑑𝐴 𝛷𝐸 = ∮ 𝐸⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ Lo que es igual a. Se sabe que ∈0 = 1 4𝜋 𝐶 𝛷𝐸 = 𝑄 ∈0 = 8.8542 × 10−12 𝑁 ∙ 𝑚2 es una constante llamada la permitividad del vacío. Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 Ahora, se establece que el área de superficie de una esfera con radio 𝑟 es. 𝐴 = 4𝜋𝑟 2 Para ver el tipo de densidad que tiene esta esfera, se puede ver la figura 8. Para entender mejor. Figura 8 Distribución uniformemente por una línea Como la carga 𝑄 se distribuye uniformemente a lo largo de una línea de longitud 𝑙, la densidad de carga lineal está dada por. 𝜆= 𝑄 𝑙 Y por último, es importante saber que el volumen de una esfera esta por la ecuación. 𝑉= 4 3 𝜋𝑟 3 Ahora, se procede a pasar las unidades de los valores para realizar los cálculos. Para el radio de la esfera sólida, se tiene. 𝑅 = 40.0 𝑐𝑚 Para la carga positiva total, se tiene. 𝑅 = 0.4 𝑚 𝑄 = 26 𝑚𝐶 • 𝑄 = 26 × 10−6 𝐶 Para la parte a, en donde la distancia del centro es 0. Se puede ver que la esfera de radio con centro (superficie gaussiana) con la esfera solida es 𝑟 < 𝑅. Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 𝑑𝐴 de la parte curva, el producto escalar puede ser El vector de flujo eléctrico 𝐸⃗ es paralelo con el vector área ⃗⃗⃗⃗⃗ expresado como un producto simple. ∮ 𝐸 𝑑𝐴 = 𝑄 ∈0 𝐸 ∮ 𝑑𝐴 = 𝑄 ∈0 Como el flujo eléctricoes constante, se puede sacar 𝐸 de la integral. Resolviéndola, quedaría. 𝐸𝐴= Ahora, se procede a reemplazar los valores obtenidos. 𝑄 ∈0 𝐸 4𝜋𝑟 2 = 𝑄 ∈0 Se tiene que encontrar la proporción de cuanto hay dentro de la superficie gaussiana en comparación con la que está dentro de la esfera. Esta es la relación del volumen de la superficie gaussiana dividida por el volumen de toda la esfera. También se puede ver en la figura 9, aclarando que el radio dentro de la esfera es diferente de cero. Figura 9 Superficie gaussiana junto con la esfera 𝐸 4𝜋𝑟 2 = Reemplazando con las fórmulas ya obtenidas. 𝑄 𝑉𝑠.𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 ( ) ∈0 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 4 3 𝑄 3 𝜋𝑟 ( ) 𝐸 4𝜋𝑟 = ∈0 4 𝜋𝑅 3 3 2 𝑄 𝑟3 𝐸 4𝜋𝑟 = ∈0 𝑅3 2 Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 𝑄 𝑟3 1 𝐸 = ∈0 𝑅3 4𝜋𝑟 2 Lo que sería igual a. 𝑄 𝑟3 𝐸 = ∈0 𝑅3 4𝜋𝑟 2 Sustituyendo por valores numéricos. 𝐸 = 𝐸 = 𝑄𝑟 ∈0 𝑅3 4𝜋 26 × 10−6 𝐶 × 0 𝐶 (8.8542 × 10−12 𝑁 ∙ 𝑚2 ) 0.4 𝑚3 4𝜋 𝐸 = 0 𝑁/𝐶 El campo eléctrico cuando la distancia del centro de la esfera es 0 es de 0 𝑁/𝐶. • Se tiene. Para la parte b, se aplica el mismo principio que en la parte a, pero en este caso ya se tiene un valor para el radio, cumpliendo la condición de 𝑟 < 𝑅. 𝑟 = 0.1 𝑚 𝑅 = 0.4 𝑚 Reemplazando por valores numéricos. 𝐸 = 𝐸 = 𝑄𝑟 ∈0 𝑅3 4𝜋 26 × 10−6 𝐶 × 0.1 𝑚 𝐶 (8.8542 × 10−12 𝑁 ∙ 𝑚2 ) 0.4 𝑚3 4𝜋 𝐸 = 3.65 × 105 𝑁/𝐶 El campoeléctricocuandola distancia del centrodela esfera es0.1 mesde3.65 × 105 𝑁/𝐶 dirigidoradialmente hacia afuera. • Para la parte c, se puede ver que el radio de la superficie de la esfera y la distancia del centro son el mismo valor. Nuevamente se aplica la ley de Gauss, como en las dos partes anteriores, hasta el punto en donde se resuelve la integral cerrada. Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 𝐸 4𝜋𝑟 2 = 𝑄 ∈0 Se tiene que encontrar la proporción de cuanto hay dentro de la superficie gaussiana en comparación con la que está dentro de la esfera. Esta es la relación del volumen de la superficie gaussiana dividida por el volumen de toda la esfera. También se puede ver en la figura 10, con el radio de la superficie gaussiana y el radio de la esfera. Figura 10 Superficie gaussiana junto con la esfera 𝐸 4𝜋𝑟 2 = Reemplazando con las fórmulas ya obtenidas. 𝑄 𝑉𝑠.𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 ( ) ∈0 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 4 3 𝑄 3 𝜋𝑟 𝐸 4𝜋𝑟 = ( ) ∈0 4 𝜋𝑅 3 3 2 𝑄 𝑟3 𝐸 4𝜋𝑟 = ∈0 𝑅3 2 𝑄 𝑟3 1 𝐸 = ∈0 𝑅3 4𝜋𝑟 2 Como es el mismo radio para ambos casos quedaría de la forma. Sustituyendo por valores numéricos. 𝐸 = 𝐸 = 𝑄 ∈0 4𝜋𝑟 2 26 × 10−6 𝐶 𝐶 (8.8542 × 10−12 𝑁 ∙ 𝑚2 ) 0.4 𝑚2 4𝜋 𝐸 = 1.46 × 106 𝑁/𝐶 Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 El campoeléctricocuandola distancia del centrodela esfera es0.4 mesde1.46 × 106 𝑁/𝐶 dirigidoradialmente hacia afuera. • Para la parte d, el radio de la superficie gaussiana es mayor que el radio de la superficie de la esfera, o también se puede ver 𝑟 > 𝑅. Nuevamente se aplica la ley de Gauss, como en las dos partes anteriores, hasta el punto en donde se resuelve la integral cerrada. 𝐸 4𝜋𝑟 2 = 𝑄 ∈0 Se tiene que encontrar la proporción de cuanto hay fuera de la superficie gaussiana 𝑟 en comparación con la que está dentrode la esfera 𝑅. Usandola anterior ecuación, se puede decir que a fuerza de campoeléctricoen cualquier lugar alolargodela superficiegaussianamultiplicada por el áreatotal delasuperficie. Sedebedeentender queladistancia al centro sigue siendo el radio de la esfera, por lo que se puede aplicar lo mismoque en el punto c. Se puede ver en la figura 11. Figura 11 Superficie gaussiana junto con la esfera 𝐸 4𝜋𝑟 2 = 𝑄 𝑉𝑠.𝑔𝑎𝑢𝑠𝑠𝑖𝑎𝑛𝑎 ( ) ∈0 𝑉𝑒𝑠𝑓𝑒𝑟𝑎 Aplicando lo de la parte c, se tiene con lo anteriormente dicho. 𝐸 4𝜋𝑟 2 = Sustituyendo por valores numéricos. 𝐸 = 𝑄 ∈0 𝑄 ∈0 4𝜋𝑟 2 26 × 10−6 𝐶 𝐸 = 𝐶 (8.8542 × 10−12 𝑁 ∙ 𝑚2 ) 0.6 𝑚2 4𝜋 Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 𝐸 = 6.49 × 105 𝑁/𝐶 El campoeléctricocuandola distancia del centrodela esfera es0.6 mesde 6.49 × 105 𝑁/𝐶 dirigidoradialmente hacia afuera. 42. Un campo eléctrico no uniforme tiene la expresión ̂ 𝐸⃗ = 𝑎𝑦𝒊̂ + 𝑏𝑧𝒋̂ + 𝑐𝑥𝒌 donde a, b y c son constantes. Determine el flujo eléctrico a través de una superficie rectangular en el plano 𝑥𝑦, que se extiende de 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 𝑤 y de 𝑦 = 0 hasta 𝑦 = ℎ. Para resolver este ejercicio, es necesario entender la expresión general de flujo eléctrico a través de una superficie el cual dice que El flujo a través de una superficie está dado por el producto escalar de la intensidad de campo y el área de la superficie. 𝛷𝐸 = ∫ 𝐸⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ 𝑑𝐴 𝑠𝑢𝑝𝑒𝑟𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒 Se sabe que la superficie rectangular está en el plano 𝑥𝑦 y se extiende desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 𝑤 y de 𝑦 = 0 hasta 𝑦 = ℎ y 𝑧 = 0. Además, el componente 𝑧 del campo varía solo con 𝑥 y es directamente proporcional a la coordenada 𝑥. Por lo anterior, el campo eléctrico quedaría. ̂ 𝐸⃗ = 𝑎𝑦𝒊̂ + 𝑐𝑥𝒌 Para determinar la superficie rectangular, es necesario ver la figura 12. Figura 12 Franja seleccionada dx Se considera una parte o una franja infinitamente delgada de la superficie a una distancia 𝑥 del eje 𝑦 y de anchura 𝑑𝑥. El campoenesta parte tendrá susmagnitudes, y el área esta designada por 𝑑𝐴 = 𝑑𝑥 ∙ ℎ. Estose realiza debido a que el vector 𝑑𝐴 representando un elemento infinitodecimal del área. Los límites de integración están dados desde 𝑥 = 0 hasta 𝑥 = 𝑤. Quedando de la siguiente forma. Cristian Alejandro Fandiño Mesa 201910244 𝑤 Resolviendo la integral. ⃗ ) ∙ (ℎ𝑑𝑥)𝒌 ⃗ 𝛷𝐸 = ∫ (𝑎𝑦𝒊 + 𝑐𝑥𝒌 0 𝑤 ⃗ ) ∙ (ℎ𝑑𝑥)𝒌 ⃗ 𝛷𝐸 = ∫ (𝑎𝑦𝒊 + 𝑐𝑥𝒌 0