Babiloniese metode

Die Babiloniese metode, ook bekend as Heron se metode, is 'n tegniek om die vierkantswortel van 'n getal te bepaal. Dit is waarskynlik die oudste metode hiervoor. Die metode is iteratief, dit wil sê dat hy 'n rowwe waarde vir 'n vierkantswortel neem en 'n beter benadering verskaf. Deur die proses oor en oor te herhaal kan mens dus 'n baie goeie benadering bekom. In werklikheid is die Babiloniese metode 'n spesiale geval van die Newton-Raphson-metode, alhoewel dit reeds 1600 jaar voor Newton in gebruik was.

Beskrywing

Gestel dat mens die vierkantswortel van $b$ wil bereken: $a={\sqrt {b}}$. Doen dit deur 'n beginswaarde (eerste raaiskoot) vir die antwoord te kies. Noem dit $a_{0}$. Gebruik nou die volgende formule om 'n beter benadering (genaamd $a_{1}$) te bekom:

$a_{n+1}={\frac {a_{n}+b/a_{n}}{2}}$

Deur die formule oor en oor toe te pas kry mens die ry verbeterende benaderings $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...$ wat na ${\sqrt {b}}$ toe konvergeer.

Die grondslag vir hierdie metode was waarskynlik die waarneming dat indien $a$ groter is as ${\sqrt {b}}$ dan is $b/a$ weer kleiner. Andersyds, as $a$ kleiner as ${\sqrt {b}}$ is dan is $b/a$ weer groter. So $a$ en $b/a$ lê weerskante van die regte antwoord. So as ons hulle gemiddeld neem, dan sal ons 'n beter benadering van die antwoord kry. Dus is $(a+b/a)/2\approx {\sqrt {b}}$

Voorbeeld

Gestel ons wil die vierkantswortel van 2 bepaal, en ons weet dat 1.5 'n goeie eerste skatting is aangesien $1.5^{2}=2.25$. Stel dan $a_{0}=1.5$ en gebruik die formule om 'n beter skatting te bekom:

$a_{1}={\frac {1.5+2/1.5}{2}}=1.416667$

$a_{2}={\frac {1.416667+2/1.416667}{2}}=1.41421568$

Die korrekte waarde is 1.4142136... so na slegs twee iterasies bekom mens 'n benadering wat reg is tot 5 desimale plekke.