Dvaadvacetiúhelník

Dvaadvacetiúhelník (cizím slovem icosikaidigon či icosidigon^[1], z řec. είκοσι δύο, eíkosi dýo – dvacet dva, a γωνία, gonía – úhel) je mnohoúhelník s dvaadvaceti úhly, vrcholy a stranami.

Číselné údaje

Součet středových (a tedy i vnějších) úhlů je jako u všech mnohoúhelníků 360°, jeden středový úhel tedy bude ${\frac {360}{22}}^{\circ }=16{\frac {8}{22}}^{\circ }\approx 16{,}{\overline {36}}^{\circ }$ . Vnitřní úhel se vypočítá odečtením vnějšího úhlu od 180°, bude se tedy rovnat $180^{\circ }-17{\frac {8}{22}}^{\circ }=162{\frac {14}{22}}^{\circ }\approx 162{,}{\overline {63}}^{\circ }$ .

Je-li dán dvaadvacetiúhelník s délkou strany α, pak se následující veličiny spočítají jako:

Obvod: $P=22\,a$
Obsah: $A={\frac {22}{4}}\,a^{2}\cot \left({\frac {\pi }{22}}\right)$

Min. poloměr: $H={\frac {2\,A}{P}}={\frac {a}{2}}\cot \left({\frac {\pi }{22}}\right)$

Max. poloměr: $R={\frac {H}{\cos \left({\frac {\pi }{22}}\right)}}={\frac {a}{2\sin \left({\frac {\pi }{22}}\right)}}$

Rýsování

Pravidelný dvaadvacetiúhelník v podstatě nelze narýsovat, neboť číslo 22 má i dělitele, jež nejsou Fermatova čísla. Lze jej však s menší odchylkou narýsovat úpravou jedenáctiúhelníku. Ten sestrojíme následovně:

Narýsujeme přímku p.
Zakreslíme na ni bod S.
Zkonstruujeme kružnici k se středem S a libovolným průměrem r.
Sestrojíme kružnici l se středem v pravém průsečíku přímky p a kružnice k $A=p\cap k$ s poloměrem 2r.
Utvoříme kružnici m se středem v levém průsečíku přímky p a kružnice k $B=p\cap k$ s poloměrem 2r.
Narýsujeme přímku procházející průsečíky kružnice l a m $C=l\cap m$ a $D=l\cap m$ jménem q.
Sestrojíme kružnici n se středem v průsečíku kružnice k a přímky q $E=k\cap q$ s poloměrem r.
Zkonstruujeme přímku r spojující průsečíky kružnice k a kružnice n $F=k\cap n$ a $G=k\cap n$ , jež prochází svým průsečíkem s přímkou q $H=r\cap q$ .
Narýsujeme kružnici o se středem v průsečíku F a poloměrem FH.
Narýsujeme kružnici p se středem v průsečíku H a poloměrem FH.
Sestrojíme přímku s procházející průsečíky kružnic o a p $I=o\cap p$ a $J=o\cap p$ .
Vytvoříme přímku t spojující průsečík přímky r a s $J=r\cap s$ s bodem S.
Zkonstruujeme kružnici q se středem v průsečíku B, jež protíná průsečík přímky t a kružnice k $K=t\cap k$ .
Narýsujeme kružnici r se středem v průsečíku kružnice q a kružnice k $L=q\cap k$ . Následně uděláme několik kružnic s průměrem stejným jako kružnice r, kdy každá následující bude mít střed v pravém průsečíku původní kružnice s kružnicí k. Až budeme mít všechny mezery zaplněny, všechny tyto průsečíky pospojujeme.

Nyní máme jedenáctiúhelník. Je třeba zdvojnásobit počet jeho úhlů, proto u každé z jedenácti úseček:

Narýsujeme kružnici k se středem v pravém průsečíku ohraničujícím úsečku s poloměrem rovným úsečce.
Sestrojíme kružnici l se středem v levém průsečíku ohraničujícím úsečku s poloměrem rovným úsečce.
Vytvoříme přímku p spojující oba průsečíky kružnic k a l.
Když to vše máme u každé úsečky, tak pospojujeme průsečíky přímek p s kružnicí k s původními jedenácti vrcholy.

Takto lze tedy dvaadvacetiúhelník sestrojit v 18 krocích. Jeden středový úhel je u narýsovaného jedenáctiúhelníku cca $32{,}7377^{\circ }$ , u dvaadvacetiúhelníku kolem $16{,}36885^{\circ }$ . Správně má být $16{,}{\overline {36}}^{\circ }$ , odchylka bude tedy pouze cca $0{,}005214^{\circ }$ .

Zde je výčet všech bodů, průsečíků, přímek a kružnic zkonstruovaných během rýsování jedenáctiúhelníku:

Body a průsečíky: S, A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L
Přímky: p, q, r, s, t
Kružnice: k, l, m, n, o, p, q, r

Zaplnění kosočtverci

Dvaadvacetiúhelník lze, stejně jako každý jiný mnohoúhelník, bez jakékoli mezery zaplnit kosočtverci. Kosočtverců je vždy více druhů – pět – a od každého druhu stejně (viz barvy). Zde jsou některé možnosti: