Kuldlõige

Kuldlõike suhtarv φ
Kahendsüsteemis	1,1001111000110111011...
Kümnendsüsteemis	1,6180339887498948482...
Kuueteistkümnendsüsteemis	1,9E3779B97F4A7C15F39...
Ahelmurd	$1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{1+{\frac {1}{\ddots }}}}}}}}$
Algebraline kuju	${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$

Kuldlõige (ka jumalik proportsioon, kuldne lõige, kuldne suhe) tähendab lõigu sellist jaotamist kaheks osaks, et suurem osa oleks kogu lõigu ja selle väiksema osa keskmine võrdeline (geomeetriline keskmine).

Seda suhet tähistab matemaatiline konstant $\varphi$ (fii), mis avaldub järgnevalt:

$\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\$

$\varphi$ on irratsionaalarv, mille ligikaudne väärtus on 1,6180339887...

Seda konstanti nimetatakse kuldlõike suhtarvuks.

Arvutamine

Lõigu a suhe b-sse on nagu a+b suhe a-sse

Kuldlõike konstrueerimine

Kaks positiivset arvu a ja b on kuldlõikes $\varphi$, kui

${\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.$

See võrrand defineerib üheselt $\varphi \,$. Parempoolne võrrand näitab, et $a=b\varphi$, ning saab teha asenduse vasakpoolses osas, saades

${\frac {b\varphi +b}{b\varphi }}={\frac {b\varphi }{b}}\,.$

Taandades b, saame tulemuseks

${\frac {\varphi +1}{\varphi }}=\varphi .$

Võrrandi mõlema poole korrutamine $\varphi$-ga ning liikmete ümberpaigutamine annab:

$\varphi ^{2}-\varphi -1=0.$

Selle ruutvõrrandi ainus positiivne lahend on

$\varphi ={\frac {1}{2}}+{\frac {\sqrt {5}}{2}}\approx 1,61803\,39887\,...$

Omadused

• Kuldlõige rahuldab positiivsete reaalarvude hulgas unikaalset samasust:

${\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1$

• Kuldlõige on irratsionaalarv, kuid mitte transtsendentne arv.

Fibonacci jada

 Pikemalt artiklis Fibonacci jada

Fibonacci jada algab arvudega 0 ja 1 ning ülejäänud liikmed leitakse rekursiivselt kahe eelneva liikme summast. Jada esimesed liikmed on 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 ... . Saab näidata, et Fibonacci jada liikme jagatis sellele vahetult eelneva liikmega läheneb kuldlõikele, kui piki jada edasi liikuda. Seega käitub Fibonacci jada asümptootiliselt kui geomeetriline jada, mille teguriks on kuldlõige.

Tõestuse idee

Fibonacci jada liikmed rahuldavad rekursiivset seost

$f_{n+2}=f_{n+1}+f_{n}.\,$

Moodustame uue jada, mis koosneb järjestikuste Fibonacci jada liikmete jagatistest:

$\varphi _{n}:={\frac {f_{n+1}}{f_{n}}}.$

Kasutades Fibonacci jada määravat rekursiivset seost saab omakorda leida rekursiivse seose jada $\{\varphi _{n}\}$ liikmete leidmiseks:

$\varphi _{n+1}={\frac {f_{n+2}}{f_{n+1}}}={\frac {f_{n+1}+f_{n}}{f_{n+1}}}=1+\varphi _{n}^{-1}.$

Et kõik selle jada liikmed on positiivsed, peab ja jada piirväärtus $\varphi$ olema positiivne arv. Lisaks peab see rahuldama seost

$\varphi =1+\varphi ^{-1},\,$

mis on aga juba eelnevalt leitud ruutvõrrand kuldlõike jaoks. Seni näitasime, et kui jada $\{\varphi _{n}\}$ koondub, siis on selle piirväärtuseks kuldlõige, kuid ei näidanud, et see jada koonudb. Viimast on lihtne näidata näiteks Banachi püsipunkti printsiibi abil. Viimane samm lõpetab tõestuse, et Fibonacci jada järjestikuste liikmete jagatised tõepoolest kuldlõikele lähenevad.

Fibonacci jada ja kuldlõike vaheline tihe seos väljendub samuti asjaolus, et Fibonacci jada liige $f_{n}$ kohal $n$ on esitatav kujul

$f_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}},$

kus $\varphi$ on kuldlõige.

Esteetika

Kuldlõige on loodusest sageli leitav suhe. Nii on näiteteks päevalill ja inimese keha kuldlõikes . Ja seepärast pole mingi ime, et seda hakati kasutama mujal. Renessansi aegadest saati on paljude kunsti ja arhitektuuri teoste kavandamisel lähtutud kuldlõikest. Kasutati seda küll tunduvalt varem – näiteks juba Egiptuse püramiidide puhul. Antiikajast tuntud ehitisest kasutati kuldlõiget näiteks Parthenoni juures. Hilisemast ajast on tuntumad kuldlõiget kasutavad teosed arhitektuuris Notre Dame'i katedraal, kunstis Leonardo da Vinci "Vitruviuse mees" ning "Püha õhtusöömaaeg". Ka Stradivariuse viiulid on kuldlõikes. Tänapäeval andis kuldlõikele müstilise varjundi Dan Brown oma "Da Vinci koodiga".

Vaata ka

• Kompositsioon
• Pentagramm
• Viisnurk

Välislingid

 Kuldlõige – pildid, videod ja helifailid Wikimedia Commonsis