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Fonction affine

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Fonction affine
Courbes représentatives des fonctions et .
Notation
Réciproque
si
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
si
Valeurs particulières
Valeur en zéro
Limite en +∞
si
si
Limite en −∞
si
si
Particularités
Zéros
Points fixes
si

En analyse, une fonction affine est une fonction obtenue par addition et multiplication de la variable par des constantes. Elle peut donc s'écrire sous la forme :

où les paramètres et ne dépendent pas de [1].

Lorsque la fonction est définie sur l'ensemble des réels, elle est représentée par une droite, dont est la pente et l'ordonnée à l'origene.

Un cas particulier des fonctions affines est lorsque l'ordonnée à l'origene est nulle, on obtient alors une fonction linéaire.

Les fonctions constantes et linéaires sont des exemples de fonctions affines. Les fonctions affines sont elles-mêmes des exemples de fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à 1.

La notion de fonction affine est généralisée en géométrie par celle d'application affine.

Remarque : dans certaines branches des mathématiques comme la statistique[2], une telle fonction est appelée, à l'image du terme anglophone linear function et du terme allemand Lineare Funktion, une fonction linéaire en référence au fait que son graphe est une ligne droite.

Propriété caractéristique

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Une fonction affine est caractérisée par le fait que son taux d'accroissement est constant. C'est-à-dire qu'il y a proportionnalité entre les accroissement de et les accroissement de . En effet, si et sont deux réels, l'accroissement est proportionnel à . Le coefficient de proportionnalité est .

Une fonction est affine si et seulement si il existe tel que pour tout réels , .

Cette propriété donne alors un outil pour déterminer le coefficient  :

si .

On en déduit : . La dérivée d'une fonction affine est une fonction constante dont la valeur est le coefficient multiplicateur — ou coefficient de proportionnalité — de la fonction affine.

L'ordonnée à l'origene peut se calculer de la manière suivante :

si .

Si l'on connaît l'expression de , alors on a que .

Résolution d'équations et d'inéquations

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Supposons réels et non nul.

  • L'unique solution de l'équation est le réel .
  • L'ensemble des solutions de l'inéquation est l'intervalle réel si , si .
  • Exemple de l'abonnement téléphonique.
Le prix de l'abonnement mensuel est et le prix d'une communication à la minute est de 0,10 €/min. La facture téléphonique est alors une fonction affine du nombre de minutes de communication dans le mois :

.

  • Longueur d'un ressort.
Si au repos le ressort a une longueur et si sa raideur est , alors la longueur du ressort est une fonction affine de la force appliquée (loi de Hooke).

.

Dans ce cas, le coefficient directeur est et l'ordonnée à l'origene .

Représentation graphique

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La représentation graphique d'une fonction affine définie sur l'ensemble des réels est une droite[4] dont l'équation est

.

La droite coupe l'axe des ordonnées pour (d'où le nom d'ordonnée à l'origene)[4]. Lorsque est nul, la droite passe par l'origene du repère cartésien.

La droite a pour « pente » ou « coefficient directeur » le réel [4]. Si , la fonction affine est croissante (la droite « monte ») et si , elle est décroissante (la droite « descend »). Par un processus analogue à celui vu pour la fonction linéaire, un déplacement d'un carreau en abscisse induit un déplacement de carreaux en ordonnée, si le repère est orthonormé.

Détermination des coefficients

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Si et sont deux points distincts appartenant à la droite d'équation , alors :

,
.

Si alors la fonction est constante et si alors la fonction est linéaire.

Notes et références

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Articles connexes

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Bibliographie

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  • Jean Wacksmann, Mathématiques - Seconde : Pour aller plus loin en démontrant et en s’entraînant, Ellipses, , 576 p. (ISBN 9782340028708), chap. 6.1 (« Fonction affine »)








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