Goldbach-sejtés

A Goldbach-sejtés azt mondja ki, hogy

(I.) Minden 2-nél nagyobb páros szám előáll két prímszám összegeként.

(II.) Minden 5-nél nagyobb páratlan szám előáll három prímszám összegeként.

Története

A sejtés egyike azoknak a szélesebb körben ismert matematikai állításoknak, melyekről a szakemberek túlnyomó többsége azt gondolja, hogy minden valószínűség szerint igaz, ugyanakkor a mai napig nem rendelkezünk bizonyítással a helyességüket illetően. Christian Goldbach 1742-ben egy Eulerhez írott levelében fogalmazta meg megfigyelését, hogy minden 5-nél nagyobb páratlan szám három prímszám összege. Euler válaszul rámutatott, hogy ez következik a fenti (I.) állításból. Ezért erős Goldbach-sejtésnek nevezik az első állítást. A második állítást szokás gyenge Goldbach-sejtésnek nevezni.

Részeredmények

A több mint 250 éves problémát illetően ma is csak részeredményekkel rendelkezünk. A sejtést számítógéppel a 4·10¹⁸-nál kisebb természetes számokra igazolták. 1923-ban Godfrey Harold Hardy és John Endensor Littlewood bebizonyította, hogy feltéve az általánosított Riemann-hipotézist, minden elég nagy páratlan szám három prím összege és x-ig legfeljebb $O(x^{1/2+\varepsilon })$ páros szám nem lehet két prím összege. Az 1930-ban Snyírelman bebizonyította, hogy alkalmas s számra minden 1-nél nagyobb természetes szám s darab prímszám összege (ezt 1912-ben vetette fel Landau). Snyírelman bizonyítása teljesen elemi volt, a Brun-szitára és a Snyírelman-sűrűség általa bevezetett fogalmára épült. 1937-ben Vinogradov új módszert dolgozott ki a

$\sum _{p\leq n}e^{2\pi ip\alpha }$

összeg becslésére (itt p prímszámot jelöl) és ezt használva megmutatta, hogy a páratlan számokra vonatkozó állítás egy bizonyos korláttól kezdve igaz. Az eredeti bizonyítás nem adott konkrét korlátot. Később, ezeket a bizonyításokat effektivizálva a következő korlátok adódtak: Hardy-Littlewood $n\geq 10^{50}$-re, Vinogradov $n\geq 10^{6800000}$-ra és ennek javításai is $n\geq 10^{1346}$-ot adnak (M. C. Liu, T. Z. Wang, 2002). Deshouillers, Effinger, H. te Riele és D. Zinovjev 1997-ben az általánosított Riemann-sejtésből belátta, hogy minden 5-nél nagyobb páratlan szám három prím összege. 2012-ben Terence Tao bebizonyította, hogy minden 5-nél nagyobb páratlan szám előáll legfeljebb öt prímszám összegeként.

Egy kutatási irány azt vizsgálja, hány kivételes szám lehet, tehát olyan 2-nél nagyobb páros szám, ami nem áll elő két prímszám összegeként. A sejtés persze az, hogy ez a szám nulla. Vinogradov módszerét használva, egymástól függetlenül, 1938-ban Csudakov, van der Corput és Estermann belátta, hogy a két prím összegeként nem írható páros számok száma x-ig legfeljebb $O(x(\log x)^{-A})$. Ezt Vaughan, illetve Montgomery és Vaughan 1975-ben $O(x^{1-\delta })$-ra javította, nagyon kicsi δ értékkel. Ezt többen δ=0,086-ra javították, végül 2004-ben Pintz a δ=1/3 értéket nyerte.

A probléma egy változata, amikor megengedünk összetett számokat, de csak olyanokat, amelyek legfeljebb r prímtényezőt tartalmaznak (r-majdnem prímek), az ilyen számokat $P_{r}$-rel jelöljük. A legelső idevágó eredmény még Bruntól származik (1919): minden elég nagy páros szám $P_{9}+P_{9}$, azaz felírható, mint két olyan szám összege, amelyeknek legfeljebb 9 prímtényezőjük van. Selberg 1950-ben $P_{2}+P_{3}$-at igazolt, Rényi Alfréd pedig a nagy szita segítségével bebizonyította, hogy van olyan K szám, hogy minden elég nagy páros szám $P_{1}+P_{K}$. Az itt szereplő K értéket többen javították, a jelenlegi rekord 2, tehát minden elég nagy páros szám $P_{1}+P_{2}$ (J. R. Chen, 1973).

További információk

• Pintz János: A Goldbach-sejtésről; MTA, Bp., 2014 (Székfoglalók a Magyar Tudományos Akadémián)