Angolo solido
In geometria un angolo solido è un'estensione allo spazio tridimensionale del concetto di angolo piano. Esso è definito come ciascuna delle due regioni in cui viene suddiviso lo spazio dalla superficie formata dalle semirette che hanno origene in uno stesso punto (detto vertice dell'angolo solido) e passanti per i punti di una curva chiusa semplice tracciata su una superficie non contenente il vertice. L'unità di misura dell'angolo solido è lo steradiante.
Un caso particolare di angolo solido è l'angoloide poliedrico (o semplicemente angoloide) che si ottiene quando la curva è un poligono. Un angoloide può essere chiamato angoloide quadrico quando ammette che le proprie facce siano tangenti a una quadrica di rotazione, come avviene nel caso dell'angoloide triedrico.
Misura dell'angolo solido
[modifica | modifica wikitesto]La misura in steradianti dell'angolo solido è definita come , dove è l'area della porzione di superficie sferica di raggio vista sotto l'angolo . Tale definizione è indipendente dal particolare valore del raggio scelto, ed è un'estensione allo spazio tridimensionale della definizione della misura di un angolo piano in radianti come , dove è la lunghezza dell'arco di circonferenza di raggio sotteso da . L'angolo solido sotteso da una superficie generica rispetto a un punto P è dunque equivalente a quello sotteso dalla proiezione della stessa superficie su una sfera di raggio qualsiasi centrata in P.
Dalla precedente definizione consegue che l'angolo solido sotteso dall'intera superficie sferica misura . Per avere la misura in gradi quadrati si moltiplica il valore in steradianti per , ovvero per . Quindi tutta la sfera corrisponde a circa 41253 gradi quadrati.
Esempi
[modifica | modifica wikitesto]- Nel caso di un cono di apertura , la misura dell'angolo solido rispetto al vertice è uguale a:
Caso particolare è l'angolo solido sotteso da mezza sfera, cioè da un angolo pari a . La formula diventa:
che è uguale alla metà di che è l'intero angolo solido.
- Una semplice formula per calcolare la misura dell'angolo solido sotteso di un triangolo di vertici , e e visto dall'origene è stata formulata da Oosterom e Strackee:
dove:
- è la rappresentazione vettoriale del punto ;
- denota la distanza del punto dall'origene (norma euclidea di );
- denota il prodotto scalare;
- denota il prodotto vettoriale;
- denota il valore assoluto.
è anche l'area del triangolo che giace in una sfera centrata nell'origene e di raggio unitario, avente come lati i segmenti di intersezione della sfera con i piani passanti per l'origene e due vertici.
Il segno del numeratore (prima della valutazione del modulo) indica se dall'origene è visibile la faccia interna del triangolo () o la faccia esterna (). L'orientazione del triangolo è definita tramite l'orientazione dei suoi vertici (senso orario o antiorario).
Nota bene: nel caso in cui il denominatore risultasse negativo, l'arcotangente restituirebbe un valore negativo, a cui deve essere aggiunto .
Il sole e la luna sono visti dalla Terra all'incirca sotto lo stesso angolo solido, che corrisponde più o meno a 1/100000 della volta celeste.
Voci correlate
[modifica | modifica wikitesto]- Angolo
- Steradiante
- Angolo diedro
- Bisettrice di un angoloide
- Coni quadrici
- Poliedri
- Sezione retta
- Incentroide
- Circocentroide
Altri progetti
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Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) IUPAC Gold Book, "solid angle", su goldbook.iupac.org.