Terna pitagorica
Una terna pitagorica è una terna di numeri naturali , , tali che . Il nome deriva dal teorema di Pitagora, da cui discende che ad ogni triangolo rettangolo con lati interi corrisponde una terna pitagorica e viceversa.
Se è una terna pitagorica, lo è anche , dove è un numero naturale qualsiasi. Il numero è quindi un divisore comune dei tre numeri , , . Una terna pitagorica si dice primitiva se , e non hanno divisori comuni. I triangoli descritti da terne pitagoriche non primitive sono sempre simili a quelli descritti dalla corrispondente terna primitiva.
Formula di Euclide per trovare le terne
[modifica | modifica wikitesto]Esiste una formula capace di generare tutte le terne pitagoriche primitive; tali formule sono citate da Euclide (in greco antico: Ευκλείδης?) nei suoi Elementi (in greco antico: τα Στοιχεία?):
Le formule di Euclide generano una terna pitagorica primitiva se e solo se e sono coprimi, cioè se non hanno divisori comuni diversi da 1, ed uno di loro è pari e l'altro dispari (se sia che sono dispari , e sono pari, e quindi quella terna pitagorica non può essere primitiva). Tutte le terne primitive si possono ottenere in questo modo da un'unica coppia di numeri coprimi , mentre le restanti (non primitive) si possono ottenere moltiplicando i termini di una terna primitiva per un opportuno fattore. Le formule così modificate sono quindi in grado di generare tutte le terne possibili, anche se in modo non univoco:
Una conseguenza immediata di queste formule è che le terne pitagoriche sono infinite, in quanto sono infinite le possibili scelte di e .
- Dimostrazione
Il prodotto di per (dei due cateti) è sempre divisibile per (), mentre il prodotto (di tutti e tre i lati del triangolo pitagorico) è sempre divisibile per (). Infatti modulo e modulo si hanno solo e come quadrati, quindi, se o , si ha che se oppure allora oppure e quindi se invece allora Di conseguenza Infine, poiché modulo i quadrati sono se oppure oppure oppure ragionando analogamente si ha che se invece oppure allora Quindi, in tutti i casi da cui
Terne pitagoriche con c < 100
[modifica | modifica wikitesto]Esistono solo 16 terne pitagoriche primitive con :
Altri esempi di terne pitagoriche
[modifica | modifica wikitesto]Si noti che (in base ai prodotti notevoli)
Si osservi che esistono più terne pitagoriche primitive con lo stesso intero minore. Il più piccolo caso è , appartenente a: e .
Il numero è l'intero minore in esattamente terne primitive; la più piccola e la più grande fra queste sono:
e
Si consideri la fattorizzazione:
- Errore del parser (SVG (MathML può essere abilitato tramite plug-in del browser): risposta non valida ("Math extension cannot connect to Restbase.") dal server "http://localhost:6011/it.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle 1229779565176982820 = 2^2 \times 3 \times 5 \times 7 \times 11 \times 13 \times 17 \times 19 \times 23 \times 29 \times 31 \times 37 \times 41 \times 43 \times 47.}
L'ultimo teorema di Fermat afferma che non esistono terne non banali analoghe a quelle pitagoriche ma con esponenti maggiori di (cioè che l'equazione non ammette soluzioni intere se ; esclusi i casi banali in cui almeno uno dei numeri è uguale a zero).
Un legame tra terne pitagoriche e primi gemelli può essere stabilito tramite la derivata aritmetica. Infatti un semiprimo i cui fattori primi siano due primi gemelli può essere espresso come , la sua derivata aritmetica come e . Questi numeri sono fra loro coprimi e perciò costituiscono una terna pitagorica primitiva.
Ciascun numero naturale maggiore di 2 appartiene almeno a una terna pitagorica e ogni numero primo può appartenere al più a 2 terne (in quest'ultima situazione una volta come cateto e una volta come ipotenusa del triangolo rettangolo cui si riferisce).
Altri progetti
[modifica | modifica wikitesto]- Wikimedia Commons contiene immagini o altri file su terna pitagorica
Collegamenti esterni
[modifica | modifica wikitesto]- (EN) Pythagorean triple / Pythagorean number, su Enciclopedia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc.
- (EN) Eric W. Weisstein, Terna pitagorica, su MathWorld, Wolfram Research.
- (EN) Sequenza A210503, su On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, The OEIS Foundation.
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