直交行列

直交行列（ちょっこうぎょうれつ, 英: orthogonal matrix）とは、転置行列と逆行列が等しくなる正方行列のこと。つまり $n$ × $n$ の行列 $M$ の転置行列を $M$ ^$T$ と表すときに、 $M T M = M M T = E$ を満たすような $M$ のこと。ただし、 $E$ は $n$ 次の単位行列であり、 $E$ 自身も直交行列である。

有限次元実計量ベクトル空間の直交変換は、ある正規直交基底に関して実直交行列（成分が全て実数の直交行列）によって定まる線形変換である。ただし、直交変換とは（必ずしも有限次元でない）実計量ベクトル空間 $V$ において内積を変えない（等長性をもつ）線形変換 $f$ のことである。すなわち、 $v, w$ を $V$ の任意のベクトルとするときに、 $(f (v), f (w)) = (v, w)$ が成り立つ。ただし、 $(•, •)$ は内積を表す。

定義

$n$ 次正方行列 $M$ の転置行列 $M T$ が $M$ の逆行列になっているとき、すなわち $M T = M -1$ を満たすとき、 $M$ は直交行列であるという。

直交行列は内積を保つ線型変換としても定義できる。実計量ベクトル空間 $V$ の任意のベクトル $v, w$ に対し、内積を $(v, w) = v T w$ とする。 $v, w$ が行列 $M$ により $M v, M w$ に変換されたとき、内積は

(Mv,Mw)=(Mv)^{T}Mw=v^{T}M^{T}Mw=v^{T}w=(v,w)

となるので、行列 $M$ が直交行列であるのは計量ベクトル空間 $V$ の内積を変えないとき、かつそのときに限る。

直交行列は正則行列であり、直交行列は積や逆について閉じている。 $n$ 次直交行列全体の集合を $n$ 次直交群といい、 $O$ ( $n$ ) と書く。行列式の値が1となる直交行列全体の集合を特殊直交群といい、 $SO$ ( $n$ ) と書く。

例

回転行列

2次元ユークリッド空間において、原点を中心に角 $θ$ の回転をあらわす2次直交行列は以下で表される。

{\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}

置換行列

2次の正方行列において、1行目と2行目を置換させる置換行列は以下で表される。

{\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}

反射行列

単位ベクトル $u$ に直交する超平面についての鏡映を与える反射行列（ハウスホルダー行列） $H$ は、以下の式で与えられ、直交行列となる（ $I$ は単位行列）。

H=I-2uu^{\top }

性質

直交行列の行列式の値は ±1 である^{[注 1]}。実際、行列 $A$ が直交行列なら行列式の性質から

\det(A)^{2}=\det(A)\det(A^{\intercal })=\det(AA^{\intercal })=\det(E)=1

となる。逆は必ずしも真ではない。

ユニタリ行列である。従って対角化可能である。
$n$ 次行列 $A$ を $n$ 個の列ベクトル（行ベクトル） $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ を並べたものとみなしたとき、直交行列の定義 $AA$ ^$T$= $E$ は $v_{1},v_{2},...,v_{n}$ が正規直交基底になる条件と同値である。
$n$ 次の直交行列 $A$ 、 $n$ 次の列ベクトル $x$ が与えられた時、ノルムを ‖•‖ で表せば、 ‖ $A x$ ‖ = ‖ $x$ ‖ である。したがって $A$ の対応する作用素ノルムは $‖ A ‖ = 1$ である。

参考文献

齋藤正彦『線型代数入門』東京大学出版会〈基礎数学 1〉、1982年（原著1966年）。ISBN 978-4-13-062001-7。
佐武一郎『線型代数学』裳華房〈数学選書 1〉、1974年。ISBN 978-4-7853-1301-2。
- 佐武一郎『線型代数学』（新装版）裳華房〈数学選書 1〉、2015年。ISBN 978-4-7853-1316-6。
Strang, Gilbert (2007), Computational Science and Engineering, Wellesley-Cambridge Press, ISBN 978-0-9614088-1-7
- ギルバート・ストラング『ストラング：計算理工学』今井桂子・岡本久監訳幹事、近代科学社〈世界標準MIT教科書〉、2017年。ISBN 978-4-7649-0423-1。
Weyl, Hermann (1966). The Classical Groups: Their Invariants and Representations. Princeton University Press. ISBN 0-691-07923-4

注

^ 行列式の値 +1 あるいは −1 に応じて、直交行列を正格 proper あるいは変格 improper ということがある^[1]。

出典

^ Weyl 1966, p. 11.

外部リンク

『直交行列』 - コトバンク
『直交行列の５つの定義と性質の証明』 - 高校数学の美しい物語
Rowland, Todd and Weisstein, Eric W. "Orthogonal Matrix". mathworld.wolfram.com (英語).

動画

[2] 行列式の値 +1 あるいは −1 に応じて、直交行列を正格 proper あるいは変格 improper ということがある^[1]。

[FOOTNOTEWeyl196611-1] Weyl 1966, p. 11.

[注 1]

[1]