0 (nombre)

La chifra zèro (de l’italian zero, derivat de l’arabi sifr, d’en primièr transcrich zefiro en italien) es un simbòl marcant una posicion vueita dins l’escritura dels nombres en notacion posicionala.

Lo nombre zèro es un objècte matematic permetent d’exprimar una abséncia coma una quantita (nulla): es lo nombre d'elements de l’ensemble vueit. es concebut coma lo mai pichon dels entièrs naturals. Las seunas proprietats aritmeticas particularas, subretot l’impossibilitat de la division per zèro, implican qu'es tractat coma cas particular. Distria los nombres reals en positius e negatius, es d’origena per marcar de punts sus la drecha reala.

Mai generalament, zèro designa l’element neutre per l’addicion dins gaireben totes los grops abelians e subretot dins los anèls, còrses, espacis vectorials e algèbras, a vegada sonat element nul.

Los Babilonians l'utilizèron los primièrs, un pauc mai de 200 ans AbC., una forma de zèro a l’interior d’un nombre (per exemple: 304) mas jamai a drecha del nombre, nimai a esquèrra. Es en Índia que, reprenent l’eretatge cultural dels Grècs, se perfeccionèt la numeracion. S’utilizava lo zèro pas sonque coma notacion del biais babilonian, mai tanben coma un nombre amb que operar. Nocion e notacion indianas del zèro foguèron apuèi empruntadas pels matematicians arabis puèi pels Europèus.

Cal notar la plaça particulara dels Maias, unics aritmeticians de l’Antiquitat que definiguèron dos zèros, l’un cardinal, l’autre ordinal, coma o illustra lo verso de la placa de Leyde.

Istòria

Zèro coma chifra

Apareguèt tres còps dins l’istòria dels sistèmas de numeracion elaborats per diferents pòbles e civilizacions.

La primièra aparicion del zèro en Mesopotamia sembla remontar al Millenni III ab J.C., a l’epòca dels Seleucids. Pasmens èra pas utilizat dins los calculs e servissía pas que de chifra (marcatge d’una posicion vueita dins lo sistèma de numeracion babiloniana); alara qu’èra ignorat pels Romans, lo tornèron prenne e amb utilizacion melhora los grècs.

Apuèi tornèt èsser descobèrt pels Chineses, que capitèron pas a introduire lo zèro. Las inscripcions sus òs e escata (jiaguwen) descobèrtas dins la region d'Anyang, dins l’actuala província d'Henan, a la fin del sègle XIX, nos aprenon que, dempuèi los sègle XIV-sègle XI AbC, los Chineses utilizèron una numeracion decimala de tipe « ibrid », combinant dètz signes fixes per las unitats de 1 a 9, amb de marcas de posicion particularas per las desenas, centenas, milièrs e miriadas.

Coma nombre

Son usatge modèrne, a l'encòp coma chifra e coma nombre, es eretat de l’invencion indiana de las chifras nagari vèrs lo sègle V. Lo mot indian designant lo zèro èra śūnya (çûnya), que significa « vuèit » « espaci » o « vacant ». Lo matematician e astronòm indian Brahmagupta es lo primièr que definís lo zèro dins son obratge Brahmasphutasiddhanta. Aquel mot, d'en primièr tradusit en arabi per « ṣifr », çò que significa « vuèit » e « gran », que donèt chifra e zèro (per mejan la traduccion de sifr en l’italian zephiro, a partir de que foguèt format zevero que venguèt zèro). La grafia del zèro, d’en primièr un cercle, es inspirada de la representacion de la vòlta celèsta.

Coma o indica l’etimologia, son introduccion en Occident es consecutiva a la traduccion de matematicas aràbias, subretot las òbras d’al-Khwarizmi, vèrs lo sègle VIII. Las chifras indianas son importadas d’Espanha en Euròpa crestiana a l'entorn de l’an mil per Gerbèrt d'Orlhac, vengut lo papa Silvèstre II. Pasmens lo zèro se generalizèt dins la vida vidanta, las chifras indianas servissent subretot per marcar los getons d’abac de 1 a 9.

Leonardo de Pisa, dich Fibonacci, aguèt una influéncia determinanta. Demorèt d'ans en Africa del Nòrd en Argeria e exactament e estudièt prèp d’un professor local. Viatgèt tanben en Grècia, Egipte, Orient Mejan e confirmèt l’avís de Silvèstre II suls avantatges de la numeracion de posicion. En 1202, publiquèt lo Liber Abaci, recuèlh qu'amassa gaireben totas las coneissenças matematicas de l’epòca, e malgrat lo títol, aprenguèt de calcular sens abac.

Los dos zèros dels Maias

Lo zèro foguèt utilizat pels Maias pendent lo Millenni I, coma chifra dins lor sistèma de numeration de posicion, coma nombre e comme ordinal dins lo calendrièr, onte correspond a l’introduccion dels meses. Los confondent dins una transcripcion unica, Sylvanus Morley masquèt que s’agissiá de dos concèptes e de dos zèros diferents. L’un correspond a un zèro ordinal de las datas, l’autre es un zèro cardinal de las duradas, jamai confonduts dins lors usatges pels escribs.

Grafias actualas

La grafia « 0 » es pas la sola utilizada dins lo monde; dins d'autre d’alfabets — subretot aqueles de las lengas del soscontinent indian e del sud-èst asiatic — utilizan de grafias diferentas.

Alfabet Chifra Amaric ፨ Arabi occidental 0 Arabe oriental ٠ Arabi persan ۰ Bengalin ০

Alfabet Chifra Birman ၀ Devanagari ० Gujarati ૦ Gurmukhî ੦ Kannara ೦

Alfabet Chifra Khmer ໐ Malayalam ൦ Oriya ୦ Tamol ௦ Telogo ౦

Alfabet Chifra Tai ๐ Tibetan ༠ Sinograma simplificat 〇 Sinograma tradicional 零

Vaquí lo zèro sul Visualizador de sèt segments:

• 

Utilizacions

Ara es a la basa de nòstre sistèma de mesura de la temperatura :

• 0 °C: temperatura del passatge de l’aiga de l’estat solid (glaça) a l’estat liquid, a una pression ambienta de 1 013 hPa ;

• Existís pas d’annada zèro dins lo calendrièr gregorian. En efècte, l’usatge del 0 en Euròpa es posterior a la creacion de l’anno Domini per Dionís l'Exigú al sègle VI. Pasmens per simplificar los calculs d’efemerids, los astronòms definisson una annada 0 que correspond a l’an -1 dels istorians, l’an -1 dels astronòms correspondent a l’an -2 dels istorians, eca.

Es perque lo millenni III e lo sègle XXI comencèron lo 1^er de genièr de 2001.

• Miejanuèit pòt se notar 00:00.

Lo zèro coma notacion de las basas 2, 8, 10, 16…

Dins la basa dètz qu’utilizam, la chifra mai a drecha indica las unitats, la segonda chifra indica las desenas, la tresena las centanas, la quatrena los milièrs…

Lo zèro jòga doncas un ròtle particular dons lo sistèma aritmetic posicional, quin que siá del rèsta.

Rapelam que l’usatge de la basa 10, venent d’Índia, s’impausèt a respècte d’autras basas, coma per exemple 12 e 60 qu'èran utilizadas dins d'autras civilizacions.

Quand i a d'unitats residualas, per exemple dins trenta dos (32), la chifra de las unitats (2) permet de comprene que l’autra chifra (3) indica las desenas.

S’avèm un nombre entièr de desenas (per exemple tres desenas, trenta), i a pas d’unitat residuala. Cal doncas un caractèr que permet de marcar que lo 3 correspond a las desenas, e aquel caractèr es lo 0; es atal que se comprend que « 30 » significa « tres desenas ».

Auriám pogut utilizar quin que siá autre caractèr, per exemple un punt; atal, dos cents tres se notariá « 2.3 ».

L’utilizacion d’un caractèr « tapatrauc » remonta a la numeracion babiloniana, coma indicat çai sus, mas s’agís pas del concèpte d’« abséncia de quantitat », s’agís pas que d’una comoditat de notacion. Dins la numeracion romana, aquel artifici es inutil perque las unitats (I, V), las desenas (X, L), las centenas (C, D) e los milièrs (M) son notats amb de caractèrs diferents. Mas, la notacion de nombres superiors a 8 999 ven problematica e las reconeissenças de las estructuras pel calcul mental aviats fòrça mai penosas.

Lo zèro coma abséncia de quantitat

Lo fach d’exprimir l’abséncia de quantitat per un nombre es pas una evidéncia en se. L’abséncia d’un objècte s’exprimís per la frasa « N'i a pas » (o « pas mai »).

Los nombres son ja una abstraccion: l'interès es pas la qualitat d’un objècte, mas pas que sa quantitat, la denombrabilitat (lo fach que d'objèctes sián similars mas distinctes). Amb lo zèro, se pòt fins a negar la quantitat.

Quand addicionam o multiplicam dos nombres, avèm l’imatge d'amassar dos molons d’objèctes semblables, dos tropèls. Aquel imatge es pas mai possible quand manipulam lo zèro.

L’invencion del zèro permetèt l’invencion dels nombres negatius.

Proprietats aritmeticas e algebricas

Coma nombre entièr, zèro es par.

Per tot nombre real (o complèxe) $a$ :

• $a+0=0+a=a\,$ (0 es element neutre per l’addicion)
• $a\times 0=0\times a=0\,$ (0 es element absorbent per la multiplicacion)
• se $a\neq 0\,$ alara $a^{0}=1\,$
• 0⁰ es considerat o coma egal a 1 (en algèbra e en teoria dels ensembles), o coma indefinit per l'evaluacion dels limits en analisi (es una forma indeterminada del calcul dels limits).
• per extension de la factoriala amb la Foncion gamma, $0!=1\,$
• $a+(-a)=0\,$
• ${a \over 0}=$ non definit (vejatz article division per zèro)
• ${0 \over 0}=$ non définit, en remarcant pasmens que lo calcul $dx \over dy$ quand ambedoas valors van cap a zèro es la basa del calcul diferencial.
• Per tot entièr n > 0, la racina n-ena de 0 es egala a 0.

Usatge espandit de zèro en matematicas

• Zèro es l’element neutre dins un grop abelian provesit de la lei $\ +$ o l’element neutre per l’addicion dins un anèl.
• Un zèro d’una foncion es un punt dins lo domeni de definicion de la foncion que son imatge per la foncion es zèro; tanben nomenat racina, subretot dins lo cas d’una foncion polinomiala.
• En geometria, la dimension d’un punt es 0.
• En topologia, la dimension topologica de l’ensemble de Cantor es 0, alara qu'aja una dimension d'Hausdorff non nulla.
• En geometria analitica, 0 a per nom l’origena, notada tanben O (un cas onte l’ambigüítat a pauc d'importància).
• Lo concèpte de « gaireben » impossible en probabilitat. Pus generalament, lo concèpte de gaireben enlòc en teoria de la mesura.
• Una foncion zèro es una foncion amb 0 coma sola valor de sortida possibla. Una foncion zèro particulara es lo morfisme zèro. Una foncion zèro es l’element neutre dins lo grop additiu de las foncions.
• Zèro es una de las tres valors de retorn possiblas de la foncion de Möbius. Se dintram un entièr $x^{2}$ o $x^{2}y$, la foncion de Möbius tornarà zèro.
• Es un nombre de Pell.

Vejatz tanben

Articles connèxes

• Chifra aràbia
• Nombre
• Matematicas
• Axiòmas de Peano
• Brahmagupta
• Alfabet morse onte la chifra 0 val « ----- »
• Zèro raiat

Bibliografia

• (fr)Histoire universelle des chiffres, l’intelligence des hommes racontée par les nombres et le calcul. Georges Ifrah. Robert Laffont, col. Bouquins. ISBN 9782221901007}}. T. 1,. Genièr de 1994.
• (fr)Zéro, la biographie d’une idée dangereuse, Charles Seife, ed. Hachette, ISBN 9782012791923