Miara kąta

Miara kąta – wielkość kąta wyrażona w odpowiednich jednostkach. W matematyce i jej zastosowaniach teoretycznych używa się miary łukowej.

Jest to długość łuku wyciętego przez kąt z okręgu o promieniu 1 i środku w wierzchołku kąta. Tak określona miara wyraża się liczbą niemianowaną (bezwymiarową) i może przyjmować wartości z zakresu 0 do 2π. Jednostkę miary łukowej nazywamy radianem.

W życiu codziennym używa się zwykle miary stopniowej. Kąt pełny dzieli się na 360 stopni kątowych (symbol: °), każdy z nich na 60 minut kątowych (symbol: ′), a każdą z nich na 60 sekund kątowych (symbol: ″). Ułamki sekund kątowych podawane są już dziesiętnie.

Tę właśnie miarę wykorzystuje się w popularnych kątomierzach.

W praktyce militarnej i geodezyjnej stosowany bywa podział kąta pełnego na 400 gradów (lub gradusów, symbol: ^g), z których każdy dzieli się na 100 centygradów (symbol: ^c), a każdy z nich na 100 myriogradów (symbol: ^cc). Podział taki ułatwia ręczne (pisemne) dodawanie i odejmowanie, ponieważ przeniesienia i pożyczki wykonuje się jak przy zwykłych liczbach dziesiętnych, bez konieczności przeliczania na 60 i 90 jednostek.

W pomiarach nachylenia nawierzchni używa się miary procentowej (np. przy określeniu nachylenia nawierzchni drogi). Przykładowo 1% oznacza zmianę wysokości o 1 cm na 100 cm długości. Oblicza się to według wzoru:

$Nachylenie={\frac {H}{L}}\cdot 100,$ gdzie L to długość danego fragmentu stoku, a H wysokość tego fragmentu.

Miara kąta potocznie nazywana jest kątem.

Przykłady zapisu miary kąta

W mierze...	Zapis	Czytamy
stopniowej	10°23′45″76	10 stopni, 23 minuty, 45 i 76 setnych sekundy
gradowej	87g65c43cc21	87 gradów, 65 ce, 43 i 21 setnych cece co oznacza 87,654321 grada

Używa się również (gł. w artylerii) jednostki zwanej tysiączną. Definiuje się ją jako miarę kąta środkowego, który z okręgu o promieniu 1 km wycina łuk o długości 1 m. Tysięczna rzeczywista jest więc równa 1/1000 radiana, w przybliżeniu 1/6283,2 kąta pełnego. Spotyka się też definicje:

tysięczna artyleryjska

1 m_a = 1/6400 kąta pełnego

tysięczna Rimailho

1 m_R = 1/6000 kąta pełnego

zatem na kilometrowym okręgu:

kątowi	odpowiada łuk
1/1000 rad	100 cm
1 ma	105 cm
1 mR	98 cm

Dla porównania:

kątowi	odpowiada łuk
1′	29,09 cm
1c	15,71 cm

Porównanie miar

Argumenty funkcji trygonometrycznych dla liczb rzeczywistych można zinterpretować jako miarę kąta. Matematycy używają jednak praktycznie wyłącznie radianów. Miara stopniowa jest dość popularna, jednak w stosunku do radianów powoduje pewne komplikacje przy obliczeniach trygonometrycznych:

Dla kątów bliskich zeru długość łuku okręgu jednostkowego (czyli kąt wyrażony w radianach) jest w przybliżeniu równa wartości funkcji sinus, stąd pochodna funkcji sinus dla $x=0$ wynosi 1. 1 jest też wartością funkcji cosinus dla $x=0.$ Okazuje się, że ogólnie:

$\sin 'x=\cos x$

$\sin ''x=-\sin x$

$\sin '''x=-\cos x$

$\sin ''''x=\sin x$

Tak jest jednak tylko dla kątów wyrażonych w radianach (miara łukowa).

Oznaczmy na potrzeby tej sekcji funkcje sinus i cosinus dla stopni przez $\sin _{\deg }x=\sin {\tfrac {\pi }{180}}x$ oraz $\cos _{\deg }x=\cos {\tfrac {\pi }{180}}x.$

Teraz:

$\sin _{\deg }'x={\tfrac {\pi }{180}}\cos _{\deg }x$

$\sin _{\deg }''x=-{\tfrac {\pi ^{2}}{180^{2}}}\sin _{\deg }x$

$\sin _{\deg }'''x=-{\tfrac {\pi ^{3}}{180^{3}}}\cos _{\deg }x$

$\sin _{\deg }''''x={\tfrac {\pi ^{4}}{180^{4}}}\sin _{\deg }x$

We wzorach pojawiły się dodatkowe współczynniki. Takie współczynniki są różne od 1 przy każdej mierze kąta oprócz miary łukowej (radianów). Podobne utrudnienia powstałyby także w rozwinięciach funkcji trygonometrycznych w postaci szeregów (omówione są tutaj) i w wielu innych miejscach w analizie matematycznej.

Ponadto miara łukowa ma prostą interpretację geometryczną: jest to długość części okręgu jednostkowego o środku w wierzchołku kąta zawartej w danym kącie.

Miara łukowa jest więc w pewnym sensie wyróżniona wśród wszelkich możliwych miar kątów i najbardziej naturalna, dlatego powszechnie stosuje się ją w matematyce i do niej dostosowane są definicje funkcji trygonometrycznych.

Zobacz też

• pochylenie poziome trasy