Przekształcenie Abela

Przekształcenie Abela (tożsamość Abela) – tożsamość algebraiczna zachodząca dla skończonych ciągów liczbowych (bądź ogólniej, elementów pierścienia przemiennego).

Niech $(a_{j})_{j=1}^{n},$ $(b_{j})_{j=1}^{n}$ będą ciągami liczbowymi.

Oznaczmy

$A_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}.$

Wówczas zachodzi wzór:

$\sum _{j=m+1}^{m+k}a_{j}b_{j}=\sum _{l=m+1}^{m+k}A_{l}(b_{l}-b_{l+1})-A_{m}b_{m+1}+A_{m+k}b_{m+k+1}.$

W szczególności, gdy $m=0,$ $b_{k+1}=0{:}$

$\sum _{j=1}^{k}a_{j}b_{j}=\sum _{l=1}^{k-1}A_{l}(b_{l}-b_{l+1})+A_{k}b_{k}.$

Dowód

Dla każdego $l\leqslant n$ mamy

$a_{l}b_{l}=(A_{l}-A_{l-1})b_{l}=A_{l}(b_{l}-b_{l+1})+A_{l}b_{l+1}-A_{l-1}b_{l}.$

Po zsumowaniu i zredukowaniu wyrazów występujących w kolejnych wyrażeniach z przeciwnymi znakami otrzymujemy tezę.

Wnioski

Jeśli $b_{n}$ jest ciągiem nierosnącym nieujemnym, to spełniona jest nierówność:

$\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}\right|\leqslant Ab_{1}$

gdzie:

$A=\max \left(|a_{1}|,|a_{1}+a_{2}|,\dots ,\left|\sum _{i=1}^{n}a_{i}\right|\right).$

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Lev Kourliandtchik: Wędrówki po krainie nierówności. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat, 2000. ISBN 83-87329-11-8. Brak numerów stron w książce

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Summation by Parts, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Abel transformation (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].