Ekstrem funkcije

Ekstrém fúnkcije je v matematiki točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost (maksimum) ali najmanjšo vrednost (minimum).

Funkcija ene realne spremenljivke

V lokalnem ekstremu je tangenta vodoravna (modro: lokalni maksimum; rdeče: lokalni minimum)

Realna funkcija ene realne spremenljivke doseže ekstrem v točki $x_{0}$, kjer je vrednost funkcije največja oziroma najmanjša glede na dano množico vrednosti neodvisne spremenljivke $x$. Ta množica vrednosti je lahko poljubna, najpogosteje pa se v matematiki srečajo naslednji primeri:

• Lokalni minimum ali relativni minimum je točka, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost v neki (majhni) okolici.
• Globalni minimum ali absolutni minimum je točka, kjer funkcija doseže najmanjšo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju).
• Lokalni maksimum ali relativni maksimum je točka, kjer funkcija doseže največjo vrednost v neki (majhni) okolici.
• Globalni maksimum ali absolutni maksimum je točka, ker funkcija doseže največjo vrednost sploh (na celotnem definicijskem območju).

Če je funkcija $f$ zvezna in odvedljiva, potem je vsak lokalni ekstrem tudi stacionarna točka te funkcije: to pomeni, da je v tej točki tangenta vodoravna in da je odvod funkcije enak 0. Zaradi tega si pri iskanju maksimumov in minimumov pogosto pomagamo z odvodom. Potrebno pa je nekaj previdnosti, saj je odvod lahko enak nič tudi v drugih točkah (vodoravni prevoj). Rečemo, da je pogoj $f'(x)=0\!\,$ potreben vendar ne zadosten pogoj za eksistenco ekstrema.

Poleg prvega odvoda lahko za določanje narave ekstrema uporabimo tudi drugi odvod. Če je prvi odvod v točki $x_{0}$ ​enak $f'(x_{0})=0$, lahko z drugim odvodom $f''(x_{0}$​) presodimo, za kakšno točko gre:

• Če je $f''(x_{0})>0$, ima funkcija v točki $x_{0}$ lokalni minimum.
• Če je $f''(x_{0})<0$, ima funkcija v točki $x_{0}$ lokalni maksimum.
• Če je $f''(x_{0})=0$, drugi odvod ne poda dovolj informacij. Če je $f'''(x_{0})\not =0$ potem je v $x_{0}$ sedlo.

Funkcija več spremenljivk

Maksimum funkcije dveh spremenljivk

Sedlasta točka ni ekstrem funkcije dveh spremenljivk

Formalna definicija je za funkcijo dveh ali več spremenljivk enaka: ekstrem je točka, kjer je vrednost funkcije največja ali najmanjša.

Če je taka funkcija zvezna in odvedljiva, potem se iščejo ekstremi v točkah, kjer so parcialni odvodi funkcije enaki 0. Tudi v tem primeru gre za potreben a ne zadosten pogoj: obstajajo tudi točke, ki niso ekstremi, čeprav so parcialni odvodi enaki 0 (prevoji, sedlaste točke).