Parallellepiped

Parallellepiped
Dimensioner	3
Sidor	6
Kanter	12
Hörn	8

En parallellepiped är en tredimensionell geometrisk figur som begränsas av sex plan, vilka två och två är sinsemellan parallella. Gränsytorna är parallellogrammer, av vilka de, som står emot varandra, är kongruenta. Parallellepipeden har tolv kantlinjer och åtta hörn.

Om gränsytorna är kvadrater kallas parallellepipen kub. En parallellepiped där alla sidor är rektanglar kallas rätblock. Är alla sidorna romber kallas den romboeder.

Volym

Figur 1. Volymen hos en parallellepiped är lika med: $V=A\cdot h=|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |$.		Figur 2. Med mot varandra vinkelräta snitt som är vertikala mot den sida man valt som basyta, och flytt av den avskurna biten till den motsatta sidan, gör man om en godtycklig parallellepiped till ett rätblock med samma volym som parallellepipeden.

Volymen hos en parallellepiped är lika med basytans area, $A$, multiplicerad med höjden, $h$ (se figur 1):

$V=A\cdot h$

Basytan är en parallellogram och dess area är lika med:

$A=||\mathbf {a} ||\cdot ||\mathbf {b} ||\cdot \sin \gamma =||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||$.

Höjden är lika med

$h=||\mathbf {c} ||\cdot |\cos \Theta |$

Vilket ger: $V=A\cdot h=(||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||)\cdot (||\mathbf {c} ||\cdot |\cos \Theta |)=|(\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\cdot \mathbf {c} |$.

Således är volymen är lika med absolutbeloppet av den skalära trippelprodukten av de tre sidovektorerna. Detta innebär i sin tur att om kantvektorerna är:

${\begin{matrix}\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})\\\mathbf {b} =(b_{1},b_{2},b_{3})\\\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},c_{3})\end{matrix}}$

så är volymen lika med absolutbeloppet av determinanten

${\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}&c_{1}\\a_{2}&b_{2}&c_{2}\\a_{3}&b_{3}&c_{3}\end{vmatrix}}$

det vill säga

$V=|a_{1}\cdot b_{2}\cdot c_{3}+b_{1}\cdot c_{2}\cdot a_{3}+c_{1}\cdot a_{2}\cdot b_{3}-c_{1}\cdot b_{2}\cdot a_{3}-b_{1}\cdot a_{2}\cdot c_{3}-a_{1}\cdot c_{2}\cdot b_{3}|$

I figur 2 visas hur man genom att skära av en röd bit i ena änden av en parallellepiped och lägga till den i den andra (då grönfärgad) kan göra sidorna rektangulära i två steg. I första steget görs två par motstående sidor rektangulära, i det andra det sista paret. Eftersom den bortskurna röda biten har samma form och dimensioner som den tillagda gröna ändras inte volymen. Höjden, som markeras av den blå pilen, ändras inte heller och även den gulfärgade basytans area förblir konstant, eftersom man skär bort lika mycket som man lägger till. Således är volymen av den parallellepiped vi utgick från lika med volymen av det rätblock vi erhållit, det vill säga basytans area gånger höjden.

Area

En parallellepiped har tre par av motstående sidor vilka är identska parallellogram. Dessa sidopar definieras av vardera två av kantvektorena. Arean av en sådan parallellogram, exempelvis den med kanterna $\mathbf {a}$ och $\mathbf {b}$ i figur 1, är lika med $||\mathbf {a} ||\cdot ||\mathbf {b} ||\cdot |\sin \gamma |=||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||$. Totalarean för en parallellepiped är således:

$A_{tot}=2\cdot ||\mathbf {a} \times \mathbf {b} ||+2\cdot ||\mathbf {a} \times \mathbf {c} ||+2\cdot ||\mathbf {b} \times \mathbf {c} ||$.

Källor

• Parallellepiped i Nordisk familjebok (andra upplagan, 1915)