ทรงกลม

ทรงกลม
ภาพฉายของทรงกลมลงเป็นสองมิติ
ชนิด	พื้นผิวเรียบ พื้นผิวเชิงพีชคณิต
ลักษณะออยเลอร์	2
กรุปสมมาตร	O(3)
พื้นที่ผิว	4πr2
ปริมาตร	4/3πr3

ทรงกลม (อังกฤษ : sphere จากกรีกโบราณ σφαῖρα, sphaîra) เป็นวัตถุทางเรขาคณิตซึ่งอาจมองว่าเป็นวงกลมในสามมิติ นิยามที่รัดกุมของทรงกลม คือเซตของจุดในสามมิติที่อยู่ห่างจากจุดกำหนดจุดหนึ่งเป็นระยะทาง r เสมอ จุดกำหนดจุดนั้นเรียกว่าจุดศูนย์กลางทรงกลม (centre) และค่า r เรียกว่ารัศมีของวงกลมนั้น ทรงกลมปรากฎขึ้นเป็นลายลักษณ์อักษรครั้งแรกในงานคณิตศาสตร์ยุคกรีกโบราณ

ทรงกลมเป็นวัตถุพื้นฐานในคณิตศาสตร์หลากหลายสาขา ทรงกลมและรูปทรงที่เกือบเป็นทรงกลมปรากฎทั้งในธรรมชาติและในกิจกรรมของมนุษย์ อาทิ ฟองสบู่มีในภาวะสมดุลจะเป็นทรงกลม ในทางภูมิศาสตร์นิยมถือว่าโลกมีสัณฐานเป็นทรงกลม และทรงกลมท้องฟ้าเป็นแนวคิดสำคัญในดาราศาสตร์

สมการของทรงกลม

ในเรขาคณิตวิเคราะห์ ทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (x₀, y₀, z₀) และรัศมี r คือทางเดินของจุด (x, y, z) ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}$

เนื่องจากสูตรข้างต้นเป็นพหุนามกำลังสอง ทรงกลมจึงเป็นพื้นผิวกำลังสอง ซึ่งเป็นพื้นผิวเชิงพีชคณิตประเภทหนึ่ง

ให้ a, b, c, d, e เป็นจำนวนจริงที่ซึ่ง a ≠ 0 และกำหนด

$x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.$

แล้วจะได้ว่าสมการ

$f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0$

ไม่เป็นคำตอบเป็นจำนวนจริงถ้า $\rho <0$ และเราเรียกสมการนี้ว่าเป็นสมการของทรงกลมจินตภาพ (imaginary sphere) ถ้า $\rho =0$ แล้วผลเฉลยหนึ่งเดียวของสมการ $f(x,y,z)=0$ คือจุด $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ และสมการในรูปแบบนี้เรียกว่าเป็นสมการของทรงกลมจุดเดียว (point sphere) และในกรณีที่ $\rho >0$ สมการ$f(x,y,z)=0$ เป็นสมการของทรงกลมที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ $P_{0}$ และมีรัศมีเท่ากับ ${\sqrt {\rho }}$

ถ้า a ในสมการข้างต้นเป็นศูนย์ แล้ว $f(x,y,z)=0$ เป็นสมการของระนาบ ฉะนั้นเราอาจมองว่าระนาบคือทรงกลมที่มีรัศมีเป็นอนันต์และจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดที่อนันต์

สมบัติของทรงกลม

ปริมาตร

Sphere and circumscribed cylinder

ในสามมิติ ปริมาตรภายในทรงกลมมีค่าเท่ากับ

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}$

เมื่อ r คือรัศมี และ d คือความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของทรงกลม อาร์คิมิดีสเป็นคนแรกที่ได้สูตรนี้โดยแสดงให้เห็นว่าปริมาตรของทรงกลมมีค่าเป็นสองเท่าของปริมาตรของพื้นที่เปล่าในทรงกระบอกที่ทรงกลมนั้นบรรจุอยู่ข้างใน เราเรียกทรงกระบอกนั้นว่า ทรงกระบอกล้อมรอบของทรงกลม (circumscribed cylinder) ซึ่งมีความสูงและความยาวเส้นผ่าศูนย์กลางของฐานเท่ากับทรงกลมนั้น

เราสามารถพิสูจน์ข้อความข้างต้นได้ โดยสร้างกรวยกลับหัวภายในครึ่งทรงกลม แล้วสังเกตว่าพื้นที่ภาคตัดขวางของกรวยบวกกับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกลมเท่ากับพื้นที่ภาคตัดขวางของทรงกระบอก แล้วใช้หลักการของคาวาเลียรี (Cavalieri's principle) นอกจากนี้อาจใช้แคลคุลัสเชิงปริพันธ์พิสูจน์สูตรนี้ได้ เช่นด้วยการอินทิเกรตแบบจานเพื่อหาปริมาตรปิดล้อม

พื้นที่ผิว

พื้นที่ผิวของทรงกลมรัศมี r คือ

$A=4\pi r^{2}$

อาร์คิมิดีสเป็นบุคคลแรกที่พิสูจน์สูตรนี้ โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าการฉายภาพทรงกลมไปยังทรงกระบอกล้อมรอบนั้นรักษาพื้นที่

ทรงกลมเป็นรูปทรงที่มีพื้นที่ผิวน้อยที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีปริมาตรเท่ากัน และมีปริมาตรมากที่สุดในบรรดารูปทรงที่มีพื้นที่ผิวเท่ากัน ดังนั้นทรงกลมจึงปรากฎในธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ฟองสบู่หรือฟองอากาศ และหยดน้ำขนาดเล็กจะมีรูปทรงเกือบเป็นทรงกลมเพราะแรงตึงผิวพยายามบังคับให้พื้นที่ผิวมีค่าน้อยที่สุด

สมบัติทางเรขาคณิตอื่น ๆ

ทรงกลมสร้างได้จากการหมุนวงกลมครึ่งรอบผ่านเส้นผ่านศูนย์ผ่านของมัน มีทรงกลมเพียงหนึ่งเดียวที่ผ่านจุดที่กำหนดให้สี่จุดที่ไม่อยู่บนระนาบเดียวกัน

หมายเหตุและอ้างอิง

ดูเพิ่ม

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Solid Analytic Geometry, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3.
• Dunham, William (1997). The Mathematical Universe: An Alphabetical Journey Through the Great Proofs, Problems and Personalities. New York: Wiley. pp. 28, 226. Bibcode:1994muaa.book.....D. ISBN 978-0-471-17661-9.
• Kreyszig, Erwin (1972), Advanced Engineering Mathematics (3rd ed.), New York: Wiley, ISBN 978-0-471-50728-4.
• Steinhaus, H. (1969), Mathematical Snapshots (Third American ed.), Oxford University Press.
• Woods, Frederick S. (1961) [1922], Higher Geometry / An Introduction to Advanced Methods in Analytic Geometry, Dover.
• John C. Polking (1999-04-15). "The Geometry of the Sphere". www.math.csi.cuny.edu. สืบค้นเมื่อ 2022-01-21.