Reed-Muller符号のリスト復号

P. Gopalan, A.R. Klivans, and D. Zuckerman. “List-Decoding Reed-Muller Codes over Small Fields.” (STOC 2008)
中身読んでないのでメモだけ.

r次のRM符号RM(r,m,2)のメッセージ空間は, m変数r次のF_2上多項式の集合. 符号が入っている空間はF_2^mの各要素でメッセージである多項式を評価したもの.
[n,k,d]線形符号で, , .

qがdより大きい場合には既に結果がある. Sudan, Trevisan, Vadhan (2001) とかPellikaan and Wu (2004) とか.
qがd以下かつ小さい場合には次数rが1の場合はHadamard符号なんでGoldreich-Levinでよい. よって, rが2以上かつqが小さい場合のリスト復号を提案している.

• 復号に掛る時間はpoly(m^r,ε^{-r}).
• リストサイズ:ε^{-O(r)}
• 半径:2^{-r}-ε

rは定数扱いしていいので, これでいいらしい.