Equació de Laplace

En càlcul vectorial, l'equació de Laplace és una equació en derivades parcials de segon ordre de tipus el·líptic, que rep aquest nom en honor del físic i matemàtic Pierre-Simon Laplace.

Introduïda per les necessitats de la mecànica newtoniana, l'equació de Laplace apareix en moltes altres branques de la física teòrica com l'astronomia, l'electroestàtica, la mecànica de fluids o la mecànica quàntica.

Definició

L'equació de Laplace es defineix com:

$\Delta u=0$

on $\Delta$ és l'operador laplacià i u són funcions reals o complexes.

L'equació de Laplace es tracta d'un cas particular de l'equació de Poisson:

$\Delta u=f$ quan la funció f és zero.

A les funcions solucions de l'equació de Laplace se'ls anomena funcions harmòniques.

Condicions inicials

El problema de Cauchy per l'equació de Laplace s'anomena un problema plantejat no correctament , ja que la solució no depèn contínuament de les dades del problema. Aquests problemes mal definits no són usualment satisfactoris per a les aplicacions físiques.

Condicions de frontera

Problema de Dirichlet

El problema de Dirichlet consisteix a trobar una funció harmònica donats els seus valors a la frontera d'un domini acotat. Això és:

trobar una funció o amb primera i segona derivades contínues en D i continua a la frontera de D

$\Delta u=0$ en D

$U=\varphi$ a la frontera de D

per certa funció $\varphi$ contínua a la frontera de D.

Com a conseqüència del principi fort del màxim de les funcions harmòniques s'ha de la solució del problema de Dirichlet si existeix és única.

Equació de Laplace tridimensional

A coordenades cartesianes, en un espai euclidià de tres dimensions, el problema consisteix a trobar totes les funcions de tres variables reals $u(x,y,z)\,\!$ que verifiquen l'equació en derivades parcials de segon ordre:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\ =\ 0$

Per simplificar l'escriptura, s'introdueix l'operador diferencial $\Delta \,\!$ (operador laplacià) tal que l'equació ens queda:

$\Delta u\ =\ 0$

Equació de Laplace bidimensional

A coordenades cartesianes, en un espai euclidià de dues dimensions, el problema consisteix a trobar totes les funcions de dues variables reals $u(x,y)$ que verifiquen:

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ =\ 0$

${\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\ +\ {\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\ =\ 0$

Problema de Dirichlet

Problema de Dirichlet en el cercle unitat

Per la fórmula integral de Poisson tenim que la solució al problema en un cercle (expressant la solució en coordenades polars) és:

$u(r,\theta )={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }{1-r^{2} \over 1+r^{2}-2r\cos(\theta -t)}o(1,t)\,dt\;$

Problema de Dirichlet en el semiplà superior

S'obté la coneguda com fórmula integral de Schwartz :

$u(x,y)={i \over \pi }\int _{-\infty }^{\infty }{u(s,0) \over (x-s)^{2}+y^{2}}\,Ds\;$

Vegeu també

• Equació de Poisson
• Funció harmònica